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文档简介

全等三角形的判定知识梳理:一般三角形直角三角形条件边角边(SAS),角边角(ASA)边边边(SSS),角角边(AAS)斜边、直角边(HL)性质对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、对应线段(如对应边上的高、中线、对应角平分线)相等备注判定三角形全等必须至少有一组对边相等注意:判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的,边边角(SSA)和角角角(AAA)不能作为判定两个三角形全等的方法。技巧平台:证明两个三角形全等时要认真分析已知条件,仔细观察图形,明确已具备了哪些条件,从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系,从而选择最适当的方法。根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法,常用的证题思路如下表:已知条件寻找的条件选择的判定方法两角夹边或任一边ASA或AAS一角及其对边任一角AAS一角及邻边角的另一邻边或边的另一邻角或边的对角SAS或ASA或AAS两边夹角或另一边或直角SAS或SSS或HLA例1.(SSS)如图,已知AB=AD,CB=CD,那么B=D吗?为什么?分析:要证明B=D,可设法使它们分别在两个三角形中,再证它们所在的两个三角形全等,本题中已有两组边分别对应相等,因此只要连接CBDAC边即可构造全等三角形。解:相等。理由:连接AC,在ABC和ADC中,ABCADC(SSS),B=D(全等三角形的对应角相等)点评:证明两个角相等或两条线段相等,往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。A例2.(SSS)如图,ABC是一个风筝架,AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架,证明:ADBC.分析:要证ADBC,根据垂直定义,需证ADB=ADC,而ADB=ADC可由ABDACD求得。证明:D是BC的中点,BD=CDB D C在ABD与ACD中,ABDACD(SSS),ADB=ADC(全等三角形的对应角相等)AADB+ADC=(平角的定义)EDADB=ADC=,ADBC(垂直的定义)例3.(SAS)如图,AB=AC,AD=AE,求证:B=C. B分析:利用SAS证明两个三角形全等,A是公共角。C证明:在ABE与ACD中,ABEACD(SAS),B=C(全等三角形的对应角相等)例4.(SAS)如图,已知E,F是线段AB上的两点,且AE=BF,AD=BC,A=B,求证:DF=CE.D C分析:先证明AF=BE,再用SAS证明两个三角形全等。A E F B证明:AE=BF(已知)AE+EF=BF+FE,即AF=BE在DAF与CBE中,DAFCBE(SAS),DF=CE(全等三角形的对应角相等)点评:本题直接给出了一边一角对应相等,因此根据SAS再证出另一边(即AF=BE)相等即可,进而推出对应边相等。BDOCA练习、如图,AB,CD互相平分于点O,请尽可能地说出你从图中获得的信息(不需添加辅助线)。例5.(ASA)如图,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,ABDE,ACB=F,求证:AB=DE. A DB E C F分析:要证AB=DE,结合BE=CF,即BC=EF,ACB=F逆推,即要找到证ABCDEF的条件。证明:ABDE,B=DEF.又BE=CF,BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在ABC与DEF中,ABCDEF(ASA),AB=DE.例6.(HL)如图,在RtABC中,A=,点D为斜边BC上一点,且BD=BA,过点D作BC得垂线,交AC于点E,求证:AE=ED. A分析:要证AE=ED,可考虑通过证相应的三角形全等来解决,但图中没有现成的三角形,因此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形,结合已知条件,运用“三点定形法”知,连接BE即可。EB D C证明:连接BE.EDBC于D,EDB=.在RtABE与RtDBE中,ARtABERtDBE(HL),AE=ED.解题规律:连接BE构造两个直角三角形是本题的解题关键。C特别提醒:连公共边是常作得辅助线之一。AB D1.如图,AB=AD,CB=CD,ABC与ADC全等吗?为什么?A C D2.如图,C是AB的中点,AD=CE,CD=BE,求证ACDCBE. B E3.如图,ABC中,AB=AC,AD是高,求证:(1)BD=CD;(2)BAD=CAD. B D C A D4.如图,ACCB,DBCB,AB=DC,求证ABD=ACD. C B5.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证A=D. D C6.如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.求证DCAB.OA BA7.如图,点B

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