高二数学学年高二下学期期中考试数学(理)试卷.doc

2014-2015学年高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，计70分）1命题“x（0，2），x2+2x+20”的否定是2“a1”是“1”成立的条件3复数z=，则=4若抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线的右焦点重复，则p=5观察下列不等式：1，1+1，1+，1+2，1+，由此猜测第n个不等式为 （nN*）6从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有种7已知三棱锥PABC中，PA面ABC，ABAC，PA=AC=1，AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，点M、S分别为PB、BC的中点，则SN与平面CMN所成角的大小为8曲线y=在点（1，1）处的切线方程为9若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B、C相邻，则不同的排法共有种（用数字作答）10设，为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若m，n，m，n，则；若，=m，n，nm，则n；若m，mn，则n，其中所有正确命题的序号是11姜堰市政有五个不同的工程被三个公司中标，则共有种中标情况（用数字作答）12若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x1，x2，xn，总满足：f（x1）+f（x2）+f（xn）f（），称函数f（x）为D上的凸函数现已知f（x）=sinx在（0，）上是凸函数，则在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是13已知三点A（0，a），B（b，0），C（c，0），b+c0，a0，矩形EFGH的顶点E、H分别在ABC的边AB、AC上，F、G都在边BC上，不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，那么直线l的方程是 14已知函数f（x）=sin2x+2ax（aR），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0与曲线y=f（x）均不相切，则a的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，计90分）15（14分）（2015春江苏校级期中）已知复数z1=m（m1）+（m1）i，z2=（m+1）+（m21）i，（mR），在复平面内对应的点分别为Z1，Z2（1）若z1是纯虚数，求m的值；（2）若z2在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围16（14分）（2015春江苏校级期中）是否存在常数a，b 使得2+4+6+（2n）=an2+bn对一切nN*恒成立？若存在，求出a，b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由17（15分）（2013秋海陵区校级期末）在平面直角坐标系中，设ABC的顶点分别为A（0，2），B（1，0），C（2，0），圆M是ABC的外接圆，直线l的方程是（2+m）x+（2m1）y3m1=0（mR）（1）求圆M的方程；（2）证明：直线l与圆M相交；（3）若直线l被圆M截得的弦长为3，求l的方程18（15分）（2013江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值19（16分）（2014春姜堰市期中）现有0，1，2，3，4，5六个数字（1）用所给数字能够组成多少个四位数？（2）用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（3）用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比3142大的数？（最后结果均用数字作答）20（16分）（2014广州模拟）已知函数f（x）=ax3+bx23x（a，bR）在点（1，f（1）处的切线方程为y+2=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）f（x2）|c，求实数c的最小值；（3）若过点M（2，m）（m2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围2014-2015学年高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，计70分）1命题“x（0，2），x2+2x+20”的否定是x（0，2），x2+2x+20考点： 命题的否定 专题： 阅读型分析： 根据命题“x（0，2），x2+2x+20”是特称命题，其否定为全称命题，即x（0，2），x2+2x+20从而得到答案解答： 解：命题“x（0，2），x2+2x+20”是特称命题否定命题为：x（0，2），x2+2x+20故答案为：x（0，2），x2+2x+20点评： 本题主要考查全称命题与特称命题的转化属基础题2“a1”是“1”成立的充分不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答： 解：若a1，则1，即充分性成立，若a=1，满足1，但a1不成立，即必要性不成立，则“a1”是“1”成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础3复数z=，则=1+2i考点： 复数的基本概念 专题： 计算题分析： 利用两个复数代数形式的除法，求出复数z的代数形式，即可得到解答： 解：复数z=12i，=1+2i，故答案为：1+2i点评： 本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数4若抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线的右焦点重复，则p=8考点： 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先确定双曲线的右焦点坐标，再根据抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线的右焦点重复，即可求p的值解答： 解：双曲线中a2=12，b2=4，c2=a2+b2=16，c=4双曲线的右焦点为（4，0）抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线的右焦点重复，p=8故答案为：8点评： 本题考查双曲线与抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题5观察下列不等式：1，1+1，1+，1+2，1+，由此猜测第n个不等式为 1+（nN*）考点： 归纳推理 专题： 规律型；探究型分析： 根据所给的五个式子，看出不等式的左边是一系列数字的倒数的和，观察最后一项的特点，3=221，7=231，15=241，和右边数字的特点，得到第n格不等式的形式解答： 解：3=221，7=231，15=241，可猜测：1+（nN*）故答案为：1+点评： 本题考查归纳推理，是由某类事物的部分对象所具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，它的特点是有个别到一般的推理，本题是一个不完全归纳6从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有12种考点： 排列、组合及简单计数问题 专题： 排列组合分析： 根据题意，使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面的情况数目，再分析求出其中其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面的情况数目，进而可得答案解答： 解：使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共C63种不同的取法，而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，则选法共有C638=12种，故答案为：12点评： 本题考查组合的运用，但涉及立体几何的知识，要求学生有较强的空间想象能力，属于基础题7已知三棱锥PABC中，PA面ABC，ABAC，PA=AC=1，AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，点M、S分别为PB、BC的中点，则SN与平面CMN所成角的大小为45考点： 直线与平面所成的角 专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 建立空间直角坐标系，利用向量法求直线和平面所成的角解答： 解：以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图则C（0，1，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，0），=（，0）设=（x，y，z）为平面CMN的法向量，=（1，1，），=（，1，0），可得平面CMN的一个法向量=（2，1，2），设直线SN与平面CMN所成角为，sin=|cos，|=，SN与平面CMN所成角为45故答案为：45点评： 本题主要考查直线所成角的大小求法，建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法8曲线y=在点（1，1）处的切线方程为x+y2=0考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可解答： 解：y=的导数y=，y|x=1=1，而切点的坐标为（1，1），曲线y=在在x=1处的切线方程为x+y2=0故答案为：x+y2=0点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题9若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B、C相邻，则不同的排法共有144种（用数字作答）考点： 排列、组合及简单计数问题 专题： 排列组合分析： 把B，C看做一个整体，有2种方法；6个元素变成了5个，先在中间的3个位中选一个排上A，有A31=3种方法，其余的4个元素任意排，有A44种不同方法根据分步计数原理求出所有不同的排法种数解答： 解：由于B，C相邻，把B，C看做一个整体，有2种方法这样，6个元素变成了5个先排A，由于A不排在两端，则A在中间的3个位子中，有A31=3种方法其余的4个元素任意排，有A44种不同方法，故不同的排法有 23A44=144种，故答案为：144点评： 本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，注意把特殊元素与位置优先排列，属于中档题10设，为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若m，n，m，n，则；若，=m，n，nm，则n；若m，mn，则n，其中所有正确命题的序号是考点： 命题的真假判断与应用 专题： 空间位置关系与距离分析： 根据线面垂直的定义，可判断；根据面面平行的判定定理，可判断；根据面面垂直的性质定理，可判断；根据空间线面垂直及线面平行的几何特征，可判断解答： 解：根据线面垂直的定义：若m，n，则mn，故正确；根据面面平行的判定定理：若m，n，mn=A，m，n，则，但mn时，不一定有，故错误；根据面面垂直的性质定理：若，=m，n，nm，则n，故正确；若m，mn，则n或n，故错误；故正确的命题的序号是：，故答案为：点评： 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档11姜堰市政有五个不同的工程被三个公司中标，则共有150种中标情况（用数字作答）考点： 计数原理的应用 专题： 排列组合分析： 五项不同的工程，由三个工程队全部承包下来，则每队至少承包一项工程，此类问题的求解，第一步要将五项工程分为三组，第二步再计算承包的方法，由于五项工程分为三组的分法可能是3，1，1或2，2，1故要分为两类计数解答： 解：若五项工程分为三组，每组的工程数分别为3，1，1，则不同的分法有C53=10种，故不同的承包方案有10A33=60种，若五项工程分为三组，每组的工程数分别为2，2，1，则不同的分法有C52C32=15种，故不同的承包方案15A33=90种，故总的不同承包方案为60+90=150种故答案为：150点评： 本题考查排列组合及简单计数问题，解题的关键是理解“五项不同的工程，由三个工程队全部承包下来”，将问题分为两类计数，在第二类2，2，1分组中由于计数重复了一倍，故应除以2，此是本题中的易错点，疑点，解题时要注意避免重复，这是计数问题中常犯的错误12若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x1，x2，xn，总满足：f（x1）+f（x2）+f（xn）f（），称函数f（x）为D上的凸函数现已知f（x）=sinx在（0，）上是凸函数，则在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是考点： 三角函数的最值 专题： 三角函数的求值分析： 根据f（x）=sinx在（0，）上是凸函数以及凸函数的定义可得f（ ）=f（ ），即sinA+sinB+sinC3sin ，由此求得sinA+sinB+sinC的最大值解答： 解：f（x）=sinx在区间（0，）上是凸函数，且A、B、C（0，），f（ ）=f（ ），即sinA+sinB+sinC3sin =，所以sinA+sinB+sinC的最大值为 故答案为：点评： 本题主要考查三角函数的最值问题考查了考生运用所给条件分析问题的能力和创造性解决问题的能力，属于中档题13已知三点A（0，a），B（b，0），C（c，0），b+c0，a0，矩形EFGH的顶点E、H分别在ABC的边AB、AC上，F、G都在边BC上，不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，那么直线l的方程是 考点： 直线的一般式方程 专题： 综合题分析： 因为不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，故取两种特殊情况分别求出相应的P点坐标即可求出直线l的方程，方法是：E和H分别为|AB|和|AC|的中点或三等份点，分别求出E、F、G、H四点的坐标，然后利用相似得到相应的P点、P点坐标，根据P和P的坐标写出直线方程即为定直线l的方程解答： 解：当E、H分别为|AB|和|AC|的中点时，得到E（，），F（，0），H（，），G（，0）则|PQ|=，|FQ|=|EH|=|BC|=（cb），而|FO|=，所以|OQ|=|FQ|OF|=（cb）+=，所以P（，）；当E、H分别为|AB|和|AC|的三等份点时，得到E（，），F（，0），H（，），G（，0）则|PQ|=，|FQ|=|EH|=|BC|=（cb），而|FO|=，所以|OQ|=|FQ|OF|=（cb）+=，所以P（，）则直线PP的方程为：y=（x），化简得y=x故答案为：y=x点评： 此题考查学生灵活运用三角形相似得比例解决数学问题，会根据两点坐标写出直线的一般式方程，是一道中档题14已知函数f（x）=sin2x+2ax（aR），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0与曲线y=f（x）均不相切，则a的取值范围是（，1）（0，+）考点： 导数的运算 专题： 导数的概念及应用分析： 先将条件“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”转化成f（x）=1无解，然后求出2sinxcosx+2a=1有解时a的范围，最后求出补集即可求出所求解答： 解：对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为1即f（x）=2sinxcosx+2a=1无解0sin2x+1=2a21a0时2sinxcosx+2a=1有解对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是（，1）（0，+）故答案为：（，1）（0，+）点评： 本题解题的关键是对“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”的理解，同时考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及转化的数学思想，属于基础题二、解答题（本大题共6小题，计90分）15（14分）（2015春江苏校级期中）已知复数z1=m（m1）+（m1）i，z2=（m+1）+（m21）i，（mR），在复平面内对应的点分别为Z1，Z2（1）若z1是纯虚数，求m的值；（2）若z2在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围考点： 复数的代数表示法及其几何意义 专题： 数系的扩充和复数分析： （1）如果复数a+bi（a，b是实数）那么a=0不b0由此解答；（2）根据点的位置确定，复数的实部和虚部的符号，得到不等式组求之解答： （1）因为复数z1=m（m1）+（m1）i（mR）是纯虚数，所以m（m1）=0，且m10，解得m=0； （7分）（2）因为复数（mR）在复平面内对应的点位于第四象限，所以，解之得1m1； （14分）点评： 本题考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）那么a=0不b016（14分）（2015春江苏校级期中）是否存在常数a，b 使得2+4+6+（2n）=an2+bn对一切nN*恒成立？若存在，求出a，b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由考点： 数学归纳法 专题： 综合题；点列、递归数列与数学归纳法分析： 先假设存在符合题意的常数a，b，再令n=1，n=2构造两个方程求出a，b，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立（2）再假设n=k（k1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可解答： 解：取n=1和2，得解得，（4分）即2+4+6+（2n）=n2+n以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证（6分）（2）假设当n=k，kN*时等式成立即2+4+6+（2k）=k2+k （8分）那么，当n=k+1 时有2+4+6+（2k）+（2k+2）=k2+k+（2k+2）（10分）=（k2+2k+1）+（k+1）=（k+1）2+（k+1）（12分）就是说，当n=k+1 时等式成立（13分）根据（1）（2）知，存在，使得任意nN*等式都成立（15分）点评： 本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立17（15分）（2013秋海陵区校级期末）在平面直角坐标系中，设ABC的顶点分别为A（0，2），B（1，0），C（2，0），圆M是ABC的外接圆，直线l的方程是（2+m）x+（2m1）y3m1=0（mR）（1）求圆M的方程；（2）证明：直线l与圆M相交；（3）若直线l被圆M截得的弦长为3，求l的方程考点： 圆的标准方程；直线与圆的位置关系 专题： 直线与圆分析： （1）求出边AC、BC的垂直平分线方程，根据圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得M（，），再求出半径MC的值，即可得到圆的标准方程（2）根据直线l经过定点N，而点N在圆的内部，即可得到直线和圆相交（3）由条件利用弦长公式求得圆心M（，）到直线l的距离为d=再根据据点到直线的距离公式求得 m的值，可得直线l的方程解答： 解：（1）ABC的顶点分别为A（0，2），B（1，0），C（2，0），故线段BC的垂直平分线方程为x=，线段AC的垂直平分线为 y=x，再由圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得M（，），故圆的半径为|MC|=，故圆的方程为 +=（2）根据直线l的方程是（2+m）x+（2m1）y3m1=0（mR），即m（x+2y3）+2xy1=0，由 可得，故直线经过定点N（1，1）由于MN=r=，故点N在圆的内部，故圆和直线相交（3）直线l被圆M截得的弦长为3，故圆心M（，）到直线l的距离为d=再根据点到直线的距离公式可得 =，求得 m=2，或m=，故直线l的方程为y=1，或x=1点评： 本题主要考查求圆的标准方程，直线过定点问题，直线和圆的位置关系，属于中档题18（15分）（2013江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值考点： 与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角 专题： 空间位置关系与距离分析： （1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值解答： 解：（1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），=（1，1，4），cos=，异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为（2） 是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，取z=1，得y=2，x=2，平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为，cos=|cos|=|=，sin=平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为点评： 本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用19（16分）（2014春姜堰市期中）现有0，1，2，3，4，5六个数字（1）用所给数字能够组成多少个四位数？（2）用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（3）用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比3142大的数？（最后结果均用数字作答）考点： 计数原理的应用 专题： 排列组合分析： （1）利用分步计数原理，第一步先排首位（因为零不能再首位），再排其它三个位值，注意数字可以重复，（2）利用分步计数原理，第一步先排首位（因为零不能再首位），再排其它四个位值，注意数字不可以重复，（3）利用分类计数原理，比3142大的数包含四位数、五位数和六位数，然后再分类求出即可解答： 解：（1）能够组成四位数的个数为：5666=1080（2）能组成没有重复数字的五位数的个数为：=600；（3）比3142大的数包含四位数、五位数和六位数，其中：六位数有：；五位数有：=600；四位数有千位是4或5的，千位是3的，而千位是4或5的有；千位是3的分为百位是2、4、5的与百位是1的，百位是2、4、5的有，百位是1的分为十位是4和5两种情况，十位是5的有3种，十位是4的有1种，所以共有600+600+120+36+3+1=1360答：能组成四位数1080个；没有重复数字的五位数600个；比3142大的数1360个点评： 本题主要考查了分类计数原理，关键如何分类，遵循不重不漏的原则，属于中档题20（16分）（2014广州模拟）已知函数f（x）=ax3+bx23x（a，bR）在点（1，f（1）处的切线方程为y+2=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间2，2上任意两个自变量的值x