高中数学经典高考难题集锦(解析版)(11).doc

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷一选择题（共5小题）1（2013黑龙江）若存在正数x使2x（xa）1成立，则a的取值范围是（）A（，+）B（2，+）C（0，+）D（1，+）2（2012陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（ab），其全程的平均时速为v，则（）AavBv=CvDv=3（2008江西）已知函数f（x）=2x2+（4m）x+4m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A4，4B（4，4）C（，4）D（，4）4（2006重庆）若a，b，c0且，则2a+b+c的最小值为（）ABCD5（2004山东）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（）ABCD+二解答题（共25小题）6（2007重庆）已知各项均为正数的数列an的前n项和满足S11，且6Sn=（an+1）（an+2），nN*（1）求an的通项公式；（2）设数列bn满足，并记Tn为bn的前n项和，求证：3Tn+1log2（an+3），nN*7（2007上海）如果有穷数列a1，a2，a3，am（m为正整数）满足条件a1=am，a2=am1，am=a1，即ai=ami+1（i=1，2，m），我们称其为“对称数列”例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”（1）设bn是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11依次写出bn的每一项；（2）设cn是49项的“对称数列”，其中c25，c26，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求cn各项的和S；（3）设dn是100项的“对称数列”，其中d51，d52，d100是首项为2，公差为3的等差数列求dn前n项的和Sn（n=1，2，100）8（2007福建）数列an的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（nN*）（）求数列an的通项an；（）求数列nan的前n项和Tn9（2007上海）若有穷数列a1，a2an（n是正整数），满足a1=an，a2=an1an=a1即ai=ani+1（i是正整数，且1in），就称该数列为“对称数列”（1）已知数列bn是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出bn的每一项（2）已知cn是项数为2k1（k1）的对称数列，且ck，ck+1c2k1构成首项为50，公差为4的等差数列，数列cn的前2k1项和为S2k1，则当k为何值时，S2k1取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数m1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，222m1成为数列中的连续项；当m1500时，试求其中一个数列的前2008项和S200810（2006北京）设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn（）若a11=0，S14=98，求数列an的通项公式；（）若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式11（2006山东）已知数列an中，点（n，2an+1an）在直线y=x上，其中n=1，2，3（）令bn=an+1an1，求证数列bn是等比数列；（）求数列an的通项；（）设Sn、Tn分别为数列an、bn的前n项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出若不存在，则说明理由12（2006山东）已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，（1）证明数列lg（1+an）是等比数列；（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an），求Tn及数列an的通项；（3）记，求数列bn的前n项Sn，并证明13（2006天津）已知数列xn，yn满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且（为非零参数，n=2，3，4，）（1）若x1，x3，x5成等比数列，求参数的值；（2）当0时，证明；当1时，证明：14（2006天津）已知数列xn满足x1=x2=1并且为非零参数，n=2，3，4，）（1）若x1、x3、x5成等比数列，求参数的值；（2）设01，常数kN*且k3，证明15（2005山东）已知数列an的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（nN*）（I）证明数列an+1是等比数列；（II）令f（x）=a1x+a2x2+anxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f（1）并比较2f（1）与23n213n的大小16（2005重庆）数列an满足a1=1且8an+1an16an+1+2an+5=0（n1）记（）求b1、b2、b3、b4的值；（）求数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和Sn17（2004上海）设P1（x1，y1），P1（x2，y2），Pn（xn，yn）（n3，nN）是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d0）的等差数列，其中O是坐标原点记Sn=a1+a2+an（1）若C的方程为=1，n=3点P1（10，0）及S3=255，求点P3的坐标；（只需写出一个）（2）若C的方程为（ab0）点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P1，P2，Pn存在的充要条件，并说明理由18（2003上海）已知数列an（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列（1）求和：a1C20a2C21+a3C22，a1C30a2C31+a3C32a4C33；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明（3）设q1，Sn是等比数列an的前n项和，求：S1Cn0S2Cn1+S3Cn2S4Cn3+（1）nSn+1Cnn19（2014秋周村区校级月考）已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=145（1）求数列bn的通项bn；（2）设数列an的通项an=loga（1+）（其中a0，且a1），记Sn是数列an的前n项和试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论20（2010重庆）在数列an中，a1=1，an+1=can+cn+1（2n+1）（nN*），其中实数c0（1）求an的通项公式；（2）若对一切kN*有a2kazk1，求c的取值范围21（2010安徽模拟）已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当nyn+1（n=0，1，2，）时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b1），设数列|xn|由f（xn）=n（n=1，2，）定义（1）求x1、x2和xn的表达式；（2）求f（x）的表达式，并写出其定义域；（3）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点22（2009陕西）已知数列xn满足x1=，xn+1=，nN*；（1）猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论；（）证明：23（2009上海）已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列（1）若an=3n+1，是否存在m，nN*，有am+am+1=ak？请说明理由；（2）若bn=aqn（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有bmbm+1=bk，试求a、q满足的充要条件；（3）若an=2n+1，bn=3n试确定所有的p，使数列bn中存在某个连续p项的和式数列中an的一项，请证明24（2008北京）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a11，a21，an1；对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；又定义S（B）=2（b1+2b2+mbm）+b12+b22+bm2设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak）（k=0，1，2，）（）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；（）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A）=S（A）；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当kK时，S（Ak+1）=S（Ak）25（2007四川）已知函数f（x）=x24，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn）处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）（nN*），其中x1为正实数（）用xn表示xn+1；（）证明：对一切正整数n，xn+1xn的充要条件是x12（）若x1=4，记，证明数列an成等比数列，并求数列xn的通项公式26（2006江苏）设数列an、bn、cn满足：bn=anan+2，cn=an+2an+1+3an+2（n=1，2，3，），证明：an为等差数列的充分必要条件是cn为等差数列且bnbn+1（n=1，2，3，）27（2006辽宁）已知函数f（x）=，其中a，b，c是以d为公差的等差数列，且a0，d0设x0为f（x）的极小值点，在1上，f（x）在x1处取得最大值，在x2处取得最小值，将点（x0，f（x0），（x1，f（x1），（x2，f（x2，f（x2）依次记为A，B，C（）求x0的值；（）若ABC有一边平行于x轴，且面积为2+，求a，d的值28（2005江西）已知数列an的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=（4an），nN（1）证明anan+12，nN；（2）求数列an的通项公式an29（2003江苏）设a0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1（0a1a）从C上的点Qn（n1）作直线平行于x轴，交直线l于点Pn+1，再从点Pn+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1Qn（n=1，2，3，）的横坐标构成数列an（）试求an+1与an的关系，并求an的通项公式；（）当时，证明；（）当a=1时，证明30（1977北京）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？2015年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共5小题）1（2013黑龙江）若存在正数x使2x（xa）1成立，则a的取值范围是（）A（，+）B（2，+）C（0，+）D（1，+）考点：其他不等式的解法；函数单调性的性质菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可解答：解：因为2x（xa）1，所以，函数y=是增函数，x0，所以y1，即a1，所以a的取值范围是（1，+）故选：D点评：本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力2（2012陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（ab），其全程的平均时速为v，则（）AavBv=CvDv=考点：基本不等式菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v=及0ab，利用基本不等式及作差法可比较大小解答：解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S则v=0aba+b0va=va综上可得，故选A点评：本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用3（2008江西）已知函数f（x）=2x2+（4m）x+4m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A4，4B（4，4）C（，4）D（，4）考点：一元二次不等式的应用菁优网版权所有专题：压轴题分析：对函数f（x）判断=m2160时一定成立，可排除D，再对特殊值m=4和4进行讨论可得答案解答：解：当=m2160时，即4m4，显然成立，排除D当m=4，f（0）=g（0）=0时，显然不成立，排除A；当m=4，f（x）=2（x+2）2，g（x）=4x显然成立，排除B；故选C点评：本题主要考查对一元二次函数图象的理解对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式4（2006重庆）若a，b，c0且，则2a+b+c的最小值为（）ABCD考点：基本不等式在最值问题中的应用菁优网版权所有专题：压轴题分析：已知条件中出现bc，待求式子中有b+c，引导找b，c的不等式解答：解：若a，b，c0且，所以，则（2a+b+c），故选项为D点评：本题考查由已知与待求的式子凑出和的形式5（2004山东）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（）ABCD+考点：基本不等式菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先把题设中的三个等式联立可求得a，b和c，再把它们的值代入所求代数式，即可得解解答：解：b2+c2=2，c2+a2=2，b2+c2=c2+a2b2=a2又a2+b2=1，所以当a=b=，c= 时ab+bc+ca有最小值为：+（）+（）=，ab+bc+ca的最小值为，故选B点评：本题解题的关键是通过已知条件求得a，b和c值，然后代入即可二解答题（共25小题）6（2007重庆）已知各项均为正数的数列an的前n项和满足S11，且6Sn=（an+1）（an+2），nN*（1）求an的通项公式；（2）设数列bn满足，并记Tn为bn的前n项和，求证：3Tn+1log2（an+3），nN*考点：数列的求和；等差数列的通项公式；不等式的证明菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）先根据题设求得a1，进而根据an+1=Sn+1Sn整理得（an+1+an）（an+1an3）=0求得an+1an=3，判断出an是公差为3，首项为2的等差数列，则数列的通项公式可得（2）把（1）中的an代入可求得bn，进而求得前n项的和Tn，代入到3Tn+1log2（an+3）中，令，进而判断出f（n+1）f（n），从而推断出3Tn+1log2（an+3）=log2f（n）0，原式得证解答：解：（1）由，解得a1=1或a1=2，由假设a1=S11，因此a1=2，又由，得（an+1+an）（an+1an3）=0，即an+1an3=0或an+1=an，因an0，故an+1=an不成立，舍去因此an+1an=3，从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项为an=3n1（2）证明：由可解得；从而因此令，则因（3n+3）3（3n+5）（3n+2）2=9n+70，故f（n+1）f（n）特别地，从而3Tn+1log2（an+3）=log2f（n）0即3Tn+1log2（an+3）点评：本题主要考查了等差数列的通项公式涉及了不等式的证明，综合考查了学生对数列知识的灵活运用7（2007上海）如果有穷数列a1，a2，a3，am（m为正整数）满足条件a1=am，a2=am1，am=a1，即ai=ami+1（i=1，2，m），我们称其为“对称数列”例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”（1）设bn是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11依次写出bn的每一项；（2）设cn是49项的“对称数列”，其中c25，c26，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求cn各项的和S；（3）设dn是100项的“对称数列”，其中d51，d52，d100是首项为2，公差为3的等差数列求dn前n项的和Sn（n=1，2，100）考点：数列的求和；数列的概念及简单表示法菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；新定义分析：（1）由b1，b2，b3，b4为等差数列，且b1=2，b4=11，先求b1，b2，b3，b4，然后由对称数列的特点可写出数列的各项（2）由c25，c26，c49是首项为1，公比为2的等比数列，先求出c25，c26，c49通项，结合对称数列的对应项相等的特点，可知前面的各项，结合等比数列的求和公式可求出数列的和（3）由d51，d52，d100是首项为2，公差为3的等差数列，可求该数列d51，d52，d100的通项，由对称数列的特点，结合等差数列的特点，求数列的和解答：解：（1）设数列bn的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11，解得d=3，数列bn为2，5，8，11，8，5，2（2）S=c1+c2+c49=2（c25+c26+c49）c25=2（1+2+22+224）1=2（2251）1=2263=67108861（3）d51=2，d100=2+3（501）=149由题意得d1，d2，d50是首项为149，公差为3的等差数列当n50时，Sn=d1+d2+dn=当51n100时，Sn=d1+d2+dn=S50+（d51+d52+dn）=综上所述，点评：本题以新定义对称数列为切入点，运用的知识都是数列的基本知识：等差数列的通项及求和公式，等比数列的通项及求和公式，还体现了分类讨论在解题中的应用8（2007福建）数列an的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（nN*）（）求数列an的通项an；（）求数列nan的前n项和Tn考点：数列的求和；数列递推式菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（I）利用递推公式an+1=2Sn把已知转化为Sn+1与Sn之间的关系，从而确定数列an的通项；（II）由（I）可知数列an从第二项开始的等比数列，设bn=n则数列bn为等差数列，所以对数列nan的求和应用乘“公比”错位相减解答：解：（I）an+1=2Sn，Sn+1Sn=2Sn，=3又S1=a1=1，数列Sn是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n1（nN*）当n2时，an2Sn1=23n2（n2），an=（II）Tn=a1+2a2+3a3+nan，当n=1时，T1=1；当n2时，Tn=1+430+631+2n3n2，3Tn=3+431+632+2n3n1，得：2Tn=2+4+2（31+32+3n2）2n3n1=2+2=1+（12n）3n1Tn=+（n）3n1（n2）又Tn=a1=1也满足上式，Tn=+（n）3n1（nN*）点评：本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力9（2007上海）若有穷数列a1，a2an（n是正整数），满足a1=an，a2=an1an=a1即ai=ani+1（i是正整数，且1in），就称该数列为“对称数列”（1）已知数列bn是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出bn的每一项（2）已知cn是项数为2k1（k1）的对称数列，且ck，ck+1c2k1构成首项为50，公差为4的等差数列，数列cn的前2k1项和为S2k1，则当k为何值时，S2k1取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数m1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，222m1成为数列中的连续项；当m1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008考点：数列与函数的综合菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；新定义分析：（1）设bn的公差为d，由b1，b2，b3，b4成等差数列求解d从而求得数列bn，（2）先得到S2k1=4（k13）2+413250，用二次函数求解，（3）按照1，2，222m1是数列中的连续项按照定义，用组合的方式写出来所有可能的数列，再按其数列的规律求前n项和取符合条件的一组即可解答：解：（1）设bn的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11，解得d=3，数列bn为2，5，8，11，8，5，2（2）S2k1=c1+c2+ck1+ck+ck+1+c2k1=2（ck+ck+1+c2k1）ck，S2k1=4（k13）2+413250，当k=13时，S2k1取得最大值S2k1的最大值为626（3）所有可能的“对称数列”是：1，2，22，2m2，2m1，2m2，22，2，1；1，2，22，2m2，2m1，2m1，2m2，22，2，1；2m1，2m2，22，2，1，2，22，2m2，2m1；2m1，2m2，22，2，1，1，2，22，2m2，2m1对于，当m2008时，S2008=1+2+22+22007=220081当1500m2007时，S2008=1+2+2m2+2m1+2m2+22m2009=2m1+2m122m2009=2m+2m122m20091对于，当m2008时，S2008=220081当1500m2007时，S2008=2m+122m20081对于，当m2008时，S2008=2m2m2008当1500m2007时，S2008=2m+22009m3对于，当m2008时，S2008=2m2m2008当1500m2007时，S2008=2m+22008m2点评：本题一道新定义题，这样的题做法是严格按照定义要求，将其转化为已知的知识和方法去解决，本题涉及到等差数列的通项公式，等比数列求和，构造数列等知识10（2006北京）设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn（）若a11=0，S14=98，求数列an的通项公式；（）若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式考点：等差数列的通项公式；等差数列的性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（）本题是关于等差数列的基本量的运算，设出题目中的首项和公差，根据第十一项和前十四项的和两个数据列出方程组，解出首项和公差的值，写出数列的通项（）根据三个不等关系，写出关于首项和公差的不等式组，解不等式组，得到一个范围，根据an的首项a1及公差d都为整数得到所有可能的结果，写出通项公式解答：解：（）由S14=98得2a1+13d=14，又a11=a1+10d=0，解得d=2，a1=20an的通项公式是an=222n，（）由得即由+得7d11即d由+得13d1即d于是d又dZ，故d=1 将代入得10a112又a1Z，故a1=11或a1=12所有可能的数列an的通项公式是an=12n和an=13n，点评：本题考查数列的基本量，是一个综合问题，题目中结合不等式和方程的解法，根据题目所给的关系，写出关于数列的首项和公差的方程组，解方程组得到公差和首相，再写出通项公式11（2006山东）已知数列an中，点（n，2an+1an）在直线y=x上，其中n=1，2，3（）令bn=an+1an1，求证数列bn是等比数列；（）求数列an的通项；（）设Sn、Tn分别为数列an、bn的前n项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出若不存在，则说明理由考点：等比关系的确定；等差关系的确定；数列的求和；数列递推式菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（）把点（n、2an+1an）代入直线方程可得2an+1=an+n代入bn和bn+1中两式相除结果为常数，故可判定bn为等比数列（）由（）可求得数列bn的通项公式，进而可求得数列的前n项和，进而可得an的通项公式（）把数列an、bn通项公式代入an+2bn，进而得到Sn+2T的表达式代入Tn，进而推断当且仅当=2时，数列是等差数列解答：解：（）由已知得，又bn=an+1an1，bn+1=an+2an+11，=，bn是以为首项，以为公比的等比数列（）由（）知，将以上各式相加得：，（）存在=2，使数列是等差数列由（）、（）知，an+2bn=n2=又当且仅当=2时，数列是等差数列点评：本题主要考查了等比关系和等差关系的确定要利用好an和an1的关系12（2006山东）已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，（1）证明数列lg（1+an）是等比数列；（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an），求Tn及数列an的通项；（3）记，求数列bn的前n项Sn，并证明考点：等比关系的确定；数列的求和；数列递推式菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）把点（an，an+1）代入函数式，整理得an+1+1=（an+1）2，两边取对数整理得，进而判断lg（1+an）是公比为2的等比数列（2）根据等比数列的通项公式求的数列lg（1+an）的通项公式，进而求的an代入到Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）求的Tn（3）把（2）求的an代入到，用裂项法求和求得项，又，原式得证解答：解：（）由已知an+1=an2+2an，an+1+1=（an+1）2a1=2an+11，两边取对数得lg（1+an+1）=2lg（1+an），即lg（1+an）是公比为2的等比数列（）由（）知lg（1+an）=2n1lg（1+a1）=Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）=31+2+22+2n1=（）an+1=an2+2anan+1=an（an+2）又Sn=b1+b2+bn=又点评：本题主要考查了等比关系的确定和数列的求和问题考查了学生对数列知识的综合掌握13（2006天津）已知数列xn，yn满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且（为非零参数，n=2，3，4，）（1）若x1，x3，x5成等比数列，求参数的值；（2）当0时，证明；当1时，证明：考点：等比数列的性质；不等式的证明菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）根据把x1=x2=1代入求得x3，同理可求得x4=3，x5=6，进而根据等比中项的性质求得（2）根据根据不等式性质可知有=n1；=n1进而可得出，再看当1时得出，即fracx_n+1x_n，代入fracx_1y_1x_2y_2+fracx_2y_2x_3y_3+fracx_ny_nx_n+1y_n+1，原式得证解答：（1）解：由已知x1=x2=1，且x3=，同理可知x4=3，x5=6，若x1、x3、x5成等比数列，则x32=x1x5，即2=6而0，解得=1（2）证明：（）由已知0，x1=x2=1及y1=y2=2，可得xn0，yn0由不等式的性质，有=n1；另一方面，=n1因此，=（nN*）故（nN*）（）当1时，由（）可知，ynxn1（nN*）又由（）（nN*），则，从而（nN*）点评：本题以数列的递推关系为载体，结合等比数列的等比中项及前n项和的公式，运用不等式的性质及证明等基础知识进行运算和推理论证14（2006天津）已知数列xn满足x1=x2=1并且为非零参数，n=2，3，4，）（1）若x1、x3、x5成等比数列，求参数的值；（2）设01，常数kN*且k3，证明考点：等比数列的性质；等差数列的前n项和；数列的应用；不等式的证明菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）令n=2，3，4代入到为非零参数，n=2，3，4，）中得到x1、x3、x5若它们成等比数列则根据x32=x1x5，即求出即可；（2）设，由已知，数列an是以为首项、为公比的等比数列，化简不等式左边由01，常数kN*且k3得证解答：解：（1）解：由已知x1=x2=1，且若x1、x3、x5成等比数列，则x32=x1x5，即2=6而0，解得=1（2）证明：设，由已知，数列an是以为首项、为公比的等比数列，故，则=n+k2n+k3n1因此，对任意nN*，=当k3且01时，所以点评：本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、等差数列前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力15（2005山东）已知数列an的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（nN*）（I）证明数列an+1是等比数列；（II）令f（x）=a1x+a2x2+anxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f（1）并比较2f（1）与23n213n的大小考点：等比关系的确定；导数的运算；不等式比较大小菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（I）根据an+1=Sn+1Sn，得到n2时an+1和an关系式即an+1=2an+1，两边同加1得到an+1+1=2（an+1），最后验证n=1时等式也成立，进而证明数列an+1是等比数列（II）通过（I）an+1的首项为5公比为2求得数列an+1的通项公式，进而求得an的通项公式，代入f（x）进而求出f（x），再求得f（1），进而求得2f（1）要比较2f（1）与23n213n的大小，只需看2f（1）（23n213n）于0的关系解答：解：（I）由已知Sn+1=2Sn+n+5（nN*），可得n2，Sn=2Sn1+n+4两式相减得Sn+1Sn=2（SnSn1）+1即an+1=2an+1从而an+1+1=2（an+1）当n=1时S2=2S1+1+5所以a2+a1=2a1+6又a1=5所以a2=11从而a2+1=2（a1+1）故总有an+1+1=2（an+1），nN*又a1=5，a1+10从而=2即数列an+1是等比数列；（II）由（I）知an=32n1因为f（x）=a1x+a2x2+anxn所以f（x）=a1+2a2x+nanxn1从而f（1）=a1+2a2+nan=（321）+2（3221）+n（32n1）=3（2+222+n2n）（1+2+n）=3（n1）2n+1+6由上2f（1）（23n213n）=12（n1）2n12（2n2n1）=12（n1）2n12（n1）（2n+1）=12（n1）2n（2n+1）当n=1时，式=0所以2f（1）=23n213n；当n=2时，式=120所以2f（1）23n213n当n3时，n10又2n=（1+1）n=Cn0+Cn1+Cnn1+Cnn2n+22n+1所以（n1）2n（2n+1）0即0从而2f（1）23n213n点评：本题主要考查了数列中等比关系的确定往往可以通过，q为常数的形式来确定16（2005重庆）数列an满足a1=1且8an+1an16an+1+2an+5=0（n1）记（）求b1、b2、b3、b4的值；（）求数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和Sn考点：数列的求和；数列递推式菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（法一）（I）由a1结合递推公式可求a2，a3，a4，代入求b1，b2，b3，b4（II）先由（I）中求出的b1，b2，b3，b4的值，观察规律可猜想数列为等比数列，进而可求bn，结合，从而猜想得以证明，代入求出anbn，进而求出前n和sn（法二）（I）代入递推公式可得，代入可求b1，b2，b3，b4（II）利用（I）中的递推关系个构造数列为等比数列，从而可求bn，sn（法三）（I）同法一（II）先由（I）中求出的b1，b2，b3，b4的值，观察规律可猜想数列bn+1bn为等比数列，仿照法一再证明猜想，根据求通项的方法求bn，进一步求sn解答：解：法一：（I）a1=1，故；，故；，故；，故（II）因，故猜想是首项为，公比q=2的等比数列因an2，（否则将an=2代入递推公式会导致矛盾）故因，故确是公比为q=2的等比数列因，故，由得，故Sn=a1b1+a2b2+anbn=法二：（）由得，代入递推关系8an+1an16an+1+2an+5=0，整理得，即，由a1=1，有b1=2，所以（）由，所以是首项为，公比q=2的等比数列，故，即由，得，故Sn=a1b1+a2b2+anbn=法三：（）同解法一（）猜想bn+1bn是首项为，公比q=2的等比数列，又因an2，故因此=；=因是公比q=2的等比数列，从而bn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1=由得，故Sn=a1b1+a2b2+anbn=点评：本题考查了数列的综合运用：递推关系的运用，构造等比求数列通项，累加求通项，归纳推理的运用，综合考查了考生的推理运算能力17（2004上海）设P1（x1，y1），P1（x2，y2），Pn（xn，yn）（n3，nN）是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d0）的等差数列，其中O是坐标原点记Sn=a1+a2+an（1）若C的方程为=1，n=3点P1（10，0）及S3=255，求点P3的坐标；（只需写出一个）（2）若C的方程为（ab0）点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P1，P2，Pn存在的充要条件，并说明理由考点：等差数列的性质；数列的求和；椭圆的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（1）依题意可分别求得a1和a3，进而把椭圆方程和圆的方程联立求得交点即P3的坐标（2）根据原点O到二次曲线C：（ab0）上各点的最小距离为b，最大距离为a根据a1=a2，判断d0，进而根据anb2，求得d，进而判断Sn在，0）上递增，进而求得Sn的最小值（3）点P1（a，0），则对于给定的n，点P1，P2，Pn存在的充要条件是d0根据双曲线的性质可知原点O到双曲线C上各点的距离h的范围，进而根据|OP1|=a2推断点P1，P2，Pn存在当且仅当|OPn|2|OP1|2符合解答：解：（1）a1=|OP1|2=100，由S3=（a1+a3）=255，得a3=|OP3|3=70由，得，点P3的坐标可以为（2，）（2）原点O到二次曲线C：（ab0）上各点的最小距离为b，最大距离为aa1=|OP1|2=a2，d0，且an=|OPn|2=a2+（n1）db2，d0n3，0Sn=na2+d在，0）上递增，故Sn的最小值为na2+=（3）若双曲线C：=1，点P1（a，0），则对于给定的n，点P1，P2，Pn存在的充要条件是d0原点O到双曲线C上各点的距离h|a|，+），且|OP1|=a2，点P1，P2，Pn存在当且仅当|OPn|2|OP1|2，即d0点评：本题主要考查了等差数列的性质涉及了圆锥曲线和函数的知识，考查了学生综合分析问题和基本的运算能力18（2003上海）已知数列an（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列（1）求和：a1C20a2C21+a3C22，a1C30a2C31+a3C32a4C33；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明（3）设q1，Sn是等比数列an的前n项和，求：S1Cn0S2Cn1+S3Cn2S4Cn3+（1）nSn+1Cnn考点：数列的求和；等比数列的性质菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）利用组合数公式和等比数列的通项公式进行化简，再利用平方差和立方差公式合并（2）利用归纳推理和（1）的结果进行推理出结论，利用二项式定理从左边到右边证明（3）由题意知数列an是等比数列，而且q1，求出sn代入所给的式子，进行整理和分组，再利用二项式定理求解解答：解：（1）a1C20a2C21+a3C22=a12a1q+a1q2=a1（1q）2a1C30a2C31+a3C32a4C33=a1（1q）2a1C30a2C31+a3C32a4C33=a13a1q+3a1q2a1q3=a1（1q）3；（2）归纳概括的结论为：若数列an是首项为a1，公比为q的等比数列，则a1Cn0a2Cn1+a3Cn2a4Cn3+（1）nan+1Cnn=a1（1q）n，n为正整数证明：a1Cn0a2Cn1+a3Cn2a4Cn3+（1）nan+1Cnn=a1Cn0a1qCn1+a1q2Cn2a1q3Cn3+（1）na1qnCnn=a1Cn0qCn1+q2Cn2q3Cn3+（1）nqnCnn=a1（1q）n；左边=右边，该结论成立（3）数列an（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列，而且q1=，S1Cn0S2Cn1+S3Cn2S4Cn3+（1）nSn+1Cnn=（1q）cn0（1q2）cn1+（1q3）cn2（1q4）cn3+（1）n（1qn+1）cnn=点评：本题为等比数列和二项式定理的综合应用，还用到组合数公式，计算量大；在化简式子时根据特点进行分组求解，利用二项式定理进行化简19（2014秋周村区校级月考）已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=145（1）求数列bn的通项bn；（2）设数列an的通项an=loga（1+）（其中a0，且a1），记Sn是数列an的前n项和试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论考点：等差数列的通项公