数学人教版八年级下册18.1.2三角形中位线.docx

三角形中位线教学设计如下2011-11-09 22:14:35|分类：教学案例|举报|字号订阅教学目标:1知识与技能通过画图，亲身体验三角形中位线的概念以及与三角形中线的区别，掌握三角形中位线定理；通过三角形中位线定理的证明，渗透数学学习中的转化思想,培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力，并能应用所学的知识解决问题。2过程与方法通过问题让学生猜想三角形的中位线与第三边的关系，进而用推理论证的方法证明猜想是否正确。3通过变式练习，小组讨论、交流等活动，培养良好的学习态度以及自主意识和合作精神教学重点、难点重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线定理解决问题。难点：证明三角形中位线定理如何添加辅助线是本节的教学难点。教学过程一明确三角形中位线的概念，给出研究课题1我们已学过三角形的有关线段，请同学们在图中，画出ABC的中线提问：三角形有几条中线？它们是什么点间的连线？在图中，若D、E、F分别是AB、AC、BC中点，请同学们在图中，连结DE、DF、EF，（稍等片刻，让学生完成操作）提问：这三条线段都是什么点间的连线？这三条线段称为ABC的中位线你能否根据刚才的画图，写出三角形中位线的定义呢？（学生直接将定义写在练习纸上，然后交流、板书）我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（上图中的D、E分别是边AB、AC的中点，则线段DE就是ABC的中位线）说说三角形的中线和三角形的中位线的异同？（都是线段，都有三条，一个是顶点与对边中点的连线，一个是两边中点的连线）2提出问题如图，ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，（边口述，边板书）那么请同学们观察一下，猜一猜：中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系？3猜想结论为了猜想中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系，我们做一个拼图活动：我们把三角形沿中位线DE剪一刀试一试：你能不能把ADE和四边形BDEC拼接成一个平行四边形呢？你也可以与同桌合作，共同探索，一起来拼（教师要巡视，对完成的学生教师可提问：你拼成的图形是平行四边形吗？为什么？要求同桌一起讨论）我们把刚才拼接好的平行四边形画在练习纸上，请同学们打开，然后小组讨论一下，请把你猜测得的结论写在纸上（学生独立观察并猜想结论，然后同桌交流，最后集体交流，并板书结论）二推理、论证结论1刚才同学们交流了利用我们所提供的图形，得到了中位线DE与BC在位置和数量上的关系，你能否用语言叙述这一结论呢？（学生尝试归纳结论，并互相补充完整后，板书）命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半你能证明这个命题吗？（板书）已知：如图，在ABC中，AD=DB，AE=EC求证：DEBC，DE=1/2 BC（经过交流、分析后，学生独立写出证明过程）通过了同学们的证明，可以知道你们猜想的结论是正确的我们把这个结论称为三角形中位线定理，（把命题改写成三角形中位线定理）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半已知：如图所示，在ABC中，AD=DB，AE=EC求证：DEBC，证明：延长DE到F，使EF=DE，连结CF，AE=CE，AED=CEF（对顶角相等），ED=EFADECFE（SAS）AD=CF（全等三角形的对应边相等）ADE=F（全等三角形的对应角相等）ADCF（内错角相等，两直线平行）AD=DB，CF=DB所以四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）于是DFBC，DF=BC，即DEBC，DE=1/2 BC。2.学生自学课本，看看书上是如何推理证明的？利用了什么方法？(先独立思考，再合作交流，掌握多种证明方法)3练习1已知：如果，点D、E、F分别是ABC的三边的中点（1）若AB=8cm，求EF的长；（2）若DE=5cm，求BC的长（3）若增加M、N分别是BD、BF的中点，问MN与AC有什么关系？为什么？（学生口答，教师板书结论，并请学生说明理由）三角形中位线定理不仅有三角形的中位线与第三边之间的位置关系，而且还有它们之间的数量关系另外，从第（3）题可知：当题设中出现中点时，要考虑应用三角形中位线定理来解决三、三角形中位线定理的应用例1、求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。（解答见课本）已知：如图，在ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC求证：AE、DF互相平分证明：连结DE、EFAD=DB，BE=CEDEAC（三角形中位线定理）同理EFAB四边形ADEF是平行四边形AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）例2、求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形。已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形。分析考虑到E、F是AB、BC的中点，因此连结AC，就得到EF是ABC的中位线，由三角形中位线定理得，EF=，同理GH=，则EFGH，EF=GH,所以四边形EFGH是平行四边形。证明：连结ACE、F是AB、BC的中点EF=，EFAC同理，GH=，GHACEFGH，EF=GH四边形EFGH是平行四边形。四、课堂小结：通过本节课的学习，你有什么收获和感悟？本节课，我们通过动手操作、自主探索、合作交流，总结出了三角形中位线具有的性质。在知识探索的过程中，同学们积极思考，大胆探索，团结协作共同取得了进步。a. 引入新课，激发兴趣。 本节课，我是这样引入的，拿出做好的仁一四边形，展示给学生，然后告诉学生，把这一四边形各边中点顺次连接起来，（给它起个名字”叫中点四边形“），请同学们观察猜想它象什么四边形？（一般能观察出象平行四边形），然后活动演示，改变四边形的形状，让学生观察整个运动变化过程中这”一中点四边形”的变化情况回出现什么？（有时象平行四边形，有时象矩形，菱形），然后肯定学生的猜想是正确的。此时自然有同学提出这是为什么呢？这时引入课题只要同学们学了“三角形的中位线”的知识后，就回明白其中的道理和奥妙。b. 启发诱导、探求新知。1. 三角形的中位线和概念的:教学先画一个任意三角形，把一顶点和对边中点连结起来问学生，这一条线段叫什么？（学生一般能答上来）再把两个中点连结起来，问学生，这一线段有叫什么呢？（有的能答上来，有的答不上来）然后教师点名这就是三角形的中位线。中线（be）： 顶点、中点为两端 它们都是一条线段中位线（de）： 两中点为两端 都分别有三条这样很直观的把二者区别与联系反映出来，学生很易理解。（一）教材分析本课时所要探究的三角形中位线定理是学生以前从未接触过的内容。因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索发现猜想证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。（二）学情分析本班学生基础知识比较扎实，接受新知识的意识较强，对于本章有关平行四边形的性质和判定的内容掌握较好，但知识迁移能力较差，数学思想方法运用不够灵活。因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。在此过程中注重知识的迁移同时重点渗透转化、类比、归纳的数学思想方法，使学生的优势得以发挥，劣势得以改进，从而提高学生的整体水平。(三）教学目标1.知识目标1）了解三角形中位线的概念。2）掌握三角形中位线定理的证明和有关应用。2.能力目标1） 经历“探索发现猜想证明”的过程，进一步发展推理论证能力。2） 能够用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。3）能够应用三角形的中位线定理进行有关的论证和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感目标通过学生动手操作、观察、实验、推理、猜想、论证等自主探索与合作交流的过程，激发学生的学习兴趣，让学生真正体验知识的发生和发展过程，培养学生的创新意识。（四）教学重点与难点教学重点：三角形中位线的概念与三角形中位线定理的证明.教学难点：三角形中位线定理的多种证明。 （五）教学方法与学法指导对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。（六）教具和学具的准备教具：多媒体、投影仪、三角形纸片、剪刀、常用画图工具。学具：三角形纸片、剪刀、刻度尺、量角器。二、 教学过程1.一道趣题课堂因你而和谐a.引入新课，激发兴趣。 本节课，我是这样引入的，拿出做好的仁一四边形，展示给学生，然后告诉学生，把这一四边形各边中点顺次连接起来，（给它起个名字”叫中点四边形“），请同学们观察猜想它象什么四边形？（一般能观察出象平行四边形），然后活动演示，改变四边形的形状，让学生观察整个运动变化过程中这”一中点四边形”的变化情况回出现什么？（有时象平行四边形，有时象矩形，菱形），然后肯定学生的猜想是正确的。此时自然有同学提出这是为什么呢？这时引入课题只要同学们学了“三角形的中位线”的知识后，就回明白其中的道理和奥妙。问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗？（板书）（这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动地加入到课堂教学中，课堂气氛变得较为和谐，课堂也鲜活起来了。）学生想出了这样的方法：顺次连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形如图中，将ADE绕E点沿顺（逆）时针方向旋转180可得平行四边形ADFE。问题：你有办法验证吗？2.一种实验课堂因你而生动学生的验证方法较多，其中较为典型的方法如下：生1：沿DE、DF、EF将画在纸上的ABC剪开，看四个三角形能否重合。生2：分别测量四个三角形的三边长度，判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等。生3：分别测量四个三角形对应的边及角，判断是否可用“SAS、ASA或AAS”判定全等。引导：上述同学都采用了实验法，存在误差，那么如何利用推理论证的方法验证呢？3.一种探索课堂因你而鲜活师：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（板书）问题：三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢？在前面图1中你能发现什么结论呢？（学生的思维开始活跃起来，同学之间开始互相讨论，积极发言）学生的结果如下：DEBC，DFAC，EFAB，AE=EC，BF=FC，BD=AD， ADEDBFEFCDEF，DE=BC，DF=AC，EF=AB 猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。（板书）师：如何证明这个猜想的命题呢？生：先将文字问题转化为几何问题然后证明。已知：DE是ABC的中位线，求证：DE/BC、DE=BC。学生思考后教师启发：要证明两条直线平行，可以利用“三线八角”的有关内容进行转化，而要证明一条线段的长等于另一条线段长度的一半，可采用将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等方法进行转化归纳。（学生积极讨论，得出几种常用方法，大致思路如下）生1：延长DE到F使EF=DE，连接CF由 ADECFE（SAS）得 ADFC 从而 BDFC所以，四边形DBCF为平行四边形得 DFBC可得DEBC（板书）生2：将ADE绕E点沿顺（逆）时针方向旋转180，使得点A与点C重合，即 ADECFE，可得BDCF，得 平行四边形DBCF得 DFBC可得DEBC生3：延长DE到F使DE=EF，连接AF、CF、CD, 可得 ADCF得 DBCF得 DFBC可得 DEBC生4：利用ADEABC且相似比为1：2即可得 DEBC师：还有其它不同方法吗？（学生面面相觑，学生5举手发言）4.一种创新课堂因你而美丽生5：过点D作DF/BC交AC于点F则 ADFABC可得 又 E是AC中点可得 因此 AE=AF 即 E点与F点重合所以 DE/BC 且DE=BC（笔者事先只局限于思考利用平行四边形及三角形相似的性质解决问题，没想到学生的发言如此精彩，为整个课堂添加了不少亮色。）师：很好，好极了！这种证法在数学中叫做同一法，连老师也没想到。太棒了，大家要向生5学习，用变化的、动态的、创新的观点来看问题，努力去寻找更好更简捷的方法。5.一种思考课堂因你而添彩问题：三角形的中位线与中线有什么区别与联系呢？容易得出如下事实：都是三角形内部与边的中点有关的线段但中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分（学生交流、探索、思考、验证）6.一种照应课堂因你而完整问题：你能利用三角形中位线定理说明本节课开始提出的趣题的合理性吗？（学生争先恐后回答，课堂气氛活跃）7.一种应用课堂因你而升华做一做：任意一个四边形，将其四边的中点依次连接起来所得新四边形的形状有什么特征？（学生积极思考发言，师生共同完成此题目的最常见解法。）已知：四边形ABCD，点E、F、G、H分别是四边的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。证明：连结AC E、F分别是AB、BC的中点， EF是ABC的中位线， EFAC且EF=AC，同理可得：GHAC 且GH=AC，EFGH，四边形EFGH为平行四边形。（板书）其它解法由学生口述完成。8.一种引申课堂因你而让人回味无穷问题：如果将上例中的“任意四边形”改为“平行四边形、矩形、菱形、正方形”，结论又会怎么样呢？（学生作为作业完成。）9.一句总结课堂因你而彰显无穷魅力学生总结本节内容：三角形的中位线和三角形中位线定理。（另附作业）三、板书设计三角形的中位线1.问题 2.三角形中位线定义 3.三角形中位线定理证明 4.做一做 5.练习6.小结连结三角形的顶点和对边中点的