小学六年级奥数教师讲义版工程问题.docx

小学六年级奥数教师讲义版工程问题顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率工作时间，工作时间=工作量工作效率，工作效率=工作量工作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效例2 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？例6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？则完成任务时乙比甲多植50棵。这批树共有多少棵？5.修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路长多少米？6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18时注满，单开乙管需24时注满。如果要求12时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8时，比快车从40千米。求甲、乙两地的距离。答案与提示练习52.14天。3.120天。6.8时。提示：甲管12时都开着，乙管开7.280千米。一、单独修一条公路，甲工程队需100天完成，乙工程队需150天完成。甲、乙两工程队合修50天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需几天才能完成？解：设全部工程量为“1”，则甲队的工作效率为： ，乙队的工作效率为： ，余下的工作量为： 。故还需： （天）。答：余下的工程由乙独做还需25天完成。（综合算式为： （天）二、单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了6小时完成了这项工作。问甲实际工作了多少小时？解法一：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，由此得，甲实际的工作时间为： （小时）。解法二：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，由此得，甲实际的工作时间为： （小时）。三、一件工作，甲5小时完成了全部工作的 ，乙6小时又完成剩下工作的一半，最后，余下的工作由甲、乙合做，还需几小时才能完成？解：甲的工作效率为： ，乙的工作效率为： ，余下的工作量为： ，甲、乙的工作效率和为： 。于是，还需 （小时）。答：还需 小时才能完成任务。（综合算式： （小时）四、一项工程，甲单独做9小时完成，乙单独做需12小时。如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙的顺序轮流工作，每天每次工作1小时。那么，完成这项工程共需要几小时？解：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，甲工作1小时，乙再工作1小时，即一个循环完成工作量为 ，由 知，最多可以有5次循环，而5次循环将完成工作量： ，还剩下 的工作量，剩下的工作量甲仅需（小时）即可完成。因此，共需 （小时）完成这项工程。五、一批零件，甲独做20小时完成，乙独做30小时完成。如果甲、乙两人同时做，那么完成任务时乙比甲少做60个零件。这批零件共有多少个？解：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，两人合做所需时间为： （小时）。甲、乙两人的工作效率之差为 。从而两人的工作量的差为 。这 的工作量为60个零件，因此，共有零件 （个）。综合算式为： （个）答：这批零件共有300个。六、一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需9天完成。若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，则甲做了多少天？一、某工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。甲、乙两队合做8天后，余下的工作由丙队单独做，又做了6天才完成。问这项工程由丙队单独做需几天完成？解： （天）。答：余下的工程由丙队单独做需15天完成。二、一项工程，甲队独做20天完成，乙队独做30天完成。现由两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队也休息了若干天，这样，从开始到工程完成共用了16天。问乙队休息了多少天？解： （天）。三、一件工程，小明4小时完成了全部工作的 ，小军5小时又完成了剩下任务的 ，最后余下的部分由小明与小军合做。问完成这项工作共用多少小时？解： （小时）。答：完成这项工作共用了 小时。四、一件工程，甲独做需24小时，乙独做需18小时。若甲先做2小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做2小时，再由乙独做1小时两人如此交替工作。问完成任务时共用多少小时？解：甲做2小时，乙做1小时为一个循环。一个循环完成工作量： ，七个循环完成工作量： ，余下的工作量由甲完成，需： （小时）。于是，完成这项任务共需： （小时）。答：完成任务时共用 小时。五、有一批待加工的零件，甲单独做需4天，乙单独做需5天，如果两人合作，那么完成任务时，甲比乙多做了20个零件。问这批零件共有多少个？解：完成任务所需的时间为 （天），此时，甲比乙多完成工作量 ，于是，这批零件共有 （个）。答：这批零件共有180个。六、单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天。若甲先独做若干天后乙单独做，则共用26天完成工作。问甲做了多少天？七、打印一份稿件，甲单独打需50分钟完成，乙单独打需30分钟完成。现在甲单独打若干分钟后乙接着打，共42分钟打完。问甲完成了这份稿件的几分之几？一、单独修一条公路，甲工程队需100天完成，乙工程队需150天完成。甲、乙两工程队合修50天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需几天才能完成？解：设全部工程量为“1”，则甲队的工作效率为： ，乙队的工作效率为： ，余下的工作量为： 。故还需： （天）。答：余下的工程由乙独做还需25天完成。（综合算式为： （天）二、单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了6小时完成了这项工作。问甲实际工作了多少小时？解法一：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，由此得，甲实际的工作时间为： （小时）。解法二：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，由此得，甲实际的工作时间为： （小时）。答：甲实际工作了3小时。三、一件工作，甲5小时完成了全部工作的 ，乙6小时又完成剩下工作的一半，最后，余下的工作由甲、乙合做，还需几小时才能完成？解：甲的工作效率为： ，乙的工作效率为： ，余下的工作量为： ，甲、乙的工作效率和为： 。于是，还需 （小时）。答：还需 小时才能完成任务。（综合算式： （小时）四、一项工程，甲单独做9小时完成，乙单独做需12小时。如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙的顺序轮流工作，每天每次工作1小时。那么，完成这项工程共需要几小时？解：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，甲工作1小时，乙再工作1小时，即一个循环完成工作量为 ，由 知，最多可以有5次循环，而5次循环将完成工作量： ，还剩下 的工作量，剩下的工作量甲仅需 （小时）即可完成。因此，共需 （小时）完成这项工程。五、一批零件，甲独做20小完成，乙独做30小时完成。如果甲、乙两人同时做，那么完成任务时乙比甲少做60个零件。这批零件共有多少个？解：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，两人合做所需时间为： （小时）。甲、乙两人的工作效率之差为 。从而两人的工作量的差为 。这 的工作量为60个零件，因此，共有零件 （个）。综合算式为： （个）答：这批零件共有300个。六、一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需9天完成。若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，则甲做了多少天？一、 答：甲做了4一、甲、乙、丙三人合挖一条水渠，甲、乙合挖5天挖了水渠的，乙、丙合挖2天挖了余下的，剩下的又由甲、丙合挖5天刚好挖完，问甲、乙、丙三人单独挖这条水渠分别需要多少天？解：甲、乙的工作效率之和为，乙、丙的工作效率之和为，甲、丙的工作效率之和为。由此可知，甲、乙、丙三人的工作效率之和为。从而甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 。于是，甲单独完成需24天，乙单独完成需40天，丙单独完成需天。答：甲、乙、丙单独完成这条水渠分别需24天、40天、天。二、 将一空池加满水，若同时开启1、2、3号进水管，则20分钟可以完成；若同时开启2、3、4号进水管，则21分钟可以完成；若同时开启1、3、4号进水管，则28分钟可以完成；若同时开启1、2、4号进水管，则30分钟可以完成。求若同时开启1、2、3、4号进水管，则需多少分钟可以完成？若单开1号进水管，则多少分钟可以完成？解：1、2、3号进水管的工作效率和为，2、3、4号进水管的工作效率和为，1、3、4号进水管的工作效率和为，1、2、4号进水管的工作效率和为。相加后除3即得1、2、3、4号进水管的工作效率和：。从而同时开启1、2、3、4号进水管需时（分）。再结合前面的条件可知，1号进水管的工作效率为于是，单开1号进水管需时（分）。答：同时开启1、2、3、4号进水管，需时18分钟。单开1号进水管需时126分钟。三、 单独完成一件工作，甲比规定时间提前2天完成，乙则要比规定时间推迟3天完成。如果先让甲、乙两人合做2天，再由乙单独完成剩下的工作，那么刚好在规定时间完成。问甲、乙两人合干需多少天完成？规定时间是几天？解：由题设知,乙比甲多用2+3=5(天),且甲做2天相当于乙做3天,即乙所需时间为甲所需时间的倍,从而,甲所需时间为(天)。（这是差倍问题），乙所需时间为（天），于是，甲、乙合做需时 （天）。规定时间为10+2=12（天）（或15-3=12（天）。答：甲、乙合做需6天，规定时间为12天。四、 一件工作甲先做6小时，乙再接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成。问：如果甲先做3小时，那么乙再做几小时就可以完成？甲、乙单独完成分别要多少小时？解：比较可知，甲1小时的工作量等于乙3小时的工作量，由此，甲单独做需：6+123=10（小时）。乙单独做需：12+36=30（小时）。若甲先做3小时，则乙还需做12+3（6-3）=21（小时），或 3（10-3）=21（小时）。答：甲先做3小时，乙再做21小时完成；甲、乙单独完成分别需10小时、30小时。五、 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人轮流去做，恰好整数天完成。若按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用天。已知甲单独做完这件工作要13天，问：甲、乙、丙三人一起做这件工作要用多少天完成？解：由题设甲的工作效率为，而对于甲、乙、丙次序的安排，结束工作的只可能为甲或乙。分两种情况讨论：（1）结束工作的是甲。此时，第一种安排的收尾是甲做1天，第二种安排的收尾为乙做1天，丙做天，第三种安排的收尾为丙做1天，甲做天。但这三种收尾的工作量相等。所以，比较可知，丙的工作效率为甲的，乙的工作效率也为甲的。从而，原计划的工作时间为，不是整数，与题设矛盾，即这种情况不可能。（2）结束工作的是乙。此时，第一种安排的收尾为甲做1天，乙做1天；第二种安排的收尾为乙做1天，丙做1天，甲做天；第三种安排的收尾为丙做1天，甲做1天，乙做天。但这三种收尾工作量都相等，所以，比较可知，丙的工作效率为甲的，乙的工作效率为甲的。从而，原计划的工作时间为（天）为整天，符合要求。因此，甲、乙、丙一起完成这件工作需（天）。答：甲、乙、丙合做需天。六、 甲、乙、丙三人合作完成一件工程，共得报酬1800元。已知甲、乙先合做8天完成工程的，接着乙、丙合做2天完成余下的，最后三人合做5天完成全部工程。今按劳取酬，问甲、乙、丙三人每人可得报酬多少元？解：甲、乙的工作效率和为，乙、丙的工作效率和为，甲、乙、丙的工作效率和为，于是甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，从而，甲应得报酬 （元），乙应得报酬 （元），丙应得报酬 （元），或 1800-390-675=735（元）答：甲、乙、丙三人每人可得报酬390元、675元、735元。天。一项工程，甲、乙两队合做需12天完成，乙、丙两队合做需15天完成，甲、丙两队合做需20天完成。问甲、乙、丙单独完成分别需多少天？三队合作需多少天完成？解：甲、乙的工作效率和为，乙、丙的工作效率和为，甲、丙的工作效率和为。于是，甲、乙、丙三人的工作效率和为，即甲、乙、丙三人合做需10天。甲、乙、丙的工作效率分别为，于是，甲、乙、丙单独做分别需要30天、20天、60天。答：甲、乙、丙单独完成分别需要30天、20天、60天，三队合作需10天。一、 某工程由一、二、三三个小队合干需8天完成；由二、三、四三个小队合干需10天完成；由一、四两个小队合干需15天完成。问二、三队合干需多少天完成？四小队合干需多少天完成？解：一、二、三小队的工作效率和为，二、三、四小队的工作效率和为，一、四小队的工作效率和为。于是，一、二、三、四小队的工作效率和为：。由此，二、三队合干需（天），四个队合干需（天）。答：二、三队合干需天，四小队合干需天。二、 一件工程，甲、乙合做6天能完成。如果单独做，那么甲完成与乙完成所需的时间相等。问甲、乙单独做分别需多少天？若按甲、乙、甲、乙的顺序每人一天轮流，则需多少天完成任务？三、 某工程由哥哥单独做40天，再由弟弟做28天可以完成。现在兄弟两人合做35天就完成了。如果先由哥哥独做30天，再由弟弟单独做，那么还要工作多少天才能完成这项工程？解：由比较可知，哥哥（40-35）天的工作量等于弟弟（35-28）天的工作量，即哥哥5天的工作量等于弟弟7天的工作量。于是，弟弟还要工作35+7(35-30)5=42（天）答：弟弟还要工作42天才能完成这项工程。四、 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完，并且由乙结束工作。若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则比原计划多用天。已知甲单独做完这件工作需要22天，那么甲、乙、丙三人合做要用多少天才能完成？解：只考虑收尾工作，第一种安排收尾为甲1天，乙1天；第二种安排收尾为乙1天，丙1天，甲天；第三种安排收尾为丙1天，甲1天、乙天。比较可知，丙的工作效率为甲的，乙的工作效率为甲的，由此可得原计划需（天）符合题意，因此，甲、乙、丙三人合做需：（天）答：甲、乙、丙三人合做要用天才能完成。工程问题 1甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解： 1/20+1/169/80表示甲乙的工作效率 9/80545/80表示5小时后进水量 1-45/8035/80表示还要的进水量 35/80（9/80-1/10）35表示还要35小时注满 答：5小时后还要35小时就能将水池注满。 2修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/107/100，可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x1 x10 答：甲乙最短合作10天 3一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 解： 由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量 （1/4+1/5）29/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。 所以19/101/10表示乙做6-42小时的工作量。 1/1021/20表示乙的工作效率。 11/2020小时表示乙单独完成需要20小时。 答：乙单独完成需要20小时。 4一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 解：由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲0.51 （1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天） 1/甲1/乙+1/甲0.5（因为前面的工作量都相等） 得到1/甲1/乙2 又因为1/乙1/17 所以1/甲2/17，甲等于1728.5天 5师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？ 答案为300个 120（4/52）300个 可以这样想：师傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，刚好是120个。 6一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？ 答案是15棵 算式：1（1/6-1/10）15棵 7一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？ 答案45分钟。 1（1/20+1/30）12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。 1/12*（18-12）1/12*61/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就是甲18分钟进的水。 1/2181/36 表示甲每分钟进水 最后就是1（1/20-1/36）45分钟。 8某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？ 答案为6天 解： 由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知： 乙做3天的工作量甲2天的工作量 即：甲乙的工作效率比是3：2 甲、乙分别做全部的的工作时间比是2