学生第1讲相似三角形培优讲义1!.doc

九年级数学 培优讲义 1 第第 1 1 讲讲 相似三角形讲义相似三角形讲义 学习目标 解三角形相似的判定方法 学习重点 能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题 学习难点 运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路 学习过程 一 证明三角形相似 例例 1 已知 如图 D 为 ABC 内一点连结 ED AD 以 BC 为边在 ABC 外作 CBE ABD BCE BAD 求证 DBE ABC 例例 2 矩形 ABCD 中 BC 3AB E F 是 BC 边的三等分点 连结 AE AF AC 问图中是否存在非全等 的相似三角形 请证明你的结论 下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形 1 如图 称为 平行线型 的相似三角形 E 2 如图 其中 1 2 则 ADE ABC 称为 相交线型 的相似三角形 E E 1 2 4 2 3 如图 1 2 B D 则 ADE ABC 称为 旋转型 的相似三角形 九年级数学 培优讲义 2 观察本题的图形 如果存在相似三角形只可能是 相交线型 的相似三角形 及 EAF 与 ECA 二 相似三角形证明比例式和乘积式 例例 3 ABC 中 在 AC 上截取 AD 在 CB 延长线上截取 BE 使 AD BE 求证 DF AC BC FE 例例 4 已知 如图在 ABC 中 BAC 900 M 是 BC 的中点 DM BC 于点 M 交 AC 于点 E 交 BA 的延长线于点 D 求证 1 MA2 MDME 2 MD ME AD AE 2 2 A B C D E M 1 2 九年级数学 培优讲义 3 三 相似三角形证明两角相等 两线平行和线段相等 例例 5 5 已知 如图 E F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点 且 求证 3 1 AD AF AB EB AEF FBD 例例 6 6 直角三角形 ABC 中 ACB 90 BCDE 是正方形 AE 交 BC 于 F FG AC 交 AB 于 G 求证 FC FG 例例 7 7 Rt ABC 锐角 C 的平分线交 AB 于 E 交斜边上的高 AD 于 O 过 O 引 BC 的平行线交 AB 于 F 求证 AE BF A BC D E F G 九年级数学 培优讲义 4 A D BC E F M 第 5 题 图 E C DA F B 图 2 G F E D C B A 目标训练 一 填空题 1 两个相似三角形的面积比 S1 S2与它们对应高之比 h1 h2之间的关系为 2 如图 2 平行四边形ABCD中 E是边BC上的点 AE交BD于点F 如果 2 3 BE BC 那么 BF FD 2 3 3 如图 点 1234 AAAA 在射线OA上 点 123 BBB 在射线OB上 且 112233 ABA BA B 213243 A BA BA B 若 212 A B B 323 A B B 的面积分别为 1 4 则图中三个阴影三角形面积之和 为 4 4 ABC ABC 中 中 DE FG BCDE FG BC 且 且 ADAD DFDF FB 3FB 3 2 2 1 1 则 则S ADE S四边形 DFGE S四边形 FBCG 二 选择题 1 已知 ABC DEF 且 AB DE 1 2 则 ABC 的面积与 DEF 的面积之比为 A 1 2 B 1 4 C 2 1 D 4 1 2 如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8 另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x 那么 x 的值 A 只有 1 个 B 可以有 2 个 C 有 2 个以上但有限 D 有无数个 3 美是一种感觉 当人体下半身长与身高的比值越接近 0 618 时 越给人一种美感 如图 某女士身高 165cm 下半身长 x 与身高 l 的比值是 0 60 为尽可能达到好的效果 她应穿的高跟鞋的高度大约为 A 4cmB 6cmC 8cmD 10cm 4 如图 ABC 是等边三角形 被一平行于 BC 的矩形所截 AB 被截成三等分 则图中阴影部分的面积是 ABC 的面积的 9 1 9 2 3 1 9 4 G C A 第 4 题图 第 3 题图 O A1A2A3A4A B B1 B2 B3 1 4 九年级数学 培优讲义 5 5 如图 直角梯形 ABCD 中 BCD 90 AD BC BC CD E 为梯形内一点 且 BEC 90 将 BEC 绕 C 点旋转 90 使 BC 与 DC 重合 得到 DCF 连 EF 交 CD 于 M 已知 BC 5 CF 3 则 DM MC 的值为 A 5 3 B 3 5 C 4 3 D 3 4 6 如图 在 Rt ABC 内有边长分别为 a b c的三个正方形 则 a b c满足的关系式是 A bac B bac C 222 bac D 22bac 7 如图 Rt ABAC 中 AB AC AB 3 AC 4 P 是 BC 边上一点 作 PE AB 于 E PD AC 于 D 设 BP x 则 PD PE A 3 5 x B 4 5 x C 7 2 D 2 1212 525 xx 三 解答题三 解答题 1 如图 5 在 ABC 中 BC AC 点 D 在 BC 上 且 DC AC ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F 点 E 是 AB 的中点 连结 EF 1 求证 EF BC 2 若四边形 BDFE 的面积为 6 求 ABD 的面积 A B C D E P 九年级数学 培优讲义 6 2 本小题满分 10 分 如图 在等腰 ABC 中 CH 是底边上的高线 点 P 是线段 CH 上不与端点重合的任意一点 连接 AP 交 BC 于点 E 连接 BP 交 AC 于点 F 1 证明 CAE CBF 2 证明 AE BF 3 以线段 AE BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG 点 E 与点 F 重合于点 G 记 ABC 和 ABG 的面积分 别为 S ABC和 S ABG 如果存在点 P 能使得 S ABC S ABG 求 C 的取之范围 3 如图 四边形 ABCD 中 AD CD DAB ACB 90 过点 D 作 DE AC 垂足为 F DE 与 AB 相交于点 E 1 求证 AB AF CB CD 2 已知 AB 15cm BC 9cm P 是射线 DE 上的动点 设 DP xcm x 0 四边形 BCDP 的面积为 ycm2 求 y 关于 x 的函数关系式 当 x 为何值时 PBC 的周长最小 并求出此时 y 的值 F C A B P E H D P A E F C B 九年级数学 培优讲义 7 G F EDCB A 4 如图 10 四边形 ABCD DEFG 都是正方形 连接 AE CG AE 与 CG 相交于点 M CG 与 AD 相交于点 N 求证 1 CGAE 2 MNCNDNAN 5 如图 在同一平面内 将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起 A为公共顶点 BAC AGF 90 它们的斜边长为 2 若 ABC固定不动 AFG绕点A旋转 AF AG与边BC的交点分 别为D E 点 D 不与点 B 重合 点 E 不与点 C 重合 设BE m CD n 1 请在图中找出两对相似而不全等的三角形 并选取其中一对进行证明 2 求 m 与 n 的函数关系式 直接写出自变量 n 的取值范围 3 以 ABC的斜边BC所在的直线为 x 轴 BC边上的高所在的直线为 y 轴 建立平面直角坐标系 如图 12 在边BC上找一点D 使BD CE 求出D点的坐标 并通过计算验证BD 2 CE 2 DE 2 4 在旋转过程中 3 中的等量关系BD 2 CE 2 DE 2 是否始终成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 G y xO F EDCB A 九年级数学 培优讲义 8 6 为了加强视力保护意识 小明想在长为 3 2 米 宽为 4 3 米的书房里挂一张测试距离为 5 米的视力表 在 一次课题学习课上 小明向全班同学征集 解决空间过小 如何放置视力表问题 的方案 其中甲 乙 丙三 位同学设计方案新颖 构思巧妙 1 甲生的方案 如图 1 将视力表挂在墙ABEF和墙ADGF的夹角处 被测试人站立在 对角线AC上 问 甲生的设计方案是否可行 请说明理由 2 乙生的方案 如图 2 将视力表挂在墙CDGH上 在墙 ABEF 上挂一面足够大的平面镜 根据平面镜 成像原理可计算得到 测试线应画在距离墙ABEF 米处 3 丙生的方案 如图 3 根据测试距离为 5m 的大视力表制作一个测试距 为 3m 的小视 力表 如果大视力表中 E 的长是 3 5cm 那么小视力表中相应 E 的长是多少 cm H H 图 1 图 2 图 3 第 6 题 3 5 A C F 3m B 5m D 九年级数学 培优讲义 9 7 将两块大小一样含 30 角的直角三角板 叠放在一起 使得它们的斜边 AB 重合 直角边不重合 已知 AB 8 BC AD 4 AC 与 BD 相交于点 E 连结 CD 1 填空 如图 9 AC BD 四边形 ABCD 是 梯形 2 请写出图 9 中所有的相似三角形 不含全等三角形 3 如图 10 若以 AB 所在直线为x轴 过点 A 垂直于 AB 的直线为y轴建立如图 10 的平面直角坐标系 保持 ABD 不动 将 ABC 向x轴的正方向平移到 FGH 的位置 FH 与 BD 相交于点 P 设 AF t FBP 面积为 S 求 S 与 t 之间的函数关系式 并写出 t 的取值值范围 8 如图 1 一副直角三角板满足 AB BC AC DE ABC DEF 90 EDF 30 操作 将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上 再将三角板 DEF 绕点 E 旋转 并使边 DE 与边 AB 交于点 P 边 EF 与边 BC 于点 Q 探究一 在旋转过程中 1 如图 2 当 CE 1 EA 时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系 并给出证明 2 如图 3 当 CE 2 EA 时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系 并说明理由 3 根据你对 1 2 的探究结果 试写出当 CE EA m时 EP 与 EQ 满足的数量关系式为 其中 D C BA E 图 9 E D CH FGBA P y x 图 10 10 九年级数学 培优讲义 10 Q P D E F C B A Q P D E F C B A A B C D E F PQ R S m的取值范围是 直接写出结论 不必证明 探究二 若 AC 30cm 连续 PQ 设 EPQ 的面积为 S cm2 在旋转过程中 1 S 是否存在最大值或最小值 若存在 求出最大值或最小值 若不存在 说明理由 2 随着 S 取不同的值 对应 EPQ 的个数有哪些变化 不出相应