2016年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12小题每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数 的虚部是（ ） A B C D 2若 R，则 “=0”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3对于空间的两条直线 m、 n 和一个平面 ，下列命题中的真命题是（ ） A若 m ， n ，则 m m ， n，则 m n C若 m ， n ，则 m m ， n ，则 m n 4设 等差数列 前 n 项和，若 ， 7，则该数列的首项 ） A B C D 5某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的 N=5，则输出 i=（ ） A 6B 7C 8D 9 6该试题已被管理员删除 7若变量 x， y 满足约束条件 且 z=5y x 的最大值为 a，最小值为 b，则 a ） A 48B 30C 24D 16 第 2 页（共 19 页） 8已知向量 ， 和 在正方形网格中的位置如图所示，若 = + ，则 +=（ ） A 2B 2C 3D 3 9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 3+ B 3+ C 3+ + D + 10函数 f（ x） =在与直线 2x y=0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 2B（ ， 2） C 0， +） D（ 2， +） 11设 别为双曲线 （ a 0， b 0）的左，右焦点若在双曲线右支上存在一点 P，满足 |且 直线 距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） = ，且 g（ x） =f（ x） m 在（1， 1内有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， 2 （ 0， B（ ， 2 （ 0， C（ ， 2 （ 0， D（ ， 2 （ 0， 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13设 f（ x） = ，若 f（ a） =3，则 a= 14从字母 a， b， c， d， e 中任取两个不同字母，则取到字母 a 的概率为 第 3 页（共 19 页） 15在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，已知 ，且满足 2，则 a+c= 16设数列 （ n1， nN）满足 ， ，且（ ）（ =2，若 x表示不超过 x 的最大整数，则 + + = 三、解答题：本大题共 5小题，共 70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 17设函数 （ 1）若 x（ 0， ），求 f（ x）的单调递增区间； （ 2）在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ， b=1，求 18某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分別随机抽取 100个整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图： 分组（日销售量） 频率（甲种酸奶） 0， 10 10， 20 20， 30 30， 40 40， 50 ）写出频率分布直方图 1 中的 a 的值；并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图； （ ）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为 s ， s ，试比较 s与 s 的大小；（只需写出结论） （ ）假设同一组中的每个数据可用该该组区间的中点值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按 30 天计箅）的销售量总量 19如图，在三棱柱 ， 底面 E、 F 分别是棱 第 4 页（共 19 页） （ ）若 线段 的点 D 满足平面 平面 确定点 D 的位置，并说明理由； （ ）证明： 20该试题已被管理员删除 21已知 f（ x） =g（ x） = ，直线 l： y=（ k 3） x k+2 （ 1）函数 f（ x）在 x=e 处的切线与直线 l 平行，求实数 k 的值 （ 2）若至少存在一个 1， e使 f（ g（ 立，求实数 a 的取值范围 （ 3）设 kZ，当 x 1 时 f（ x）的图象 恒在直线 l 的上方，求 k 的最大值 四 22）（ 23）（ 24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分做题时用 2选修 4何证明选讲 （本小题满分 10分） 22如图， O 的直径， 弦， 平分线 O 于点 D， 延长线于点 E， 点 F （ ）求证： O 的切线； （ ）若 = ，求 的值 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，曲线 t 是参数），以原点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 （ 1）求曲线 指出其表示何种曲线； （ 2）若曲线 2交于 A， B 两点，求 |最大值和最小值 选修 4等式选讲 24（选修 4 5：不等式选讲）已知函数 f（ x） =|x+3|+|x a|（ a 0） （ ）当 a=4 时，已知 f（ x） =7，求 x 的取值范围； （ ）若 f（ x） 6 的解集为 x|x 4 或 x2，求 a 的值 第 5 页（共 19 页） 2016 年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数 的 虚部是（ ） A B C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： = ， 复数 的虚部是 故选： B 2若 R，则 “=0”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 当 “=0”可以得到 “当 “，不一定得到 “=0”，得到 “=0”是 “充分不必要条件 【解答】 解： “=0”可以得到 “ 当 “，不一定得到 “=0”，如 = 等， “=0”是 “充分不必要条件， 故选 A 3对于空间的两条直线 m、 n 和一个平面 ，下列命题中的真命题是（ ） A若 m ， n ，则 m m ， n，则 m n C若 m ， n ，则 m m ， n ，则 m n 【考点】 命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 A利用线面 平行的性质定理即可得出； B利用线面平行的性质定理即可得出； C利用线面平行与垂直的性质定理即可得出； D利用线面垂直的性质定理即可得出 【解答】 解： A若 m ， n ，则 m n、相交或为异面直线，因此 A 不正确； B若 m ， n，则 m n 或为异面直线，因此 B 不正确； C若 m ， n ，则 m n，因此 C 不正确； D若 m ， n ，利用线面垂直的性质定理可知： m n正确 第 6 页（共 19 页） 故选： D 4设 等差数列 前 n 项和，若 ， 7，则该数列的首项 ） A B C D 【考点】 等差数列的性质 【分析】 利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d，由 ， 7，可得 ，解得 故选： D 5某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的 N=5，则输出 i=（ ） A 6B 7C 8D 9 【考点】 程序框图 【分析】 计算循环中 n 与 i 的值，当 n=1 时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可 【解答】 解：模拟执行程序，可得 n=5， i=1 执行循环体，满足条件 n 是奇数， n=16， i=2， 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=8， i=3， 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=4， i=4， 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=2， i=5， 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=1， i=6， 满足条件 n=1，退出循环，输出 i 的值为 6 故选： A 6该试题已被管理员删除 第 7 页（共 19 页） 7若变量 x， y 满足约束条件 且 z=5y x 的最大值为 a，最小值为 b，则 a ） A 48B 30C 24D 16 【考点】 简单线性规划 【分析】 先根据条件画出可行域，设 z=5y x，再利用 几何意义求最值，将最小值转化为 需求出直线，过可行域内的点 B（ 8， 0）时的最小值，过点 A（ 4， 4）时， 5y x 最大，从而得到 a b 的值 【解答】 解：满足约束条件 的可行域如图所示 在坐标系中画出可行域， 平移直线 5y x=0，经过点 B（ 8， 0）时， 5y x 最小，最小值为： 8， 则目标函数 z=5y x 的最小值为 8 经过点 A（ 4， 4）时， 5y x 最大，最大值为： 16， 则目标函数 z=5y x 的最大值为 16 z=5y x 的最大值为 a，最小值为 b，则 a b 的值是： 24 故选 C 8已知向量 ， 和 在正方形网格中的位置如图所示，若 = + ，则 +=（ ） A 2B 2C 3D 3 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和向量基本定理即可得出 【解答】 解：如图所示，建立直角坐标系 则 =（ 1， 0）， =（ 2， 2）， =（ 1， 2） 第 8 页（共 19 页） = + ， （ 2， 2） =（ 1， 2） +（ 1， 0） =（ +， 2）， ， 解得 = 1， =3 +=2 故选： A 9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 3+ B 3+ C 3+ + D + 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体是四棱锥，根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量，结合直观图求各个面的面积，再相加 【解答】 解：由三视图知：几 何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图： 其中 平面 ，底面 直角梯形，直角梯形的直角腰 ，两底边， ， = ， ， ， ， 三角形 直角三角形， 几何体的表面积 S= 11+ 12+ 1+ + 1=3+ 故选： C 第 9 页（共 19 页） 10函数 f（ x） =在与直线 2x y=0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 2B（ ， 2） C 0， +） D（ 2， +） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 问题等价于 f（ x） =2 在（ 0， +）上有解，分离出参数 a，转化为求函数值域问题即可 【解答】 解：函数 f（ x） =在与直线 2x y=0 平行的切线，即 f（ x） =2 在（ 0， +）上有解， 而 f（ x） = +a，即 +a=2 在（ 0， +）上有解， a=2 ，因为 x 0，所以 2 2， 所以 a 的取值范围是（ ， 2） 故选 B 11设 别为双曲线 （ a 0， b 0）的左，右焦点 若在双曲线右支上存在一点 P，满足 |且 直线 距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量关系，进而求出离心率 【 解答】 解：依题意 |可知三角形 一个等腰三角形， 直线 投影是其中点， 由勾股定理知可知 |2 =4b 根据双曲定义可知 4b 2c=2a，整理得 c=2b a， 代入 c2=a2+4，求得 = ； e= = = = 故选 B 12已知函数 f（ x） = ，且 g（ x） =f（ x） m 在（1， 1内有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， 2 （ 0， B（ ， 2 （ 0， C（ ， 2 （ 0， D（ ， 2 （ 0， 【考点】 分段函数的应用 第 10 页（共 19 页） 【分析】 由 g（ x） =f（ x） m=0，即 f（ x） =m（ x+1），作出两个函数的 图象，利用数形结合即可得到结论 【解答】 解：由 g（ x） =f（ x） m=0，即 f（ x） =m（ x+1）， 分别作出函数 f（ x）和 y=h（ x） =m（ x+1）的图象如图： 由图象可知 f（ 1） =1， h（ x）表示过定点 A（ 1， 0）的直线， 当 h（ x）过（ 1， 1）时， m= 此时两个函数有两个交点，此时满足条件的 m 的取值范围是0 m ， 当 h（ x）过（ 0， 2）时， h（ 0） = 2，解得 m= 2，此时两个函 数有两个交点， 当 h（ x）与 f（ x）相切时，两个函数只有一个交点， 此时 ， 即 m（ x+1） 2+3（ x+1） 1=0， 当 m=0 时， x= ，只有 1 解， 当 m0，由 =9+4m=0 得 m= ，此时直线和 f（ x）相切， 要使函数有两个零点， 则 m 2 或 0 m ， 故选： A 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13设 f（ x） = ，若 f（ a） =3，则 a= 4 【考点】 函数的值 【分析】 利用分段函数求值，分类讨论 a 的取值范围，求得 a 的值 【解答】 解：当 a 0， f（ a） = =3， a=4， 第 11 页（共 19 页） 当 a0， f（ a） =2a=3， a= 1，不成立； 故答案为： 4 14从字母 a， b， c， d， e 中任取两个不同字母，则取到字母 a 的概率为 【考点】 等可能事件的概率 【分析】 求得从字母 a， b， c， d， e 中任取两个不同字母、取到字母 a 的情况，利用古典概型概率公式求解即可 【解答】 解：从字母 a， b， c， d， e 中任取两个不同字母，共有 =10 种情况，取到字母 a，共有 =4 种情况， 所求 概率为 = 故答案为： 15在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，已知 ，且满足 2，则 a+c= 3 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 根据正弦定理以及余弦定理建立方程关系进行求解即可 【解答】 解：在 ， b2= ， ， 2， 3， b2=3， b2=a2+2 13=（ a+c） 2 22 a+c） 2 213 213 ， 即（ a+c） 2=63， 即 a+c=3 ， 故答案为： 3 16设数列 （ n1， nN）满足 ， ，且（ ）（ =2，若 x表示不超过 x 的最大整数，则 + + = 2015 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 构造 bn= 判数列 4 为首项 2 为公差的等差数 列，累加法可得 an=n（ n+1），裂项相消法可得答案 第 12 页（共 19 页） 【解答】 解：构造 bn= b1=， 由题意可得（ ）（ = ， 故数列 4 为首项 2 为公差的等差数列， 故 bn= +2（ n 1） =2n+2， 故 ， ， ， ， 1=2n， 以上 n 1 个式子相加可得 ，解得 an=n（ n+1）， 故 + + =2016（ + + ） =2016（ 1 + + ） =2016 ， + + =2015， 故答案为： 2015 三、解答题：本大题共 5小题，共 70分，解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤 . 17设函数 （ 1）若 x（ 0， ），求 f（ x）的单调递增区间； （ 2）在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ， b=1，求 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理 【分析】 （ 1）由三角恒等变换化简 f（ x），由此得到递增区间 （ 2）由等式得到 ，利用余弦定理及三 角形面积公式即可 【解答】 解：（ ）由题意可知， = ， 由 ， 可解得： 又因为 x（ 0， ）， 所以 f（ x）的单调递增区间是 和 （ ）由 ，可得 ， 由题意知 B 为锐角，所以 ， 由余弦定理 b2=a2+2 第 13 页（共 19 页） 可得： ，即 ，且当 a=c 时等号成立， 因此 ， 所以 积的最大值为 18某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分別随机抽取 100个整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图： 分组（日销售量） 频率（甲种酸奶） 0， 10 10， 20 20， 30 30， 40 40， 50 ）写出频率分布直方图 1 中的 a 的值；并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图 ； （ ）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为 s ， s ，试比较 s与 s 的大小；（只需写出结论） （ ）假设同一组中的每个数据可用该该组区间的中点值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按 30 天计箅）的销售量总量 【考点】 频率分布直方图；极差、方差与标准差 【分析】 （ I）根据频 率分布直方图的给出的数据得出 ， 015，即可得出 a 的值 （ 用非常公式求解即可得出大小 （ 解平均数得出 =），运用 30 天求解即可得出： 0 为一个月（按 30天计箅）的销售量总量 【解答】 解：（ I） a= 14 页（共 19 页） （ ） S ， （ ）乙种酸奶平均日销售量为： =55555） 乙种酸奶未来一个月的销售量为： 0=795（箱） 19如图，在三棱柱 ， 底面 E、 F 分别是棱 （ ）若线段 的点 D 满足平面 平面 确定点 D 的位置，并说明理由； （ ）证明： 【考点】 平面与平面平行的判定 【分析】 （ I）利用已知及面面平行的性质可得 E 是棱 中点，即可得 D 是线段 中点 （ 证明 由（ 1）可得 证 面 可证明 而得证 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ I） 面 面 E，面 B， 在 E 是棱 中点， D 是线段 中点 （ 三棱柱 C= 侧面 由（ 1）可得 第 15 页（共 19 页） ， 面 又 E， F 分别为棱 中点， 20该试题已被管理员删除 21已知 f（ x） =g（ x） = ，直线 l： y=（ k 3） x k+2 （ 1）函数 f（ x）在 x=e 处的切线与直线 l 平行，求实数 k 的值 （ 2）若至少存在一个 1， e使 f（ g（ 立，求实数 a 的取值范围 （ 3）设 kZ，当 x 1 时 f（ x）的图象恒在直线 l 的上方，求 k 的最大值 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切 线方程 【分析】 （ 1）先求导，根据导数的几何意义得到关于 k 的方程解得即可 （ 2）由于存在 1， e，使 f（ g（ 则 2a ，只需要 k 大于h（ x） = 的最小值即可 （ 3）分离参数，得到 k ，构造函数，求函数的最小值即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =1+ f（ e） =1+k 3 k=5， （ 2）由于存在 1， e，使 f（ g（ 则 a 设 h（ x） = 第 16 页（共 19 页） 则 h（ x） = ， 当 x1， e时， h（ x） 0（仅当 x=e 时取等号） h（ x）在 1， e上单调递增， h（ x） h（ 1） =0，因此 a 0 （ 3）由题意 k 3） x k+2 在 x 1 时恒成立 即 k ， 设 F（ x） = ， F（ x） = ， 令 m（ x） =x 2，则 m（ x） =1 = 0 在 x 1 时恒成立 所以 m（ x）在（ 1， +）上单调递增，且 m（ 3） =1 0， m（ 4） =2 0， 所以在（ 1， +）上存在唯一实数 3， 4）使 m（ x） =0 当 1 x m（ x） 0 即 F（ x） 0， 当 x m（ x） 0 即 F（ x） 0， 所以 F（ x）在（ 1， 单调递减，在（ +）上单调递增， F（ x） （ = = =（ 5， 6） 故 k 又 kZ，所以 k 的最大值为 5 四 22）（ 23）（ 24）中任 选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分做题时用 2选修 4何证明选讲 （本小题满分 10分） 22如图， O 的直径， 弦， 平分线 O 于点 D， 延长线于点 E， 点 F （ ）求证： O 的切线； （ ）若 = ，求 的值 【考点】 与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明 【分析】 （ ）连结 圆的性质得 此能证明 O 切线 第 17 页（共 19 页） （ ）过 D 作 H，