3次方程解法.doc

编辑本段三次方程的其他解法除了上文中的卡尔丹公式，三次方程还有其它解法，列举如下： 1.因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次例如：解方程x3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1. 2.另一种换元法对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x+px+q=0的特殊型令x=z-p/3z,代入并化简，得：z-p/27z+q=0.再令z=w,代入，得：w+p/27w+q=0这实际上是关于w的二次方程解出w,再顺次解出z,x. 3.盛金公式三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法一元三次方程aXbXcXd=0，（a，b，c，dR，且a0）。重根判别式：A=b3ac；B=bc9ad；C=c3bd，总判别式：=B4AC。当A=B=0时，盛金公式（WhenA=B=0，Shengjins Formula）：X1=X2=X3=b/(3a)=c/b=3d/c。当=B4AC0时，盛金公式（When=B4AC0，Shengjins Formula）：X1=(b(Y11/3Y21/3)/(3a)；X2，3=(2bY11/3Y21/331/2 (Y11/3Y21/3)i)/(6a)；其中Y1，2=Ab3a (B(B24AC)1/2)/2，i2=1。当=B24AC=0时，盛金公式（When=B24AC =0，Shengjins Formula）：X1=b/aK；X2=X3=K/2，其中K=B/A，(A0)。当=B24AC0时，盛金公式（When=B24AC0，1T0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；：当=B24AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；：当=B24AC0时，方程有三个不相等的实根。盛金定理Shengjins Theorems当b=0，c=0时，盛金公式无意义；当A=0时，盛金公式无意义；当A0时，盛金公式无意义；当T-1或T1时，盛金公式无意义。当b=0，c=0时，盛金公式是否成立？盛金公式与盛金公式是否存在A0的值？盛金公式是否存在T-1或T1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式仍成立）。盛金定理2：当A=B=0时，若b0，则必定有c0（此时,适用盛金公式解题）。盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式解题）。盛金定理4：当A=0时，若B0，则必定有0（此时，适用盛金公式解题）。盛金定理5：当A0时，则必定有0（此时，适用盛金公式解题）。盛金定理6：当=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式解题）。盛金定理7：当=0时，若B0，盛金公式一定不存在A0的值（此时，适用盛金公式解题）。盛金定理8：当0时，盛金公式一定不存在A0的值。（此时，适用盛金公式解题）。盛金定理9：当0时，盛金公式一定不存在T-1或T1的值，即T出现的值必定是-1T1。显然，当A0时，都有相应的盛金公式解题。注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当0时，不一定有A0。盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。当=0(d0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（When=0,Shengjins formula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation）。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b23ac；B=bc9ad；C=c23bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式=B24AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式中的式子(B(B24AC)1/2)/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。以上盛金公式的结论，发表在海南师范学院学报（自然科学版）（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第9198页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。例6、在一定温度和压力下，某一定量的PCl5气体的体积为1 L，此时PCl5气体已有50%离解为PCl3和Cl2，试判断在下列情况下，PCl5的离解度是增大还是减小？（1）减小压力使PCl5的体积变为2 L；（2）保持压力不变，加入氮气使体积增至2 L；（3）保持体积不变，加入氮气使压力增加1倍；（4）保持压力不变，加入氯气，使体积变为2 L；（5）保持体积不变，加入氯气，使压力增加1倍。分析：判断PCl5离解度的增减，实质上是判断平衡PCl5（g） PCl3（g）+ Cl2在不同条件下的移动方向，若平衡向右移动，PCl5的离解度增大；若平衡向左移动，PCl5的离解度减小。判断平衡移动的方向，首先要知道现在平衡的平衡常数，并要计算不同条件下的浓度商QC（在此应为压力商QP），比较QP和压力常数KP的关系进行判断。若QP = KP时，平衡不移动，若QP KP时，平衡右移，若QP KP时，平衡左移。解：PCl5(g) PCl3(g)+ Cl2(g)已知50%的PCl5分解，所以在平衡时，PCl5、PCl3、Cl2的平衡分压相等，设为p。则平衡常数 KP = = = p（1）体积增大了1倍，各物质的分压均减小1倍，所以此时QP = = = p KP故平衡向右移动，PCl5的离解度增大。（2）加入氮气，氮气虽然不参加反应，但它使体系的体积增大1倍，因而使PCl5、PCl3和Cl2的分压均减小1倍，所以结果同（1）。（3）加入氮气，虽然使压力增加1倍，但由于体积未变，因此PCl5、PCl3和Cl2的分压不变，化学平衡不移动，所以PCl5的离解度不变。（4）加入氯气，使体积变为2 L，总的压力不变，仍为3p，但各物质的分压为：p = p = pp = 3p p p= 3p p