高中数学 11.4随机事件的概率课件 理 新人教A版.ppt

第四节随机事件的概率 三年9考高考指数 1 互斥事件与对立事件的概率是考查重点 2 题型以选择题 填空题为主 与统计知识交汇则以解答题为主 1 概率和频率 1 频率 在相同条件s下重复n次试验 观察某一事件a是否出现 na为事件a出现的频数 事件a出现的频率为fn a 2 概率 对于给定的随机事件a 由于事件a发生的频率fn a 随着试验次数的增加稳定于概率p a 因此可以用频率fn a 来估计概率p a 即时应用 1 思考 概率与频率有何区别与联系 提示 频率和概率的区别是频率随着试验次数的变化而变化 概率却是一个常数 它是频率的科学抽象 当试验次数越来越多时 频率向概率靠近 只要次数足够多 所得频率就可以近似地当作随机事件的概率 2 判断下列说法的正误 请在括号内打 或 频率是反映事件发生的频繁程度 概率是反映事件发生的可能性大小 做n次随机试验 事件a发生m次 则事件a发生的频率就是事件的概率 百分率是频率 但不是概率 频率是不能脱离具体的n次试验的试验值 而概率是具有确定性的 不依赖于试验次数的理论值 频率是概率的近似值 概率是频率的稳定值 解析 由频率的定义和概率的统计定义及二者的关系可知 正确 不正确 答案 2 事件的关系与运算 如果事件a发生 则事件b一定发生 这时称事件b包含事件a 或称事件a包含于事件b a b 若某事件发生当且仅当事件a发生或事件b发生 则称此事件为事件a与事件b的并事件 或和事件 a b 或a b 若某事件发生当且仅当事件a发生且事件b发生 则称此事件为事件a与事件b的交事件 或积事件 a b 若a b为不可能事件 a b为必然事件 那么称事件a与事件b互为对立事件 若a b为不可能事件 那么称事件a与事件b互斥 即时应用 1 两个事件互斥是这两个事件对立的 条件 2 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球 下列两个事件是互斥事件但不是对立事件的是 填序号 至少有1个白球 都是白球 至少有1个白球 至少有1个红球 恰有1个白球 恰有2个白球 至少有1个白球 都是红球 解析 1 互斥不一定对立 但对立一定互斥 故互斥是对立的必要不充分条件 2 中的两个事件不互斥 当然也不对立 中的两个事件互斥 但不对立 中的两个事件不但互斥 而且对立 所以正确答案应为 答案 1 必要不充分 2 3 概率的几个基本性质 1 概率的取值范围 2 必然事件的概率为 3 不可能事件的概率为 4 概率的加法公式如果事件a与事件b互斥 则p a b 5 对立事件的概率若事件a与事件b互为对立事件 则a b为必然事件 p a b p a 0 p a 1 p a p b 1 p b 1 0 1 即时应用 1 某产品分甲 乙 丙三级 其中乙 丙两级均属次品 在正常生产情况下 出现乙级品和丙级品的概率分别是0 05和0 03 则抽验一只是正品 甲级 的概率为 2 若a b为互斥事件 p a 0 4 p a b 0 7 则p b 3 在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下 则至少有两人排队的概率为 解析 1 记抽验的产品是甲级品为事件a 是乙级品为事件b 是丙级品为事件c 这三个事件彼此互斥 因而抽验产品是正品 甲级 的概率为p a 1 p b p c 1 0 05 0 03 0 92 2 a b为互斥事件 p a b p a p b p b p a b p a 0 7 0 4 0 3 3 p 1 0 1 0 16 0 74答案 1 0 92 2 0 3 3 0 74 随机事件的频率与概率 方法点睛 频率与概率的理解 1 依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验 用事件发生的频率近似地作为它的概率 但是 某一事件的概率是一个常数 而频率随着试验次数的变化而变化 2 概率意义下的 可能性 是大量随机事件现象的客观规律 与我们日常所说的 可能 估计 是不同的 也就是说 单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性 才是概率意义下的 可能性 事件a的概率是事件a的本质属性 例1 2011 新课标全国卷 某种产品的质量以其质量指标值衡量 质量指标值越大表明质量越好 且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品 现用两种新配方 分别称为a配方和b配方 做试验 各生产了100件这种产品 并测量了每件产品的质量指标值 得到下面试验结果 a配方的频数分布表 b配方的频数分布表 1 分别估计用a配方 b配方生产的产品的优质品率 2 已知用b配方生产的一件产品的利润y 单位 元 与其质量指标值t的关系式为估计用b配方生产的一件产品的利润大于0的概率 并求用b配方生产的上述100件产品平均一件的利润 解题指南 第 1 问分别用a配方 b配方生产的产品中优质品的频率来估计概率 第 2 问 用b配方生产的一件产品的利润大于0时即质量指标t 94时的频率作为概率 生产的100件产品的平均利润为 2 频率 t 94 2 频率 94 t 102 4 频率 t 102 规范解答 1 由试验结果知 用a配方生产的产品中优质品的频率为 0 3 所以用a配方生产的产品中优质品率的估计值为0 3 由试验结果知 用b配方生产的产品中优质品的频率为 0 42 所以用b配方生产的产品中优质品率的估计值为0 42 2 由条件知 用b配方生产的一件产品的利润大于0的概率即为t 94的概率 由试验结果知 t 94的频率为0 96 所以用b配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0 96 用b配方生产的上述100件产品平均一件的利润为 4 2 54 2 42 4 2 68 元 反思 感悟 概率可看作频率在理论上的期望值 它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小 频率可近似地当作随机事件的概率 本题在解决概率问题时就是利用频率 变式训练 某射击运动员在同一条件下进行练习 结果如表所示 1 计算表中击中10环的频率 2 根据表中数据 估计该运动员射击一次命中10环的概率 解析 1 击中10环的频率依次为0 8 0 95 0 88 0 93 0 89 0 906 2 随着试验次数的增加 频率在常数0 9附近摆动 所以估计该运动员射击一次命中10环的概率约是0 9 随机事件间的关系 方法点睛 1 互斥事件的理解 1 互斥事件研究的是两个事件之间的关系 2 所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的 3 两个事件互斥是从 试验的结果不能同时出现 来确定的 2 从集合角度理解互斥和对立事件从集合的角度看 几个事件彼此互斥 是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集 事件a的对立事件所含的结果组成的集合 是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集 例2 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件 某小组有3名男生和2名女生 从中任选2名同学去参加演讲比赛 其中 1 恰有1名男生和恰有2名男生 2 至少有1名男生和至少有1名女生 3 至少有1名男生和全是男生 4 至少有1名男生和全是女生 解题指南 应重点关注从3名男生和2名女生中任选2名同学的所有可能情况 然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系 规范解答 1 是互斥事件 不是对立事件 原因是 在所选的2名同学中 恰有1名男生 实质是选出的是 1名男生和1名女生 它与 恰有两名男生 不可能同时发生 所以是一对互斥事件 但其并事件不是必然事件 所以不是对立事件 2 不可能是互斥事件 从而也不是对立事件 原因是 至少有1名男生 包括 1名男生和1名女生 与 两名都是男生 两种结果 至少有1名女生 包括 1名女生和1名男生 与 两名都是女生 两种结果 它们可能同时发生 3 不可能是互斥事件 也不是对立事件 原因是 至少有1名男生 包括 1名男生和1名女生 与 两名都是男生 这与 全是男生 可能同时发生 4 是互斥事件 也是对立事件 原因是 至少有1名男生 包括 1名男生和1名女生 与 两名都是男生 两种结果 它与 全是女生 不可能同时发生 且其并事件是必然事件 所以也是对立事件 反思 感悟 判断两事件的关系时 一是要考虑试验的前提条件 二是考虑事件间是否有交事件 可考虑利用venn图分析 对于较难作出判断关系的情况 也可列出全部结果 再进行分析 变式训练 从一副桥牌 52张 中任取1张 判断下列每对事件是否为互斥事件 是否为对立事件 1 抽出红桃 与 抽出黑桃 2 抽出红色牌 与 抽出黑色牌 3 抽出的牌点数为3的倍数 与 抽出的牌点数大于10 解析 1 是互斥事件但不是对立事件 因为 抽出红桃 与 抽出黑桃 在仅取一张时不可能同时发生 因而是互斥的 同时 不能保证其中必有一个发生 因为还可能抽出 方块 或 梅花 因此两者不对立 2 是互斥事件又是对立事件 因为两者不可能同时发生 但其中必有一个发生 3 不是互斥事件 更不是对立事件 因为 抽出的牌点数为3的倍数 与 抽出的牌点数大于10 这两个事件有可能同时发生 变式备选 某县城有甲 乙两种报纸供居民订阅 记事件a为 只订甲报 事件b为 至少订一种报 事件c为 至多订一种报 事件d为 不订甲报 事件e为 一种报也不订 判断下列事件是不是互斥事件 如果是 再判断它们是不是对立事件 1 a与c 2 b与e 3 b与d 4 b与c 5 c与e 解析 1 由于事件c 至多订一种报 中可能只订甲报 即事件a与事件c有可能同时发生 故a与c不是互斥事件 2 事件b 至少订一种报 与事件e 一种报也不订 是不可能同时发生的 故事件b与事件e是互斥事件 由于事件b发生可导致事件e必不发生 且事件e不发生则事件b一定发生 故事件b与事件e是对立事件 3 事件b 至少订一种报 中有可能只订乙报 不订甲报 也就是说事件b发生 事件d也可能发生 故b与d不是互斥事件 4 事件b 至少订一种报 中有这些可能 只订甲报 只订乙报 订甲 乙两种报 事件c 至多订一种报 中有这些可能 甲 乙两种报都不订 只订甲报 只订乙报 由于这两个事件可能同时发生 故b与c不是互斥事件 5 由 4 的分析可知 事件e 一种报也不订 仅仅是事件c的一种可能 事件c与事件e可能同时发生 故c与e不是互斥事件 互斥事件 对立事件的概率 方法点睛 求复杂的互斥事件的概率的一般方法 1 直接求法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和 运用互斥事件的求和公式计算 2 间接求法 先求此事件的对立事件的概率 再用公式p a 1 p 即运用逆向思维 正难则反 特别是 至多 至少 型题目 用间接求法就显得较简便 提醒 应用互斥事件的概率加法公式 一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥 然后求出各事件发生的概率 再求和 例3 1 2012 济南模拟 在数学考试中 小明的成绩在90分及以上的概率是0 18 在80 89分的概率是0 51 在70 79分的概率是0 15 在60 69分的概率是0 09 60分以下的概率是0 07 则小明在数学考试中取得80分及以上的概率为 2 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩 正在加紧备战 经过近期训练 某队员射击一次 命中7 10环的概率如表所示 求该射击队员射击一次 射中9环或10环的概率 至少命中8环的概率 解题指南 1 小明的成绩在80分及以上可以看作是互斥事件 80 89分 90分及以上 的并事件 2 该射击队员在一次射击中 命中几环不可能同时发生 故彼此是互斥事件 利用互斥事件求概率的公式求其概率 另外 当直接求解不容易时 可先求其对立事件的概率 规范解答 1 分别记小明的成绩 在90分及以上 在80 89分 在70 79分 在60 69分 60分以下 为事件b c d e f 这五个事件彼此互斥 所以小明的成绩在80分及以上的概率是p b c p b p c 0 18 0 51 0 69 答案 0 69 2 记事件 射击一次 命中k环 为ak k n k 10 则事件ak彼此互斥 记 射击一次 射中9环或10环 为事件a 那么当a9 a10之一发生时 事件a发生 由互斥事件的概率加法公式得p a p a9 p a10 0 28 0 32 0 60 设 射击一次 至少命中8环 为事件b 那么当a8 a9 a10之一发生时 事件b发生 由互斥事件概率的加法公式得p b p a8 p a9 p a10 0 18 0 28 0 32 0 78 互动探究 在本例 1 中条件不变 求小明在数学考试中及格的概率 解析 方法一 由例题知小明考试及格的概率是p b c d e p b p c p d p e 0 18 0 51 0 15 0 09 0 93 方法二 小明考试不及格的概率是0 07 记 小明考试及格 为事件a 所以小明考试及格的概率是p a 1 0 07 0 93 所以小明在数学考试中及格的概率是0 93 反思 感悟 必须明白事件a b互斥的条件 只有互斥事件才可用概率的求和公式p a b p a p b 变式备选 一盒中装有各色球12只 其中5个红球 4个黑球 2个白球 1个绿球 从中随机取出1球 求 1 取出的1球是红球或黑球的概率 2 取出的1球是红球或黑球或白球的概率 解析 记事件a1 任取1球为红球 a2 任取1球为黑球 a3 任取1球为白球 a4 任取1球为绿球 则 方法一 利用互斥事件的概率公式求概率 根据题意 知事件a1 a2 a3 a4彼此互斥 由互斥事件概率公式 得 1 取出1球为红球或黑球的概率为p a1 a2 p a1 p a2 2 取出1球为红球或黑球或白球的概率为p a1 a2 a3 p a1 p a2 p a3 方法二 利用对立事件求概率的方法 1 由方法一知 取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球 即a1 a2的对立事件为a3 a4 所以取得一红球或黑球的概率为 p a1 a2 1 p a3 a4 1 p a3 p a4 2 a1 a2 a3的对立事件为a4 所以p a1 a2 a3 1 p a4 满分指导 随机事件主观题的规范解答 典例 12分 2011 陕西高考 如图 a地到火车站共有两条路径l1和l2 现随机抽取100位从a地到达火车站的人进行调查 调查结果如下 1 试估计40分钟内不能赶到火车站的概率 2 分别求通过路径l1和l2所用时间落在上表中各时间段内的频率 3 现甲 乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站 为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站 试通过计算说明 他们应如何选择各自的路径 解题指南 1 读懂所给表格 确定不能赶到火车站的人数所在的区间 用相应的频率作为所求概率的估计值 2 根据频率的计算公式计算 3 计算选择不同的路径 在允许的时间内赶往火车站的概率 通过比较概率的大小确定选择的最佳路径 规范解答 1 由已知共调查了100人 其中40分钟内不能赶到火车站的有12 12 16 4 44人 用频率估计相应的概率为0 44 3分 2 选择l1的有60人 选择l2的有40人 故由调查结果得频率为 6分 3 用a1 a2分别表示甲选择l1和l2时 在40分钟内赶到火车站 用b1 b2分别表示乙选择l1和l2时 在50分钟内赶到火车站 由 2 知p a1 0 1 0 2 0 3 0 6 p a2 0 1 0 4 0 5 p a1 p a2 甲应选择路径l1 10分p b1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 p b2 0 1 0 4 0 4 0 9 p b2 p b1 乙应选择路径l2 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 西安模拟 袋中装有3个白球 4个黑球 从中任取3个球 则 恰有1个白球和全是白球 至少有1个白球和全是黑球 至少有1个白球和至少有2个白球 至少有1个白球和至少有1个黑球