两类不等式恒成立问题的区别.doc

两类不等式恒成立问题的区别给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),（1）若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0，（）或 （） 可合并定成（2）若在m,n内恒有f(x)0，则有例1（1）设不等式2x-1m（x2-1）对满足-2m2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围；（2）是否存在m使得不等式2x-1m（x2-1）对满足-2x2的实数x的取值都成立解析：（1）原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)0 若 （2）令f（x）=2x-1-m（x2-1）=-mx2+2x+（m-1），使|x|2的一切实数都有2x-1m（x2-1）成立当m=0时，f（x）=2x-1在1 2 x2时，f（x）0（不满足题意）当m0时，f（x）只需满足下式： -m0，(m0) 1 m -2 f(-2)0 或 -m0，(m0) -21 m 2 0 或 -m0 1 m 2 f(2)0 或 -m0，(m0) f(2)0 f(-2)0 解之得结果为空集故没有m满足题意例2设函数f（x）=mx2-mx-6+m（1）若对于m1，2，f（x）0恒成立，求实数x的取值范围；（2）若对于x1，2，f（x）0恒成立，求实数m的取值范围解：（1）mx2-mx-6+m0，m（x2-x+1）-60，对于m1，2，f（x）0恒成立 1(x 2-x+1)-60 2(x 2-x+1)-60 解得：-1x2，实数x的取值范围：-1x2，（2）mx2-mx-6+m0，m（x2-x+1）-60，对于x1，2，f（x）0恒成立m6 x 2-x+1 m6 x 2-x+1 在x1，2，上的最小值，由于6 x 2-x+1 在x1，2，上的最小值是：2m2实数m的取值范围：m21.对任意a-1,1，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是( )(A)1x3 (B)x3 (C)1x2 (D)x2分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解：令，则原问题转化为恒成立（）。 当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值范围为。2.对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+12a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a|2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3. 即x(,1)(3,+)3.若不等式x2-2mx+2m+10对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解：设f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。(1)当m0时，f(x)在0,1上是增函数，因此f(0)是最小值， 得 m1时，f(x)在0,1 上是减函数，因此f(1)是最小值 得 m1综合(1)(2)(3) 得 4.（2007山东）当x（1，2）时，不等式x2+mx+40恒成立，则m的取值范围是m-5解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x1，2由于当x（1，2）时，不等式x2+mx+40恒成立则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有0，当图象对称轴x=-m /2 3/ 2 时，f（2）为函数最大值当f（2）0，得m解集为空集同理当-m /2 3/ 2 时，f（1）为函数最大值，当f（1）0可使 x（1，2）时f（x）0由f（1）0解得m-5综合得m范围m-5法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x1，2由于当x（1，2）时，不等式x2+mx+40恒成立即 f(1)0 f(2)0 解得 m-4 m-5 即 m-55.关于x的不等式loga(2-ax)0.g(2)=2-a0,而a0.故不等式有意义隐含0a1.于是，不等式loga(2-ax)0（0a0恒成立，求x的变化范围。解：设当时的图像是一条线段，所以a在上变动时，P恒为正值的充要条件是即解得即x的取值范围是10.若不等式x2ax10对于一切x（0，）成立，则a的取值范围是（ ）A0 B. 2 C.- D.-3解法一：设f（x）x2ax1，则对称轴为x若，即a1时，则f（x）在0，上是减函数，应有f（）0x1若0，即a0时，则f（x）在0，上是增函数，应有f（0）10恒成立，故a0若0，即1a0，则应有f（）恒成立，故1a0综上，有a故选C解法二：x