2016年广东省肇庆市高考数学三模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年广东省肇庆市高考数学三模试卷（理科） 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|0， B=x|x 1，则（ ） A AB=B A B=BAB 2若复数 z 满足（ 1+2i） z=（ 1 i），则 |z|=（ ） A B C D 3一个总体中有 100 个个体，随机编号为 0， 1， 2， 3， ， 99，依编号顺序平均分成 10个小组，组号依次为 1， 2， 3， 10现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 号码的个位数字相同，若 m=6，则在第 7 组中抽取的号码是（ ） A 66B 76C 63D 73 4如图是计算 + + + 的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（ ） A i 10B i 10C i 20D i 20 5一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积是（ ） A 7在等比数列 ， n 项和，若 ， ，则公比 q=（ ） 第 2 页（共 20 页） A 3B 1C 3D 1 7已知 x， y 满足不等式 ，则函数 z=2x+y 取得最大值是（ ） A 3B C 12D 23 8在矩形 ， ， ，沿 矩形 成一个直二面角 B D，则四面体 外接球的体积为（ ） A B C D 9（ x+2y） 7 展开式中系数最大的项是（ ） A 6811267213440设双曲线 =1（ 0 a b）的半焦距为 c，直线 l 过（ a， 0）（ 0， b）两点，已知原点到直线 l 的距离为 ，则双曲线的离心率为（ ） A 2B C D 11已知函数 f（ x） = 满足条件，对于 ，存在唯一的 ，使得 f（ =f（ 当 f（ 2a） =f（ 3b）成立时，则实数 a+b=（ ） A B C +3D +3 12已知 为锐角，且 ，函数 ，数 列首项 ，则有（ ） A 、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13函数 f（ x） =x3+x 9，已知 x= 3是函数 f（ x）的一个极值点，则实数 a= 14在 ，若 ，则 值等于 15设数列 n=1， 2， 3）的前 n 项和 n+ ， 等差数列则a1+ 16将函数 的图象向左平移 n（ n 0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则 n 的最小值是 三 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第 3 页（共 20 页） 17如图， 直角梯形， ， C， E 是 中点， 是 交点 （ ）求 值； （ ）求 面积 18某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为 1 至 10 分，随机调阅了 A、 0 名学生的成绩，得到样本数据如表： B 校样本数据统计表 成绩（分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数（个） 0 0 0 9 12 21 9 6 3 0 （ ）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较 （ ） 记事件 C 为 “A 校学生计算机优秀成绩高于 B 校学生计算机优秀成绩 ”假设 7 分或7 分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相 应事件发生的概率，求 C 的概率 19如图， 平行四边形，已知 ， ， E，平面 平面 （ ）证明： （ ）若 E= ，求平面 平面 成二面角的平面角的余弦值 20己知中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C 上 任一点到两焦点的距离的和为 4，且椭圆的离心率为 ，单位圆 O 的切线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点 （ ）求证： （ ）求 积的最大值 21设函数 f（ x） =（ 1+x） 2 21+x）， g（ x） =1， D 是满足方程 k 2）x+2k 1=0 的两实数根分别在区间（ 0， 1），（ 1， 2）内的实数 k 的取值范围 第 4 页（共 20 页） （ 1）求 f（ x）的极值； （ 2）当 aD 时，求函数 F（ x） =f（ x） g（ x）在区间 0， 3上的最小值 选 修 4何证明选讲 22如图所示， O 的直径， O 的切线， B、 D 为切点 （ 1）求证： （ 2）若 O 的半径为 1，求 C 的值 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，曲线 t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 2+24=0 （ ）把 参数方程化为极 坐标方程； （ ）求 点的极坐标（ 0， 0 2） 选修 4等式选讲 24已知 a 0， b 0，且 a+b=1 （ ）求 最大值； （ ）求证： 第 5 页（共 20 页） 2016 年广东省肇庆市高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|0， B=x|x 1，则（ ） A AB=B A B=BAB 【考点】 集合的表示法 【分析】 直接解对数不等式化简集合 A，又已知集合 B=x|x 1，则答案可求 【解答】 解： A=x|0=x|x 1， B=x|x1， 则 AB=， A B=x|x 1 或 x 1R 故选： A 2若复数 z 满足（ 1+2i） z=（ 1 i），则 |z|=（ ） A B C D 【考点】 复数求模 【分析】 由（ 1+2i） z=（ 1 i），得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数求模公式则答案可求 【解答】 解：由（ 1+2i） z=（ 1 i）， 得 = ， 则 |z|= 故选： C 3一个总体中有 100 个个体，随机编号为 0， 1， 2， 3， ， 99，依编号顺序平均分成 10个小组，组号依次为 1， 2， 3， 10现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 号码的个位数字相同，若 m=6，则在第 7 组中抽取的号码是（ ） A 66B 76C 63D 73 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据总体的容量比上样本的容量求出间隔 k 的值，再根据系统抽样方法的规定，求出第 7 组中抽取的号码是： m+60 的值 【解答】 解：由题意知，间隔 k= =10， 在第 1 组随机抽取的号码为 m=6， 6+7=13， 在第 7 组中抽取的号码 63 故选 C 第 6 页（共 20 页） 4如图是计算 + + + 的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（ ） A i 10B i 10C i 20D i 20 【考点】 程序框图 【分析】 根据算法的功能是计算 + + + 的值，确定终止程序运行的 i=11，由此可得判断框中应填入的条件 【解答】 解：根据算法的功能是计算 + + + 的值， 终止程序运行的 i=11， 判断框中应填入的条件是： i 10 或 i11 故选： B 5一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积是（ ） A 7考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是棱长为 2 的正方体截取三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是棱长为 2 的正方体 截取三棱锥 A 中 B、 D 分别中点， 则 D=1，且 平面 第 7 页（共 20 页） 几何体的体积 V= = （ 故选： A 6在等比数列 ， n 项和，若 ， ，则公比 q=（ ） A 3B 1C 3D 1 【考点】 等比数列的性质 【分析】 由已知条件，求出 此能求出公比 【解答】 解：等比数列 ， ， ， （ 2） =2（ =2 q= =3 故选： C 7已知 x， y 满足不等式 ，则函数 z=2x+y 取得最大值是（ ） A 3B C 12D 23 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求出最值即可 【解答】 解：由约束条件作出可行域如图， 由图可知，使目标函数 z=2x+y 取得最大值时过点 B， 联立 ，解得 ， 第 8 页（共 20 页） 故 z 的最大值是： z=12， 故选： C 8在矩形 ， ， ，沿 矩形 成一个直二面角 B D，则四面体 外接球的体积为（ ） A B C D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了 【解答】 解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等， 所以球心在对角线 ，且其半径为 度的一半， 则 V 球 = （ ） 3= 故选 C 9（ x+2y） 7 展开式中系数最大的 项是（ ） A 681126721344考点】 二项式系数的性质 【分析】 = =2r ，解出即可得出 【解答】 解： = =2r 由 ，可得： 解得 r=5 （ x+2y） 7 展开式中系数最大的项是 72 故选： C 第 9 页（共 20 页） 10设双曲线 =1（ 0 a b）的半焦距为 c，直线 l 过（ a， 0）（ 0， b）两点，已知原点到直线 l 的距离为 ，则双曲线的离心率为（ ） A 2B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 直线 l 的方程为 ，原点到直线 l 的距离为 ， ，据此求出 a， b， c 间的数量关系，从而求出双曲线的离心率 【解答】 解： 直线 l 的方程为 ， c2=a2+原点到直线 l 的距离为 ， ， 16 16=3 1616 3166=0， 解得 或 e=a b， e=2 故 选 A 11已知函数 f（ x） = 满足条件，对于 ，存在唯一的 ，使得 f（ =f（ 当 f（ 2a） =f（ 3b）成立时，则实数 a+b=（ ） A B C +3D +3 【考点】 分段函数的应用 【分 析】 根据条件得到 f（ x）在（ ， 0）和（ 0， +）上单调，得到 a， b 的关系进行求解即可 【解答】 解：若对于 ，存在唯一的 ，使得 f（ =f（ f（ x）在（ ， 0）和（ 0， +）上单调， 则 b=3，且 a 0， 由 f（ 2a） =f（ 3b）得 f（ 2a） =f（ 9）， 即 2= +3=3+3， 即 a= ， 则 a+b= +3， 故选： D 第 10 页（共 20 页） 12已知 为锐角，且 ，函数 ，数列首项 ，则有（ ） A 考点】 数列递推式 【分析】 利用二倍角的正切可求得 ， 为锐角，可求得 2+ ） =1，于是可知函数 f（ x）的表达式，由数列 首项 ，可得 = an=0，问题得以解决 【解答】 解： 为锐角，且 ， = =1， 2= ， 2+ ） =1， f（ x） =x2+x， 数列 首项 ， = an=0， 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13函数 f（ x） =x3+x 9，已知 x= 3 是函数 f（ x）的一个极值点，则实数 a= 5 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 先对函数进行求导，根据函数 f（ x）在 x= 3 时取得极值，可以得到 f（ 3） =0，代入求 a 值 【解答 】 解：对函数求导可得， f（ x） =3， f（ x）在 x= 3 时取得极值， f（ 3） =0a=5，验证知，符合题意， 故答案为： 5 14在 ，若 ，则 值等于 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由已知向量的坐标求出 的坐标，再求出 ， | |， | |，代入数量积求夹角公式得答案 【解答】 解： ， 第 11 页（共 20 页） = + =（ 1， 2）， =21+（ 1） （ 2） =4， | |= = ， | |= = ， = = ， 故答案为： 15设数列 n=1， 2， 3）的前 n 项和 n+ ， 等差数列则a1+34 【考点】 数列递推式 【分析】 根据 Sn+ ， 出 ，于是得到数列 以2 为首项，以 2 为公比的等比数列，即可求出 a1+【解答】 解： Sn+ 当 n=2 时， S2+ a1+a2+ 当 n=3 时， S3+ a1+a2+a3+ ， 2（ ） =a1+ 即 2（ 2） = 解得 ， ， ， 数列 以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， a1+224=34， 故答案为： 34 16将函数 的图象向左平移 n（ n 0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则 n 的最小值是 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；两角和与差的正弦函数 【分析】 利用辅助角公式将函数进行化简，然后根据图象平移关系以及函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可 【解答】 解： y=2（ =2x+ ）， 若将函数 的图象向左平移 n（ n 0）个长度单位后， 得到 y=2x+n+ ）若图象关于原点对称， 则 n+ = 第 12 页（共 20 页） 即 n=， kZ 当 k=1 时， n 取得 最小值为 = ， 故答案为： 三 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17如图， 直角梯形， ， C， E 是 中点， 是 交点 （ ）求 值； （ ）求 面积 【考点】 正弦定 理；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ ）由题意分别在 三角函数定义 正余弦值，由和差角的三角函数公式可得； （ ）由中位线可得 F= ，代入三角形的面积公式计算可得 【解答】 解：（ ）由题意可得在四边形 边长为 1 的正方形， 在 = ， = ， 同理 = = ； （ ）由题意可得 F= ， 面积 S= E= 1= 18某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为 1 至 10 分，随机调阅了 A、 0 名学生的成绩，得到样本数据如表： B 校样本数据统计表 成绩（分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数（个） 0 0 0 9 12 21 9 6 3 0 （ ）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较 （ ） 记事件 C 为 “A 校学生计算机优秀成绩高于 B 校学生计算机优秀成绩 ”假设 7 分或7 分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立根据所给样本数据，以事件发生的频率 作为相应事件发生的概率，求 C 的概率 第 13 页（共 20 页） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ ）分别求出 A 校样本的平均成绩、方差和 B 校样本的平均成绩、方差，从而得到两校学生的计算机成绩平均分相同， A 校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中 （ ）设 示事件 “A 校学生计算机成绩为 8 分或 9 分 ”， 示事件 “A 校学生计算机成绩为 9 分 ”， B 校学生计算机成绩为 7 分 ”， 示事件 “B 校学生计算机成绩为 8 分 ”，则 立， C=此能求出 P（ C） 【解答】 解：（ ）从 A 校样本数据的条形图知： 成绩分别为 4 分、 5 分、 6 分、 7 分、 8 分、 9 分的学生分别有： 6 人、 15 人、 21 人、 12 人、 3 人、 3 人， A 校样本的平均成绩为： = =6（分）， A 校样本的方差为 = 6（ 4 6） 2+15（ 5 6） 2+21（ 6 6） 2+12（ 7 6） 2+3（ 8 6）2+3（ 9 6） 2= 从 B 校样本数据统计表知： B 校样本的平均成绩为： = =6（分）， B 校样本的方差为 = 9（ 4 6） 2+12（ 5 6） 2+21（ 6 6） 2+9（ 7 6） 2+6（ 8 6）2+3（ 9 6） 2= = ， ， 两校学生的计算机成绩平均分相同， A 校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中 （ ）设 示事件 “A 校学生计算机成绩为 8 分或 9 分 ”， 示事件 “A 校学生计算机成绩为 9 分 ”， B 校学生计算机成绩为 7 分 ”， B 校学生计 算机成绩为 8 分 ”， 则 立， 立， C= P（ C） =P（ =P（ +P（ =P（ P（ +P（ P（ 由所给数据得 P（ = ， P（ = ， P（ = ， P（ = 第 14 页（共 20 页） P（ C） = 19如图， 平行四边形，已知 ， ， E，平面 平面 （ ）证明： （ ）若 E= ，求平面 平面 成二面角的平面角的余弦值 【考点】 二面 角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ I）根据面面垂直的性质定理即可证明 （ ）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角的余弦值 【解答】 证明： ， ， ， ， 则 则 直角三角形， 则 E， 取 中点 0， 则 平面 平面 平面 面 =O， 平面 则 （ ）若 E= ， 则 = =3， 建立以 O 为坐标原点， 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： 则 E（ 0， 0， 3）， D（ 2 ， 1， 0）， A（ 2 ， 3， 0）， 则 =（ 0， 2， 0）， =（ 2 ， 1， 3）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 =2y=0， = 2 x y+3z=0， 则 y=0， 2 x+3z=0， 令 x=1，则 z= ，即 =（ 1， 0， ）， 平面 法向量 =（ 1， 0， 0）， 第 15 页（共 20 页） 则 ， = = = = ， 即平面 平面 成二面角的平面角的余弦值 20己知中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C 上任一点到两焦点的距离的和为 4，且椭圆的离心率为 ，单位圆 O 的切线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点 （ ）求证： （ ）求 积的最大值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由椭圆 C 上任一点到两焦点的距离的和为 4，且椭圆的离心率为 ，求出椭圆方程为 ，单位圆 O 的方程为 x2+，当单位圆的切线与 x 轴垂直时，单位圆的切线与 x 轴不垂直时，设为 y=kx+m， A（ B（ 利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能证明 （ ）由弦长公式求出 |又 O 到直线 距离 d=1，由此能求出 积的最大值 【解答】 证明：（ ） 中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C 上任一点到两焦点的距离的和为 4，且椭圆的离心率为 ， 设椭圆方程 为 =1， a b 0， 且 ，解得 a=2， c= ， ， 椭圆方程为 ， 单位圆 O 的方程为 x2+， 第 16 页（共 20 页） 当单位圆的切线与 x 轴垂直时， A（ 1， 1）， B（ 1， 1），或 A（ 1， 1）， B（ 1， 1）， =1 1=0， 当单位圆的切线与 x 轴不垂直时，设为 y=kx+m， A（ B（ 圆心（ 0， 0）到直线 y=kx+m 的距离 d= =1， m2=， 联立 ，得（ 3） 4=0， =364（ 3）（ 34） 0， ， ， m）（ m） =x1+ =（ ） + =0， 综上， 解：（ ） | =2 2， 又 O 到直线 距离 d=1， 积的最大值 S= = =1 21设函数 f（ x） =（ 1+x） 2 21+x）， g（ x） =1， D 是满足方程 k 2）x+2k 1=0 的两实数根分别在区间（ 0， 1），（ 1， 2）内的实数 k 的取值范围 （ 1）求 f（ x）的极值； （ 2）当 aD 时，求函数 F（ x） =f（ x） g（ x）在区间 0， 3上的最小值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值； （ 2）求出 D，求出 F（ x）的导数，得到 F（ x）的单调性，从而求出函数在闭区间上的最小值即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =（ 1+x） 2 21+x），（ x 1）， f（ x） = ， 令 f（ x） 0，解得： x 0，令 f（ x） 0，解得： 1 x 0， 第 17 页（共 20 页） f（ x）在（ 1， 0）递减，在（ 0， +）递增， f（ x） 极小值 =f（ 0） =1； （ 2）设 h（ x） = k 2） x+2k 1， 由题意可得 ， 由此求得 k ，故 D=（ ， ）； F（ x） =f（ x） g（ x） =（ a+2） x 21+x） +2， a（ ， ）， F（ x） =a+2 = ， 令 F（ x） =0，解得： x= ， ， a（ ， ）， 1， F（ x）在 0， 3单调递增， F（ x） 最小值 =F（ 0） =2 选修 4何证明选讲 22如图所示， O 的直径， O 的切线， B、 D 为切点 （ 1）求证： （ 2）若 O 的半径为 1，求