数学培优班题典(四年级)

专题一专题一 速算与巧算速算与巧算 知识对对碰 在加法 减法和加减混合运算中 常常利用改变运算顺序进行巧算 其中有利用两数互补关系进行 凑整巧算 借数凑数巧算 选择合适的数作为基数巧算等 还可以利用加法的交换律和结合律进行巧算 整数乘除法的速算与巧算 一条最基本的原则就是 凑整 要达到 凑整 的目的 就要对一些数 分解 变形 再运用乘法的交换律 结合律 分配律以及四则运算中的一些规则 把某些数组合到一起 使复杂的计算过程简单化 1 同学们要记住一些速算结果 如 2 5 10 25 4 100 125 8 1000 625 8 5000 625 16 10000 等 这样 在计算时才能迅速而准确 2 灵活地运用 头同尾合十 和 尾同头合十 的巧算法求积 头同尾合十 的巧算方法是 用十位上的数字乘十位上的数字加 1 的积 再乘 100 最后加上个位 上两个数字的乘积 如 23 27 2 2 l 100 3 7 621 尾同头合十 的巧算方法是 十位数字的乘积加上个位数字的和 再乘 100 最后加上个位上的数字的 积 如 如 72 32 7 3 2 100 2 2 2304 3 两数之和乘这两数之差的只等于这两个数的平方差 4 另外有一些常用方法 1 乘数凑整法 乘数凑整法是利用特殊数的乘积特性进行速算 如 5 2 10 25 4 100 125 8 1000 运算时可将包含这几个因子的乘数分解然后提出这几个因子 实现速算 例如 32 625 4 8 125 5 2 乘法分配律 结合律 该方法利用求几个乘积之和时拥有共同乘数的特点 直接利用乘法结合律 先求和再求积 例如 87 28 28 73 28 10 28 87 73 10 如果没有出现乘数相同的情况 可以想办法进行拆分得到相同 乘数 可以分成两数之和或是之积 3 特殊方法 针对特定的题还可以采用特定的方法 如 头同尾补 或是 尾同头补 等方法 一 加减法中的速算与巧算 例 1 8 98 998 9998 99998 999998 例 2 巧算 599996 49997 3998 407 89 例 3 5723 723 189 576 276 21l 例 4 l00 99 98 97 96 3 2 1 例 5 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 4 3 2 1 22 5 5 baa 二 乘除法中的速算与巧算 例 1 计算 1 125 25 32 2 576 422 576 577 576 3 37500 25 4 例 2 简算 1 29 31 2 68 72 例 3 19981999 19991998 19981998 19991999 例 4 计算 4444 33333 例 5 的末尾有多少个零 199291992919929 999 999999 个个个 例 6 福建第 3 届小伙炬杯 计算 98989898 99999999 1010101 1111111 魔法训练营 1 简便计算 1 199999 29999 3999 499 59 2 998 1413 9989 3 799998 79997 7996 797 18 2 计算 1 1456 302 2 2541 1998 3 548 164 236 4 8495 495 281 3 计算 1 50 43 43 41 41 39 39 32 2 812 593 193 647 247 374 174 200 4 某养猪专业户七月份出售了 10 头肥猪 每头肥猪的质量分别是 125 128 119 118 1t8 131 135 140 115 115 千克 七月份出售肥猪总共多少千克 5 用简便方法计算下面各题 1 1 2 3 4 5 6 1991 1992 1993 2 1 2 3 4 5 6 100 3 9 99 999 9999 99999 6 计算 1234567 2345671 3456712 4567123 5671234 6712345 7123456 7 计算 123 234 345 456 567 678 8 计算 2 4 6 1998 2000 1 3 5 1997 1999 9 计算 1 2 3 999 1000 999 3 2 1 10 用简便方法计算 1 3600000 125 32 25 2 3456 998 3 347 69 653 31 306 19 11 计算 22222 22222 12 计算 99999 77778 33333 66666 13 计算 9 13 13 9 11 13 14 9 6 13 14 计算 156 78 1983 22 1985 15 计算 993993 333 3334 个个 16 计算 111111 999999 999999 777777 17 计算 19961997 19971996 19961996 19971997 18 计算 10000 76000 1000 2000 个98个 19 计算 666 6667 1997个61996个6 20 计算 123456789 987654321 123456788 987654322 这个铜币哪去了这个铜币哪去了 这天 太阳刚刚出来 阿凡提就骑着小毛驴赶集来了 阿凡提一边逛着 一边不住地和朋友们打着 招呼 只听见有人高喊他的名字 阿凡提回头一看 原来是西瓜店老板沙拉 此人既贪财又奸诈 还专 门放高利贷剥削老百姓 阿凡提早就想找机会教训教训这家伙 此时沙拉正手忙脚乱地卖着西瓜 阿凡 提走过去 见西瓜半数是大的 半数是小的 大西瓜 7 贪铜币买 2 个 小西瓜一个铜币买 3 个 阿凡提 对沙拉说 啊 沙拉老弟 你可真笨 何不把大小西瓜合在一起 不论大小 按 2 个铜币买 5 个来算 不是省事了吗 沙拉一听 顿时眉开眼笑 连忙谢道 阿凡提大哥真是聪明 果然名不虚传 过了没多久 沙拉又急急忙忙地追上了阿凡提说 阿凡提大哥 我刚才用您教的方法卖了 30 个大 西瓜 30 个小西瓜 真是快多了 可我点钱时发现只卖得 24 个铜币 而按老办法卖 30 个大西瓜应得 15 个铜币 30 个小西瓜应得 10 个铜币 合在一起一共 25 个铜币 怎么会少一个铜币呢 阿凡提暗自好笑 却故作吃惊地说 不会少一个铜币吧 一定是你数错了 沙拉左思右想 也不知这个铜币哪里去了 还真以为数错呢 瞧 他又在瓜摊旁一遍一遍地数着铜 币 同学们 你知道这个铜币哪去了吗 专题二专题二 错中求解错中求解 在加 减 乘 除试题的计算中 如果粗心大意将算式中的一些数字或符号抄错 会使结果发 生错误 能不能根据错误的计算结果 求出正确的结果呢 这就是所谓的 错中求解 解答这样的题目 我们要熟悉加 减 乘 除各部分间的关系 一个加数 和一另一个加数 减数 被减数一差 被减数 减数 差 一个因数 积 另一个因数 除数 被除数 商 被除数 商 除数 在有余数的除法里还有 被除数 商 除数 余数 除数 被除数一余数 商 在熟悉这些关系的基础上 要根据题目中所给的条件 认真分析隐含的数量关系 从而找到正确 的结果 名题典中典 例 1 张小明计算一道除法算式 把被除数 532 写成 523 结果商是 65 余数是 3 正确的商是多少 余数是多少 例 2 小红做一道减法题时 把减数个位上的 8 错写成 5 十位上的 6 错写成 9 得到的差是 435 请 你算一算 正确的差是多少 例 3 小玲在做两位数乘两位数的乘法时 她把一个因数个位上的 5 错写成 2 乘得的积是 832 实 际的积是 910 这两个因数分别是多少 例 4 甲 乙两学生同算两数之和 甲得 685 计算正确 乙得 460 计算错误 乙所以算错的原因 是将其中一个加数末尾的 0 漏掉了 这两个加数各是多少 例 5 张鹏做两位数乘两位数的题时 把第二个乘数的个位数 4 错当作 1 乘得的结果是 525 实际 应为 600 这两个两位数各是多少 例 6 小马虎在计算有余数的除法时 把被除数 137 错写成了 174 这样商比原来多了 3 余数比原 来多了 1 请你算出这道题的除数和余数各是多少 例 7 陈敏同学在计算一道减法题时 把被减数 3085 错写成了 3058 把减数百位上的 4 错写成了 l 十位上的 3 错写成 8 这样得到的差是 2146 问正确的差应是多少 例 8 一个人去商店买了两件商品 他把一个商品的标价个位上的零忽略了 只付给售货员 162 元 售货员却让他付款 270 元 这两种商品的标价各是多少 魔法训练营 1 陈程做题时 由于粗心大意 把被减数个位上的 3 写成 8 把十位上的 O 错写成 6 这样算得的差 是 199 正确的差是多少 2 小明和小红同算两数之和 小红算得 785 计算正确 小明算得 578 计算错误 经查找原因 小 明发现将其中一个加数末尾的 O 漏掉了 这两个加数各是多少 3 两数相乘 如果一个因数减少 3 积就减少 48 如果另一个因数增加 4 积就增加 108 原来两个 因数各是多少 4 小强在做计算题 1800 25 192 时 没有注意题里的括号 选有 里的数除以 25 然后按 加减运算的顺序计算 得 1968 问这道题应该得多少呢 5 小刚在计算除法时 把除数 65 写成了 56 结果得到商是 13 还余 52 正确的商应是多少 6 小虎做两位数乘两位数的题时 把一个乘数的个位数字 6 错当作 1 乘得的结果是 775 实际应为 900 这两个两位数各是多少 7 小方在计算有余数的除法时 把被除数 171 错写成 117 结果商比原来少 3 但余数恰好相同 这道题的除数和余数各是多少 8 1000 个单位的年收人为 8200 万元到 98000 万元 由于失误 把一个最大的收入记为 980000 万元 输入计算机 那么输入的错误数据的平均值与准确数据的平均值相差多少万元 几个 9 明明和沉沉都十分喜欢数学 一天明明问沉沉 你最喜欢几 我最喜欢 9 那你说说从 1 数到 100 要说几次 9 啊 这 沉沉被难住了 这要数一数才能知道 一分钟时间 明明 说 小朋友 请你在一分钟内说出从 1 到 100 衣多少个 9 专题三专题三 巧找规律巧找规律 知识对对碰 1 从数列中找规律 一般有两种情况 一种情况是根据前后两个数之间的关系 找出规律 推断出所要 填的数 另一种情况是根据相隔两个数之间的关系 找出规律 推断出所要填的数 2 关于一些数 图形和事物的变化是循环出现的 这种特殊的规律性问题称为周期问题 解答这类问题 关键掌握以下几点 1 数 图形或事物的变化是不是具有周期性 2 每个周期的长度是多少 3 每个周期内变化的次序 4 解答此类问题 用问句中的数据除以周期的长度 并把所得的余数同一个周期内某种状态相对应 例 1 找出下面各组数排列的规律 在括号里填上适当的数 1 1 2 4 8 2 l 2 2 3 3 4 5 5 3 1 2 4 7 11 29 4 0 1 3 12 45 171 2457 例 2 找规律填数 1 9 16 12 13 17 8 19 口 2 50 17 8 38 15 4 24 7 例 3 先找规律 再在括号内按规律填数 1 1 9 16 22 27 31 2 1 4 9 16 100 第个数 例 4 观察图 3 1 先找规律 再求口的值 例 5 这一列数中的第 8 个数是 14 5 11 4 8 3 5 2 2 1 例 6 有一列由三个数组成的数组 它们依次是 1 3 7 2 6 14 3 9 21 问第 10 个数组内三个数分别是多少 例 7 有一串数按下面的规律排列 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 问从左边第一个数 起 数 100 个数 这 100 个数的和是多少 例 8 图 3 2 是一个数字组成的大三角形 称为数表 观察数表的排列规律 填出所缺的数 魔法训练营 1 观察以下数列的规律 在括号内填上适当的数 1 100 102 106 112 120 142 156 2 10 30 90 270 2430 7290 3 3 6 4 7 5 8 9 7 4 999 994 989 984 974 969 2 找规律 在 里填上合适的数 3 在横线上填上适当的数 1 18 60 12 2 12 27 15 15 70 20 29 81 38 22 16 7 16 4 在图 3 3 的圆中填上合适的数 5 找规律 把算式填写完整 9 9 19 100 98 9 118 1000 987 9 1117 10000 9876 9 100000 9 111115 1000000 9 10000000 6 找出规律 填出后面的三个数 1 0 2 6 12 20 2 7 11 19 35 67 3 14 22 38 70 134 4 2 4 7 11 16 7 在下列各数中 均有一个数是不合乎规律的 请选出来并填上正确的数 1 1 2 3 4 2 4 6 8 6 12 18 26 2 2 5 6 7 11 8 10 11 4 18 6 10 12 9 20 3 2 6 7 11 4 5 3 1 3 5 5 6 8 找出图 3 4 中各数排列的规律 并在口内填上适当的数 9 找规律写出下列各图形中 所表示的数 10 找规律 填得数 222222 9 1999998 333333 9 2999997 444444 9 99999 555555 9 99999 666666 9 777777 9 88888 9 999999 9 专题四专题四 巧数图形个数巧数图形个数 数图形的个数 是趣味图形问题的一种 由于几何图形千变万化 错综复杂 要想准确地数出图 形中所包含的某一个几何图形的个数 关键是要掌握有条理有次序地数图形的方法 1 数图形的个数时 既不能同一图形数两次 又不能把有的图形漏掉不数 常用的计算方法有按顺序 数和分类数两种 下面举例介绍两种方法的运用规律 例 数一数图 4 1 中有多少条线段 第一种可以按含基本线段的顺序去数 在此题中最长的线段 AF 上有四个分点 将 AF 分成了 5 条小 线段 这每条小线段就是基本线段 首先有 5 条基本线段 其次是包含有两条基本线段的有 4 条 然后 是包含有三条基本线段的有 3 条 包含有四条基本线段的有 2 条 包含有五条基本线段的有 1 条 则线 段 AF 上的线段条数可求 第二种可以按端点进行分类 如图 4 1 中 线段最左边的端点是 A 即以 A 为左端点的线段有 AB AC AD AE AF 共 5 条 以 B 为左端点的线段有 BC BD BE BF 共 4 条 以 C 为左端点的线段有 CD CE CF 共 3 条 以 D 为左端点的线段有 DE DF 共 2 条 以 E 为左端点的线段有 EF 只 1 条 这些 线段条数的和就是图形中线段的条数 2 为了方便同学们计数 向大家介绍几种特殊的计数公式 1 数线段 三角形 角数量的公式 2 1 1 2 21 nn nn 2 数长方形 平行四边形 梯形数量的公式 1 1 123 123 22 n nm m nm 3 数正方形个数的公式 6 12 1 2211 nnn nn 名题典中典 例 1 数出图 4 2 中每条线段上线段的总条数 例 2 图 4 3 的两个图中分别有多少个三角形 例 3 数出图 4 4 中总共有多少个角 例 4 数一数图 4 5 中有多少个正方形 例 5 数一数图 4 6 中有多少个长方形 例 6 数一数图 4 7 a 中有多少个平行四边形 图 4 7 b 中有多少个梯形 例 7 数一数图 4 8 中有几个三角形 例 8 数一数图 4 9 中有多少个正方形 例 9 数一数图 4 10 中有多少个三角形 1 在一个 10 10 的方格纸中含有多少个 5 5 的正方形 2 数一数图 4 11 中共有多少条线段 3 数一数图 4 12 中共有多少个三角形 4 图 4 13 a 中有多少个锐角 图 b 中有多少个直角 5 图 4 14 a 中有多少个正方形 图 4 14 b 中有多少个长方形 6 图 4 15 中有多少个三角形 7 在线段 AB 内再画 100 个点 除 A B 两点外 这时图上共有多少条线段 8 图 4 16 中有多少个正方形包含全部阴影方格 9 由四个边长为 1 的正方形拼成如图 4 17 所示的左右对称图形 以图中正方形 的 14 个顶点为顶点可得到许多不同的三角形 那么 在这些三角形中 面积为 l 的三 角形共有 个 面积为 l 的三角形的三条边中至少有一条边是水平或垂直的 10 平面上有 5 条直线 它们两两相交 且没有三条直线交于一点 问一共可以将平面分成多少部分 厨师烙饼厨师烙饼 某店来了三位顾客 急于要买饼赶火车 限定时间不能超过 16 分钟 几个厨师都说无能为力 因为要 烙熟一张饼的两面各需要 5 分钟 一口锅一次可放两张饼 那么烙熟三张饼就得 20 分钟 这时来了厨师 老李 他说动动脑筋只要 15 分钟就行了 你知道该怎么来烙吗 可以这样 先拿两张饼放在锅里 5 分钟后 把其中的一张饼翻过来 把另一张饼拿出来放在一边 把第三张饼放 在锅里 再过 5 分钟 取出已烙好的那张饼 把第三张饼翻过来 把刚才放在一边的饼放进锅里 再过 5 分钟 锅里的两张饼便都烙好了 这样 15 分钟 就可烙好三张饼 你想到了吗 专题五专题五 整除和带余问题整除和带余问题 知识对对碰 1 数的整除特征 1 被 2 整除的数的特征是 如果一个数的个位数字是 0 2 4 6 8 那么这个数能被 2 整除 2 被 3 整除的数的特征是 如果一个数的各位数字之和能被 3 整除 那么这个数能被 3 整除 3 被 4 或 25 整除的数的特征是 如果一个数的末两位数能被 4 或 25 整除 那么这个数就能 被 4 或 25 整除 4 被 5 整除的数的特征是 如果一个数的个位数字是 O 或 5 那么这个数能被 5 整除 5 被 8 或 125 整除的数的特征是 如果一个数的末三位数能被 8 或 125 整除 那么这个数就 能被 8 或 125 整除 6 被 9 整除的数的特征是 如果一个数各个数位上的数字之和能被 9 整除 那么这个数就能被 9 整 除 7 被 11 整除的数的特征是 从左向右 如果一个数在第奇数位上的数字和与在第偶数位上的数字 和的差能被 11 整除 那么这个数就能被 11 整除 2 数的整除的性质 1 如果甲数能被乙数整除 乙数又能被丙数整除 那么甲数一定能被丙数整除 2 如果两个数都能被同一个自然数整除 那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除 那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整 除 3 有余数除法 两个整数相除时 除数不为 0 它们的商不是整数 1 被除数 除数 商 余数 2 被除数 除数 商 余数 3 被除数一余数 商 除数 例 1 五位数能被 12 整除 五位数也能被 12 整除 求这两个五位数 721AABB974 例 2 两数相除商为 8 余数为 16 被除数 除数 商及余数的和是 463 求被除数 例 3 检验下面加法算式是否正确 34365 29853 26384 90613 例 4 有一个四位整数 16 如果要让这个四位数同时能被 2 3 4 5 整除 那么这个四位 数的末两位上应是什么数 例 5 用一个自然数分别去除 25 38 43 所得的余数都不为 0 且三个余数之和为 18 求这 个自然数 例 6 小冬在计算一道除法题时 由于马虎 把除数 36 写成了 62 结果得到的商是 30 余 12 正确 的商是多少 例 7 求用 1 9 九个数码组成的能被 11 整除的 没有重复数字的最大九位数 例 8 22003与 20032的和除以 7 的余数是 例 9 求除以 7 的余数是多少 2002 1111 个 例 10 从 1 5 9 13 997 中 任意找出 200 个数 把它们乘起来 积的个位数字是多少 1 如果口 34 口表示一个四位数 而且这个四位数能被 3 整除 这个四位数最 小是多少 最大是多少 2 已知 yx931 表示一个五位数 且这个五位数能被 45 整除 求 满足条件的五 位数是多少 3 用数字 l 4 9 6 可以组成多少个能被 2 整除的没有重复数字的三位数 4 王老师买了 36 支钢笔 一共花了口 15 4 口元 王老师只知道一定没有超过 800 元 那么实际花了多少元 5 两个数相除 除数是 18 余数是 7 被除数与商的差为 262 被除数是多少 6 如果某数除 492 2241 3 195 都余 15 那么这个数是多少 7 六位数能被 99 整除 求 A 和 B BA8962 8 自然数 1 的个位数字是几 368 333 个 9 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 12 种动物依次代表各年的年号 如果公元 1 年属鸡年 那么公元 2005 年属什么年 10 六位数能同时被 3 4 5 整除 要使尽可能小 口 6 c 之和是多少 abc865abc865 11 将自然数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 依次重复写下去组成一个 2003 位数 试问这个数能否 被 3 整除 12 在 487 后面补上三个数 使组成的这个六位数能同时被 3 4 5 整除 这个六位数最小是多少 13 小丁在计算有余数除法时 把被除数 137 错写成了 173 这样商比原来多 3 而余数正好相同 题中的除数和余数各是多少 14 将自然数 1 2 3 依次无间隔地写下去 使这些自然数相加得到一个数 如果写到自然数 100 那么所得的数除以 9 的余数是多少 最少拿几次最少拿几次 晚饭后 爸爸 妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋 打开装棋子的盒子前 爸爸忽然用大手捂着盒 子对小红说 小红 爸爸给你出一道跳棋子的题 看你会不会做 小红毫不犹豫地说 行 您出 吧 好 你听着 这盒跳棋有红 绿 蓝色棋子各 15 个 你闭着眼睛往外拿 每次只能拿 1 个棋子 问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有 3 个是同一颜色的 听完题后 小红陷入了沉思 同学们 你们会做这道题吗 看看下面的答案 至少拿 7 次 才能保证其中有 3 个棋子同一颜色 我们可以这样想 按最坏的情况 小红每次拿出 的棋子颜色都不一样 但从第 4 次开始 将有 2 个棋子是同一颜色 到第 6 次 三种颜色的棋子各有 2 个 当第 7 次取出棋子时 不管是什么颜色 先取出的 6 个棋子中必有 2 个与它同色 即出现 3 个棋子 同一颜色的现象 同学们 你们能从这道题中发现这类问题的规律吗 专题六专题六 三角形的内角和三角形的内角和 知识对对碰 1 三角形按角分类 锐角三角形 三个角都是锐角的三角形 直角三角形 有一个内角是直角的三角形 钝角三角形 有一个内角是钝角的三角形 2 三角形按边分类 不等边三角形 三条边都不相等的三角形 等腰三角形 有两条边相等的三角形 相等的两条边称为腰 第三条边称为底边 两腰的夹角叫做顶角 底边上的两个角叫做底角 等边三角形 正三角形 三条边都相等的三角形 3 三角形的三个内角的和等于 180 4 等腰三角形的两个底角相等 有两个角相等的三角形是等腰三角形 5 等边三角形的三个内角相等 都是 60 例 1 一个三角形有一个内角是 它是另外一个内角的 4 倍 这个三角形是什么三角形 72 例 2 图 6 1 中 求 3 的度数 115 235 例 3 如图 6 2 所示 六边形有六个内角 这六个内角的和是多少度 例 4 四边形的四个外角和等于多少度 例 5 如图 6 5 直角三角形 ABC 中有一个正方形 BDEF 那么 1 和 2 的大小有什么关系 3 和 4 的大小有什么关系 为什么 例 6 在图 6 6 中 A B C D E F 和 G 的度数和是多少 例 7 图 6 7 由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成 请仔细观察这个美丽的图案 并且回答风筝 形砖的 4 个内角各是多少度 魔法训练营 1 既是等腰三角形又是直角三角形的三角形叫等腰直角三角形 等腰直角三角形的底角是多少度 2 如图 6 9 求 1 2 3 3 已知一个三角形的一个内角是 900 是另一个内角的 3 倍 这个三兔形的另外两个角各是多少度 4 如图 6 10 在正三角形 ABC 中 1 2 3 4 求的度数 x 5 如图 6 11 在等腰三角形 ABC 中 AD 是底边 BC 上的高 1 1 和 2 的大小有什么关系 2 3 和 4 的大小有什么关系 7 6 如图 6 12 求 1 2 3 4 与 5 的度数之和 专题七专题七 三角形的等积变形三角形的等积变形 把一个图形变为与它面积相等的图形 叫做等积变形 等积变形前后两个图形的面积相等 但形状 并不一定一样 最常用的等积变换是三角形等积变换 要熟记下面的结论 1 等底等高的两个三角形面积相等 2 两条平行线间的距离处处相等 3 底在同一条直线 E 并且相等 该底所对应的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线七 那么这 两个三角形面积相等 4 如果两个三角形的高 或底 相等 其中一个三角形的底 或高 是另一个三角形的底 或高 的几倍 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍 名题典中典 例 1 用四种不同的方法 把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形 例 2 如图 7 4 把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形 例 3 如图 7 6 在 ABC 中 BD 2DC AE BE 已知 ABC 的面积是 18 平方厘米 则四边形 AEDC 的 面积等于多少平方厘米 例 4 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形 使它们的面积比为 1 3 4 例 5 如图 7 11 已知在 ABC 中 BE 3AE CD 2AD 若 ADE 的面积为 l 平方厘米 求三角形 ABC 的面积 例 6 如图 7 13 三角形 ABC 的面积是 30 平方厘米 D 是 BC 的中点 AE 的长是 ED 的长的 2 倍 那么三角形 CDE 的面积是多少平方厘米 例 7 如图 7 14 在 ABC 中 BD 2AD AG 2CG BE EF FC 求阴影部分面积占三角形 ABC 面 积的几分之几 例 8 如图 7 15 四边形 ABCD 为平行四边形 EF 平行于 AC 如果 ADE 的面积为 4 平方厘 米 求三角形 CDF 的面积 魔法训练营 1 你能用不同的方法将一个三角形五等分吗 2 如图 7 16 A 曰两点分别是长方形 EFGH 长和宽的中点 如果长方形的面积是 16 平方米 那么 阴影部分的面积是多少平方米 3 如图 7 17 在 ABC 中 EF 与 BC 平行 AB 4AE 已知 ABC 的面积为 144 平方厘米 那么 AEF 的面积是多少平方厘米 4 如图 7 18 在平行四边形 ABCD 中 E F 分别是 AC BC 的三等分点 已知 ABCD 的面积是 108 平方厘米 那么 BEF 的面积是多少 5 如图 7 19 已知正方形的面积是 50 平方厘米 三角形 ABC 两条直角边中 长边是短边的 2 5 倍 求三角形 ABC 的面积 6 如图 7 20 已知三角形 ABC 的面积为 56 平方厘米 是平行四边形 DEFC 的 2 倍 那么阴影部分 的面积是多少平方厘米 7 如图 7 21 D E F 分别是 BC AD BE 的三等分点 已知 S ABC 27 平方厘米 求 S DEF 8 如图 7 22 E 是长方形 ABCD 的 BC 上一点 使 BC 9 厘米 求 BE 是多少厘 1 2 ABEAECD SS A梯形 米 9 如图 7 23 将四边形 ABCD 各边都延长一倍至 A B C D 如果四边形 ABCD 的面积是 1 求四 边形 A B C D 的面积 10 如图 7 24 在四边形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于 E 且 AF CE BG DE 如果四边形 ABCD 的面积是 l 求 EFG 的面积 阿拉伯数字阿拉伯数字 在生活中 我们经常会用到 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这些数字 那么你知道这些数字是谁发 明的吗 这些数字符号原来是古代印度人发明的 后来传到阿拉伯 又从阿拉伯传到欧洲 欧洲人误以为是 阿拉伯人发明的 就把它们叫做 阿拉伯数字 因为流传了许多年 人们叫得顺口 所以至今人们仍然 将错就错 把这些古代印度人发明的数字符号叫做阿拉伯数字 现在 阿拉伯数字已成了全世界通用的数字符 专题八专题八 巧求周长巧求周长 长方形和正方形的周长是指围成这个图形的四条线段的长度总和 计算长方形 正方形的周长公式 是 长方形周长 长 宽 2 正方形周长 边长 4 对于一些多边形 我们也可以经过转化 把它们 变成正方形或长方形 然后再利用这两个公式来求周长 在平时的学习过程中 经常会遇到表面看起来根本不是长方形 正方形或其他标准图形 这就需要 运用平移 转化 分解 合并等技巧 找到突破口 化难为易 化繁为简 名题典中典 例 1 求图 8 1 中 a b 的周长 单位 分米 例 2 一个长方形拆成两个大小相同的正方形 周长之和比原来的长方形的周长多了 6 厘米 原来 长方形的周长是多少 例 3 图 8 3 a 中的小方格与图 b 中的小方格一样 图 a 的周长为 48 厘米 求图 b 的周长 例 4 四个一样的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形 如图 8 4 大正方形的面积是 49 平方米 小正方形的面积是 4 平方米 问长方形的短边长是几米 例 5 图 8 5 是由六个正方形重叠起来的 连接点正好是正方形边的中点 正方形边长是 o 该图的 周长是 例 6 图 8 6 a 是一块草坪的示意图 求这块草坪的周长 单位 米 例 7 一个正方形被分割成 3 个大小 形状完全一样的长方形 如图 8 7 每个小长方形的周长都是 24 厘米 求这个正方形的周长 求图 8 8 中实线部分 E 字形的周长 单位 厘米 1 学校有一个长方形的操场 四角上都修了一个正方形看台 如图 8 9 你知道这个操场的周长吗 2 求图 8 10 中阴影部分的周长 3 如图 8 11 小冬和小明同时从学校出发 走两条不同的路线到少年官 问 两人一共走了多少 米 4 边长是 15 厘米的 3 个正方形拼成一个长方形 这个长方形的周长是多少 5 一根铁丝长 12 厘米 能围成几种长和宽都是整厘米数的长方形 每种长方形的长和宽各是几厘 米 围成的正方形的边长是几厘米 6 如图 8 12 所示 有一个八边形 任意相邻的两条边都互相垂直 为确定这个八边形的周长 最 少需要知道其中几条边的长度 分别是哪几条 7 在一张纸上画出由四个边长为 2 厘米的正方形拼凑组合成的图形 重叠的线段只算画一次 在所 有的这些画法中 1 哪种画法画出的线段总长最长 长度为多少厘米 2 哪种画法画出的线段总长最短 长度为多少厘米 8 把若干长 20 厘米 宽 16 厘米的长方形纸片按图 8 13 所示方法一层 二层 三层地摆下去 共 要摆十层 求摆好后图形的周长 9 8 个同样大小的小长方形拼成一个大的长方形 如图 8 14 所示 已知大长方形的周长是 56 厘米 求一个小长方形的周长 10 图 8 15 1 和 2 是两个形状 大小完全相同的大长方形 在每个大长方形中放入 4 个如图 3 所 示的小长方形 斜线区域为空下来的地方 已知大长方形的长比宽多 6 厘米 问 哪个图中画斜线的区 域的周长长 长多少厘米 专题九专题九 巧求面积巧求面积 长方形 正方形的面积是指它们所占平面的大小 长方形和正方形面积的计算公式是 长方形的面 积 长 宽 正方形的面积 边长 边长 在学习过程中 我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽 图形比较复杂 不能简单地用公式直接求 出所求面积的题目 这就需要我们切实掌握有关概念 利用 割补 平移 旋转 等方法 使复杂 的问题转化为普通的长方形 正方形面积的问题 从而正确解答 例 1 如图 9 1 所示 计算阴影部分的面积 单位 米 例 2 比较图 9 2 中两个阴影部分 I 和 的面积 它们的大小关系是 例 3 用 1 2 3 4 5 7 作为图 9 4 a 中的六条边长 问 这个图形的最大面积是多少 例 4 长方形 ABCD 的周长为 16 米 在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形 如图 9 5 已 知这四个正方形的面积的和是 68 平方米 求长方形 ABCD 的面积 例 5 用长 48 厘米的铁丝围成各种长方形 长和宽都是整厘米数 且长和宽不相等 围成的最 大一个长方形的面积是多少平方厘米 例 6 一块正方形的钢板 先截去宽 5 分米的长方形 又截去宽 6 分米的长方形 如图 9 7 面积 比原来的正方形减少了 223 平方分米 原来正方形钢板的面积是多少 例 7 如图 9 9 正方形中套着一个长方形 正方形的边长是 16 分米 长方形的四个顶点恰好把 正方形的四条边都分成两段 其中长的一段是短的 3 倍 这个长方形的面积是多少 例 8 如图 9 10 大正方形比小正方形的面积大 40 平方厘米 求这两个正方形的面积 1 有两张同样大小的长方形纸片 长 10 厘米 宽 3 厘米 把它们按图 9 12 所示的方法叠合贴在 一起 贴好后所成的 字图形 它的面积是多少平方厘米 2 如图 9 13 所示 长方形 ABCD 被分成甲 乙两部分 已知甲比乙大 30 平方厘米 求阴影部分甲的面 积 3 有一个长方形果园 如果把宽改为 50 米 长不变 那么它的面积减少 680 平方米 如果把宽改为 60 米 长不变 那么它的面积比原来增加 2720 平方米 求原来的长和宽 4 如图 9 14 所示 有两个正方形 大小两个正方形对应边的距离均为 1 厘米 如果两个正方形之 间部分的面积是 20 平方厘米 那么小正方形的面积是多少平方厘米 5 一块长方形的铁板 长 15 分米 宽 12 分米 如果长和宽各减少 2 分米 面积比原来减少多少平方 分米 6 一个长方形的面积为 54 平方分米 靠一边裁出一个面积为 36 平方分米的正方形 如图 9 15 中阴 影所示 那么原长方形的周长是多少分米 剩下的小长方形的面积是多少平方分米 7 一个长方形宽不变 长增加 3 米 面积增加 12 平方米 如果长不变 宽减少 2 米 面积就减少 14 平 方米 求原来长方形的面积 8 如图 9 16 所示 一个正方形被平均分成了三个长方形 每个小长方形的周长都是 40 厘米 这 个正方形的面积是多少平方厘米 9 如图 9 17 将相同的小长方形拼成一个大长方形 已知小长方形的宽是 12 厘米 求大长方形的 面积 10 有一块菜地长 16 米 宽 8 米 如图 9 18 菜地中间留了 2 条宽 2 米的路 把菜地平均分成了四 块 每一块地的面积是多少 11 图 9 19 是一个楼梯的截面图 每级台阶的宽和高都是 20 厘米 求这个楼梯的截面积是多少 12 用同样大小的长方条拼成如图 9 20 所示的矩形 长方条的宽是 12 厘米 求矩形的面积 13 条白色的正方形手帕 它的边长是 18 厘米 手帕上横竖各有两道彩条 如图 9 21 所示 彩 条宽都是 2 厘米 问 这条手帕白色部分面积是多少 14 从一张长 45 厘米 宽 26 厘米的长方形纸片上剪下一个最大的正方形 然后再从剩的纸片上再剪 下一个最大的正方形 并按此方式不断重复下去 那么剪下的第四个正方形的面积是多少 15 有一大一小两个正方形 它们的周长相差 20 厘米 面积相差 55 平方厘米 小正方形的面积是多 少平方厘米 16 如图 9 22 所示 一个长方形被两条直线分成了 3 个长方形和一个正方形 其中上方的两个长方 形的面积之和为 23 平方厘米 右边两个长方形面积之和为 44 平方厘米 且图中各长方形的边长均为整 数 求正方形的面积 17 图 9 23 是由 5 个相同的小长方形拼成的一个大长方形 大长方形的周长是 44 厘米 求大长方形 的面积 18 如图 9 24 已知正方形 ABCD 的边长为 4 分米 长方形 BCEH 和长方形 AGFD 的面积分别为 12 平方 分米和 10 平方分米 则阴影部分的面积是多少平方分米 19 如图 9 25 由 10 个正方形重叠起来 摆放在桌面上 连接点正好是正方形的中点 正方形的边长是 4 厘米 图形盖住桌面的面积是多少 专题十专题十 图形的剪拼图形的剪拼 知识对对碰 把一个几何图形按某种要求分成几个图形 就叫做图形的分割 反过来 按一定的要求也可以把若干个图形拼成一个完整的图形 就叫做图形的拼合 将若干个图形先分割开 再拼成一种指定的图形 叫做图形的剪拼 在日常生活和生产实际中 经常会碰到一些图形分割 拼合和剪拼的问题 无论是图形的分割 拼 合 还是图形的剪拼 都要结合所提供的图形特点来思考 如果是要把一个图形分割成若干个大小 形状相等的部分 那么就要想办法找图形的对称点 把图 形先分少 再分多 图形中 如果有数量方面的要求 可以先从数量人手 找出平分后每块上所含数量的多少 再结合 数量来分割图形 如果是要把几个图形拼合成一个大图形 要特别注意每条边的长度 把相等的边长拼合在一起 先 拼少的 再拼多的 如果是剪拼图形 要抓住 剪 拼前后图形的面积相等 这个关键 根据已知条件和图形的特点 通过分析推理和必要的计算 确定剪拼的方法 名题典中典 例 1 把一个长方形分成形状 大小相等的 4 份 该怎么分呢 例 2 图 10 3 是由三个正方形组成的图形 请把它分成大小 形状都相同的四个图形 例 3 一个长方形的长是 9 厘米 宽是 4 厘米 请你把它剪成大小 形状全都相同的两块 使两块图形 能拼成一个正方形 例 4 你能把一个等边三角形分成大小 形状都相同的 4 个 6 个 8 个 9 个三角形吗 请将分法表 示出来 例 5 如图 10 7 所示 每个图形由 4 个小正方形拼成 用 4 块下列哪种形状的图形可以拼成一个 大的正方形 例 6 如图 10 9 所示的是一副拼板能拼成一个正方形吗 如果能 该怎样拼呢 例 7 把一个正方形剪成 8 块 再把它们拼成一个长方形和正方形 并使拼成的长方形和正方 形面积相等 应该怎样剪拼 例 8 你能不能用一条线段把一个长方形分成两部分 并使这两部分能够拼成一个平行四边形 三角形或梯形 如果能 请说明该怎么画这条线段 例 9 从上面 6 块图形中先用几块拼成图 10 15 所示的图形 你能说出它们应分别选用哪几块吗 请你用 虚线表示出拼的方法 并填上所选图形的编号 魔法训练营 1 如图 10 17 足由五个正方形组成的图形 请把它分成大小 形状都相同的四块 2 你能分别将图 10 18 的两个图形剪成三块 各拼成一个正方形吗 请画出剪和拼的方法 3 在图 10 19 中画 5 条线 把小圆圈分开 并使每块的大小相等 形状相同 4 如图 10 20 是一块长方形铁皮 现在要把它剪成大小 形状都相同的两块 然后拼成一个正方 形 拼成的正方形的边长应该是多少 清画出剪拼的方法 单位 厘米 5 如图 10 21 中有四朵梅花 试把方格图案分成大小 形状完全相同的非正方形部分 使每一部 分都有一朵梅花 6 把图 10 22 分成形状相同 大小相等 但都不是长方形的六块图形 7 把图 10 23 中的 16 个小方格分成两块 然后拼成正方形 8 如图 10 24 把两个图形中的某一个分成三块 使它们合起来能拼成一个正方形 单位 厘米 专题十一专题十一 格点与面积格点与面积 我们在一张纸上 先横着画出若干条平行线 相邻的平行线之间的距离都是 1 个长度单位 再竖着 画上若干条平行线 相邻两条平行线之间的距离也是 1 个长度单位 如图 11 1 所示 横竖平行线两两相交 这些交点我们把它们叫做格点 它们交织成一些面积为 1 个面积单位的正方 形 有时为了使图形简洁 醒目 可以直接标出格点 如图 1l 2 所示 在正方形格点图上 求图形的面积 如果给的是规则图形 可以运用公式直接计算面积 其实 对 于格点图上的任何图形也可以利有以下公式来计算面积 格点多边形的面积 边上格点数 2 图形内格点数 1 面积单位 名题典中典 例 1 如图 11 3 计算下列各个格点多边形的面积 例 2 试求图 11 4 上多边形阴影部分的面积 例 3 如图 11 5 a 计算这个格点多边形的面积 例 4 如图 11 6 a 是一个 5x5 的方格纸 每个小方格的面积是 1 平方厘米 小方格的顶点为格点 请你在图上选 7 个格点 要求其中任意 3 个格点都不在一条直线上 并且使这 7 个点连结起来所围成的 图形的面积尽可能大 那么 所围成图形的面积是多少平方厘米 例 5 如图 11 7 计算这个格点多边形的面积 例 6 图 11 9 中每个小正方形的面积都是 4 平方厘米 求图中阴影部分的面积 例 7 计算图 11 10 中三角形的面积 例 8 如图 1l 12 是一个 10 10 的正方形 求正方形内的四边形 ABCD 的面积 例 9 如图 11 13 是一个 8 12 面积单位的图形 求矩形内的箭形 ABCDEFGH 的 l 面积 例 10 图 II 14 中每个小等边三角形的面积为 l 平方厘米 请求出三角形 ABC 的面积 魔法训练营 1 图 11 15 中每个小格的面积为 l 平方厘米 请你求出下图中各图形的面积 2 利用格点面积公式 设每小格的面积为 1 计算图 11 16 中各格点多边形的面积 3 图 11 17 中每个小格的面积是 1 平方分米 求阴影部分的面积 4 设每个小格的面积为 l 利用格点面积公式 计算图 11 18 中喇叭 小猫 小狗的面积各是多少 5 求图 11 19 中梯形的面积 6 图 11 20 中每个小正方形的面积都是 1 那么图中这只 狗 所占的面积是多少 7 图 11 21 中是一个漂亮礼盒的平面图 请你求出它的面积 设每个正方形小格的面积为 1 8 图 11 22 中每个小正方形的面积为 l 平方分米 那么阴影部分的面积是多少平方分米 9 图 11 23 中每个小平行四边形的面积是 1 个面积单位 求阴影部分的面积 10 你知道图 11 24 中有多少个三角形 以标注字母的点为顶点 吗 每个三角形的面积是多少 每 个小正方形的面积是 1 个面积单位 11 图 11 25 中有 12 个格点 相邻两个点之间的距离是 l 厘米 这些点可以连成多少个面积为 2 平方厘 米的三角形 苹果该怎么分苹果该怎么分 篮子里有九个苹果 妈妈要小灵把这些苹果送到附近的幼儿园去 分给小班的九个小朋友 一个小 朋友一个苹果 最后篮子里还要留一个 小灵抓抓头皮为难地对妈妈说 这可怎么分啊 到底该怎样来分呢 你知道吗 哈哈 其实并不难 只要把最后一个苹果连篮子一起给第九个小朋友就可以了 专题十二专题十二 数字谜数字谜 数字谜是与数字有关的一种有趣的数学问题 这类问题是指在某种算式或者图形中 含有一些用空 格 文字或字母等符号来表示待定数字 按要求填上合适的数字 使算式或者图形成立 一般情况下 相同的汉字 字母或符号代表相同的数字 不同的汉字 字母或符