高中数学必修二第二章经典练习题.doc

高一数学必修二第二章经典练习题高一数学必修二第二章经典练习题 第第 I I 卷 选择题 卷 选择题 请修改第 I 卷的文字说明 评卷人得分 一 单项选择一 单项选择 1 在空间 下列哪些命题是正确的 平行于同一条直线的两条直线互相平行 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 平行于同一个平面的两条直线互相平行 垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A 仅 不正确 B 仅 正确 C 仅 正确 D 四个命题都正确 2 如果直线 a 是平面 的斜线 那么在平面 内 A 不存在与 a 平行的直线 B 不存在与 a 垂直的直线 C 与 a 垂直的直线只有一条 D 与 a 平行的直线有无数条 3 平面 内有一四边形 ABCD P 为 外一点 P 点到四边形 ABCD 各 边的距离相等 则这个四边形 A 必有外接圆 B 必有内切圆 C 既有内切圆又有外接圆 D 必是正方形 4 已知六棱锥 P ABCDEF 的底面是正六边形 PA 平面 ABC PA 2AB 则下列结论正确的是 A PB AD B 平面 PAB 平面 PBC C 直线 BC 平面 PAE D 直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45 5 若a b是异面直线 直线c a 则c与b的位置关系是 A 相交 B 异面 C 平行 D 异面或相交 6 设四棱锥 P ABCD 的底面不是平行四边形 用平面 去截此四棱锥 如图 使得截面四边形是平行四边形 则这样的平面 A 不存在 B 只有 1 个 C 恰有 4 个 D 有无数 多个 7 设 P 是 ABC 所在平面外一点 P 到 ABC 各顶点的距离相等 而且 P 到 ABC 各边的距离也相等 那么 ABC A 是非等腰的直角三角形 B 是等腰直角三角形 C 是等边三角形 D 不是 A B C 所述的三角形 8 已知正四棱锥SABCD 的侧棱长与底面边长都相等 E是SB的中 点 则AESD 所成的角的余弦值为 A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 2 3 9 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 AA1与 CC1的中点 则直线 ED 与 D1F 所成角的大小是 A 1 5 B 1 3 C 1 2 D 3 2 10 已知空间两条不同的直线 m n 和两个不同的平面 则下列命题 中正确的是 A 若 mnmn 则 B 若 m mnn 则 C 若 mnmn 则D 若 mmnmn 则 11 在三棱柱 111 ABCABC 中 各棱长相等 侧掕垂直于底面 点D是 侧面 11 BBC C的中心 则AD与平面 11 BBC C所成角的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 w w w k s 5 u c o m 12 已知直线 l m 平面 且l m 则 是 lm 的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 13 设 b c表示两条直线 表示两个平面 下列命题中是真命题的 是 A b bc c B b c bc C c c D c c 14 在下列四个正方体中 能得出AB CD的是 15 在正方体 1111 DCBAABCD 中 O为正方形ABCD中心 则OA1与平 面 ABCD 所成角的正切值为 A 2 B 2 2 C 1 D 3 3 16 在正方体 1111 ABCDABC D 中 若E是 11 AC的中点 则直线CE垂 直于 A AC B BD C 1 AD D 11 AD 17 四条不共线的线段顺次首尾连接 可确定平面的个数是 A 1B 3C 4D 1 或 4 18 设 a b 为两条直线 为两个平面 下列四个命题中真命题 是 A 若 a b 与 所成角相等 则 a b B 若 a b 则 a b C 若 a b a b 则 D 若 a b 则 a b 19 如图正四面体 D ABC中 P 面 DBA 则在 A B C D P 平面 DAB 内过点 P 与直线 BC 成 60 角的直线共有 A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 3 条 20 已知 AA 是两条异面直线的公垂线段 E F 分别是异面直线上任意 两点 那么线段 AA 与 EF 的长度关系是 A EF AA B EF AA C EF AA D EF AA 21 已知 是平面 m n是直线 下列命题中不正确的是 A 若m n m 则 n B 若 m m 则 C 若 m m 则 D 若m n 则m n 22 三个角是直角的四边形 A 一定是矩形 B 一定是空间四边形 C 是四个角为直角的空间四边形 D 不能确定 23 如图长方体中 AB AD 23 CC1 2 则二面角 C1 BD C 的大 小为 30 B 45 C 60 D 90 24 直线 a 平面 平面 内有 n 条直线交于一点 那么这 n 条直 线中与直线 a 平行的 A 至少有一条B 至多有一条C 有且只有一条D 不可能有 25 若平面外的一条直线上有两个点到一个平面的距离相等 则这条直 线和这个平面的位置关系是 A 平行 B 相交 C 垂直 D 平行或相交 26 直线与平面平行的充要条件是 A 直线与平面内的一条直线平行 B 直线与平面内的两条直 线不相交 C 直线与平面内的任一直线都不相交 D 直线与平行内的无数条 直线平行 27 下列四个结论 两条直线都和同一个平面平行 则这两条直线平行 两条直线没有公共点 则这两条直线平行 两条直线都和第三条直线垂直 则这两条直线平行 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点 则这条直线和这个平 面平行 其中正确的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 28 如图 正方体 1 AC的棱长为 1 过点A作平面 1 ABD的垂线 垂足 为点H 则以下命题中错误的是 A 点H是 1 ABD 的垂心 B AH垂直平面 11 CB D C AH的延长线经过点 1 C D 直线AH和 1 BB所成角为45 29 空间四边形 ABCD 中 AC BD 且 AC BD E F G H 分别是 AB BC CD DA 的中点 则四边形 EFGH 是 A 菱形 B 矩形 C 梯形 D 正方形 30 命题 1 一个平面的两条斜线段中 较长的斜线段有较长的射 影 2 两条异面直线在同一平面内的射影是两条相交直线 3 两 条平行直线在同一平面内的射影是两条平行直线 4 一个锐角在一 个平面内的射影一定是锐角 以上命题正确的有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D3 个 31 正四棱锥PABCD 的所有棱长相等 E为PC的中点 那么异面直 线BE与PA所成角的余弦值等于 A 1 2 B 2 2 C 2 3 D 3 3 32 对于任意的直线l与平面 在平面 内必有直线m 使m与l A 平行 B 相交 C 垂直 D 互为异面直线 33 已知 a b c 均是直线 则下列命题中 必成立的是 A 若 a b b c 则 a c B 若 a 与 b 相交 b 与 c 相交 则 a 与 c 也相交 C 若 a b b c 则 a c D 若 a 与 b 异面 b 与 c 异面 则 a 与 c 也是异面直线 34 在正四棱锥 P ABCD 中 点 P 在底面上的射影为 O E 为 PC 的中点 则直线 AP 与 OE 的位置关系是 A 平行 B 相交 C 异面 D 都有 可能 35 三棱锥 P ABC 的四个顶点都在体积为的球的表面上 ABC 500 3 所在的小圆面积为 16 则该三棱锥的高的最大值为 A 7 B 7 5 C 8 D 9 36 已知三棱锥SABC 中 底面ABC为边长等于 2 的等边三角形 SA垂直于底面ABC SA 3 那么直线AB与平面SBC所成角的正弦 值为 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 37 已知 a b 是两条不重合的直线 是两个不重合的平面 下列 命题中正确的是 A ab b 则 a B a b a b 则 C a b 则ab D 当a 且b 时 若b 则a b 38 与空间四点距离相等的平面共有 A 3 个或 7 个 B 4 个或 10 个 C 4 个或无数个 D 7 个或无数个 39 已知直线l m与平面 满足 llm m 则有 A 且 m B 且lm C m 且lm D 且 40 在棱长为 1 的正方体 ABCD 1111 DCBA中 CA1与平面 ABCD 所成的 角为 A 6 B 3 3 arctan C 3 D 2 2 arctan 第第 IIII 卷 非选择题 卷 非选择题 请修改第 II 卷的文字说明 评卷人得分 二 填空题二 填空题 41 已知直线a和平面 试利用上述三个元素并借助于它们之间的 位置关系 构造出一个条件 使之能判断出 这个条件可以是 42 已知三个平面 a b 是异面直线 a 与 分别交于 A B C 三点 b 与 分别交于 D E F 三点 连结 AF 交平面 于 G 连结 CD 交平面 于 H 则四边 形 BGEH 必为 43 m n为直线 为平面 给出下列命题 若 m m 则 若 m n m n是异面直线 则 若 m n m n 则 若m n m n n 则n 且n 其中正确命题序号是 44 已知平面 直线 l m满足 ml lm 11 题图 那么 m l 可由上述条件可推出的结论有 请将你认为正确的结论的序号 都填上 45 已知平面 和直线 给出条件 m m m i 当满足条件 时 有 m ii 当满足条件 时 有 m 填所选条件的序号 评卷人得分 三 解答题三 解答题 46 如图 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为矩形 且 PA AD 1 AB 2 120PAB 90PBC 1 求证 平面PAD 平面PAB 2 求三棱锥 D PAC 的体积 47 如图 直角梯形ABCD中 ABCD ADAB 24CDAB 2AD E为CD的中点 将BCE 沿BE折起 使得 CODE 其中点O在线段DE内 1 求证 CO 平面ABED 2 问CEO 记为 多大时 三棱锥CAOE 的体积最大 最大值 为多少 48 如图 ABCD 是正方形 O 是正方形的中心 PO 面 ABCD E 是 PC 的中 点 求证 1 PA 平面 BDE 2 平面 PAC 平面 BDE AB C D O P E 49 如图 已知四棱台 ABCD A1B1C1D1的侧棱 AA1垂直于底面 ABCD 底 面 ABCD 是边长为 2 的正方形 四边形 A1B1C1D1是边长为 1 的正方形 DD1 2 I 求证 平面 A1ACC1 平面 B1BDD1 求四棱台 ABCD A1B1C1D1的体积 求二面角 B C1C D 的余弦值 50 如图所示的几何体是将高为 2 底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平 面切开后 将其中一半沿切面向右水平平移后得到的 A A B B 分别 为ACD A C D A DE AD E 的中点 1122 O O O O 分别为CD C D DE D E 的中点 1 证明 12 OA O B 四点共面 2 设G为 AA 中点 延长 1 A O 到 H 使得 11 O HA O 证明 2 BO 平面H B G A B E C C E A B D D G H 2 O 1 O 2 O 参考答案参考答案 一 单项选择一 单项选择 1 答案 B 解析 该命题就是平行公理 即课本中的公理 4 因此该命题是正确的 如图 直线a 平面 b c 且Acb 则ba ca 即平面 内两条 直交直线b c都垂直于同一条直线a 但b c的位置关系并不是平行 另外 b c的位置关系也可以是异面 如果把直线b平移到平面 外 此时与a的位置关系仍是 垂直 但此时 b c的位置关系是异面 如图 在正方体 1111 DCBAABCD 中 易知ABCDBA平面 11 ABCDDA平面 11 但 11111 ADABA 因此该命题是错误的 该命题是线面垂直的性质定理 因此是正确的 综上可知 正确 2 答案 A 3 答案 B 4 答案 D 解析 AD 与 PB 在平面 ABC 内的射影 AB 不垂直 A 不成立 又平面 PAB 平面 PAE 平面 PAB 平面 PBC 也不成立 BC AD BC 平面 PAD 直线 BC 平 面 PAE 也不成立 在 Rt PAD 中 PA AD 2AB PDA 45 D 正确 5 答案 D 6 答案 D 解析 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m n 直线 m n 确定了一个平面 作 与 平行的平面 与四棱锥的各个侧面相截 则截得的四边形必为平行四边形 而 这样的平面 有无数多个 7 答案 C 8 答案 连接 AC BD 交于 O 连接 OE 因 OE SD 所以 AEO 为所求 设侧棱长与底面 边长都等于 2 则在 AEO 中 OE 1 AO 2 AE 3122 于是 3 3 3 1 132 2 1 3 cos 222 AEO 答案 C 9 答案 A 10 答案 D 11 答案 C 解析 取 BC 的中点 E 则AE 面 11 BBC C w w w k s 5 u c o m AEDE 因此AD与平面 11 BBC C所成角即为ADE 设ABa 则 3 2 AEa 2 a DE 即有 0 tan3 60ADEADE 12 答案 B 13 答案 C 14 答案 A 解析 CD在平面BCD内 AB是平面BCD的斜线 由三垂线定理可得 A 15 答案 A 16 答案 B 17 答案 D 解析 可以是平面四边形 也可以是空间四边形 所以正确选项为 D 18 答案 D 解析 正四棱锥 P ABCD 中 PA PC 与底面 ABCD 所成角相等 但 PA 与 PC 相交 A 错 如图 1 正方体中 a b c 满足 a b 故 B 错 图 2 正 方体中 上 下底面为 a b 为棱 满足 a b a b 但 故 C 错 19 答案 解析 在平面 DAB 内过点 与直线 BC 成 60 角的直线共有 条 故在平面 DAB 内过点 与直线 BC 成 60 角的直线共有 条 20 答案 D 21 答案 D 依次画出各选项的示意图 解析 依次画出各选项的示意图 显然 D 不正确 选 D 22 答案 D 解析 若此四边形是平面图形 则一定是矩形 若为空间图形 则为有三个角为直 角的空间四边形 23 答案 A 24 答案 B 解析 过a与该点作一平面与平面 相交 则交线与a平行 那么在平面 内过该 点的直线中 除这一条直线外 其余的与a都不平行 所以正确选项为 B 25 答案 D 解析 考虑平面外的直线与平面有两种位置关系可得正确选项为 D 26 答案 C 27 答案 A 解析 两条直线都和同一个平面平行 这两条直线三种位置关系都有可能 两条直线没有公共点 则这两条直线平行或异面 两条直线都和第三条直线垂直 则这两条直线三种位置关系都有可能 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点 则这条直线也可在这个平面内 28 答案 D 29 答案 D 解析 由中位线定理得四边形是平行四边形 再由已知可得相邻两边垂直且相等 所以正确选项为 D 即有 1 2 1 2 EFAC EF GH GHAC EFAC EHBD EFGHEFEH ACBD ACBD 又 四边形 EFGH 是正方形 30 答案 A 31 答案 D 32 答案 C 33 答案 C 34 答案 A 35 答案 C 解析 ABC 所在小圆面积为 16 小圆半径 r O A 4 又球体积为 500 3 4 R3 3 500 3 球半径 R 5 OO 3 故三棱锥的高为 PO R OO 8 或 2 故选 C 36 答案 D 解析 本题考查了立体几何的线与面 面与面位置关系及直线与平面所成角 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E 连结 SE 过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F 连 BF 正三角形 ABC E 为 BC 中点 BC AE SA BC BC 面 SAE BC AF AF SE AF 面 SBC ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角 由正三角形边 长 3 3 3 ASAE 32 SE 2 3 AF 4 3 sin ABF 37 答案 B 38 答案 D 解析 若 A B C D 四点不在一个平面内 如果一边 3 个 另一边 1 个 适合题意 的平面有 4 个 如果每边 2 个 适合题意的平面有 3 个 共 7 个 若 A B C D 四 点在一个平面内 则距离相等的平面有无数个 39 答案 B mm 又lml 40 答案 D 二 填空题二 填空题 41 答案 a a 或 a a 42 答案 平行四边形 解析 由 a 与 AF 相交于 A 有 BG 面 ACF BG CF 同理有 HE CF BG HE 同理 BH GE 四边形 BGEH 为平行四 边形 43 答案 44 答案 45 答案 解析 若 m 则 m 若 m 则 m 三 解答题三 解答题 46 答案 1 证明 ABCD 为矩形 ADAB 且 ADBC BCPB DAPB 且ABPBB DA 平面PAB 又 DA 平面 PAD 平面PAD 平面PAB 2 D PACP DACP ABCC PAB VVVV 由 1 知DA 平面PAB 且 ADBC BC 平面PAB分 11 1 sin 33 2 C PABPAB VSBCPA ABPAB BC 133 1 21 626 47 答案 1 在直角梯形ABCD中 2CDAB E为CD的中点 则ABDE 又ABDE ADAB 知BECD 在四棱锥CABEO 中 BEDE BECE CEDEE CE DE 平面CDE 则BE 平面CDE 因为CO 平面CDE 所 以 BECO 又CODE 且 BE DE是平面ABED内两条相交直线 故CO 平面 ABED 2 由 1 知CO 平面ABED 知三棱锥CAOE 的体积 111 332 AOE VSOCOEAD OC 由直角梯形ABCD中 24CDAB 2AD 2CE 得三棱锥CAOE 中 cos2cos sin2sin OECEOCCE 22 sin2 33 V 当且仅当 sin21 0 2 即 4 时取等号 此时2OEDE O落在线 段DE内 故当 4 时 三棱锥CAOE 的体积最大 最大值为 2 3 48 答案 1 O 是 AC 的中点 E 是 PC 的中点 OE AP 又 OE 平面 BDE PA 平 面 BDE PA 平面 BDE 2 PO 底面 ABCD PO BD 又 AC BD 且 AC PO O BD 平面 PAC 而 BD 平面 BDE 平面 PAC 平面 BDE 49 答案 1 AA 平面 ABCD BDAA 1 底面ABCD是正方形 BDAC 1 AA与AC是平面 11ACC A内的两条相交直线 BD 平面 11ACC A BD 平面 11 B BDD 平面 11 A ACC 平面 11 B BDD 过 1 D作ADHD 1 于H 则AAHD 11 1 AA 平面 ABCD HD1平面ABCD 在DHDRt 1 中 求得3 1 HD 而HDAA 11 所以四棱台的体积 3 37 3421