北京市昌平区2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

北京市昌平区 2015 2016 学年度高一上学期期末数学试卷 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50 分 有一项是符合要求的 . 1已知集合 U=0， 1， 2， 3， 4， A=0， 1， 2， 3， B=0， 2， 4，那么 A（ 于（ ） A 1 B 0， 1 C 1， 3 D 0， 1， 2， 3 2已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 3 m），且 ，那么实数 m 的值是（ ） A 1 B 1 C 4 D 7 3如图所示，在平面直角坐标系 ，角 的终边与单位圆交于点 A若点 A 的纵坐标是 ，那么 ） A B C D 4已知函数 f（ x） =2x+2x 6 的零点为 么 ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 5已知函数 f（ x）是定义在 4， 0） （ 0， 4上的奇函数，当 x 0 时， f（ x）的图象如图所示，那么 f（ x）的值域是（ ） A（ 4， 4） B 6， 6 C（ 4， 4） （ 4， 6 D 6， 4） （ 4， 6 6已知函数 y=图象为 C，为了得到函数 的图象，只要把 C 上所有的点（ ） A向左平行移动 个单位长度 B向右平行移动 个单位长度 C向左平行移动 个单位长度 D向右平行移动 个单位长度 7已知 ， ， ，那么 a， b， c 的大小关系是（ ） A c a b B c b a C a b c D b a c 8已知定义在 R 上的奇函数 f （ x）满足 f（ x） =f（ 4 x），且在区间 0， 2上是增函数，那么（ ） A f（ 6） f（ 4） f（ 1） B f（ 4） f（ 6） f（ 1） C f（ 1） f（ 6） f（ 4）D f（ 6） f（ 1） f（ 4） 9甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某人持有资金 120 万元，他可以在 任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）如果他在 么他将获得的最大利润是（ ） A 40 万元 B 60 万元 C 120 万元 D 140 万元 10已知定义在 R 上的函数 f（ x），若对于任意 ，且 x1有 + +那么函数 f（ x）称为 “函数 ”给出下列函数： f（ x） = f（ x） =2x； f（ x） =x|x|； f（ x） =） 其中 “函数 ”的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 6分，共 30分 . 11已知函数 f（ x） =那么实数 a 的值等于 12已知 ，且 ，那么 13已知函数 如果 f（ =16，那么实数 值是 14已知函数 f（ x） =x+）（ ）的部分图象如图所示，那么 = ，= 15如图，在 66 的方格中，已知向量 ， ， 的起点和终点均在格点，且满足向量 =x +y （ x， yR），那么 x+y= 16已知函数 f（ x）的定义域为 D， 若同时满足以下两个条件： 函数 f（ x）在 D 内是单调递减函数； 存在区间 a， bD，使函数 f（ x）在 a， b内的值域是 b， a 那么称函数 f（ x）为 “W 函数 ” 已知函数 为 “W 函数 ” （ 1）当 k=0 时， b a 的值是 ； （ 2）实数 k 的取值范围是 三、解答题（共 5个小题，共 70分） 17已知向量 =（ 2， 1）， =（ 1， x） （ ）若 （ + ），求 | |的值； （ ）若 +2 =（ 4， 7），求向量 与 夹角的大小 18已知函数 （ I）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）当 时，求函数 f（ x）的最小值，并求出使 y=f（ x）取得最小值时相应的 x 值 19已知函数 （ ） 求 f（ 1）的值； （ ） 判断函数 f（ x）的奇偶性，并加以证明； （ ）若 f（ 2x） 0，求实数 x 的取值范围 20据市场调查发现，某种产品在投放市场的 30 天中，其销售价格 P（元）和时间 t （ tN）（天）的关系如图所示 （ I） 求销售价格 P（元）和时间 t（天）的函数关系式； （ ）若日销售量 Q（件）与时间 t（天）的函数关系式是 Q= t+40（ 0t30， tN），问该产品投放市场第几天时，日销售额 y（元）最高，且最高为多少元？ 21已知函数 f（ x），对于任意的 x， yR，都有 f（ x+y） =f（ x） +f（ y），当 x 0 时， f（ x） 0，且 （ ） 求 f（ 0）， f（ 3）的值； （ ） 当 8x10 时，求函数 f（ x）的最大值和最小值； （ ） 设函数 g（ x） =f（ m） 2f（ |x|），判断函数 g（ x）最多有几个零点，并求出此时实数 北京市昌平区 2015 2016 学年度高一上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50 分 有一项是符合要求的 . 1已知集合 U=0， 1， 2， 3， 4， A=0， 1， 2， 3， B=0， 2， 4，那么 A（ 于（ ） A 1 B 0， 1 C 1， 3 D 0， 1， 2， 3 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题；集合思想；定义法；集合 【分析】 先求出（ 再根据交集的运算法则计算即可 【解答】 解： U=0， 1， 2， 3， 4， A=0， 1， 2， 3， B=0， 2， 4， （ =1， 3 A（ =1， 3 故选： C 【点评】 本题考查集合的交并补运算，属于基础题 2已 知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 3 m），且 ，那么实数 m 的值是（ ） A 1 B 1 C 4 D 7 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】 计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用 【分析】 根据向量的平行的条件和向量的坐标运算即可求出 【解答】 解：向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 3 m），且 ， 1（ 3 m） =22， m= 1， 故选： A 【点评】 本题考查了向量的坐标运算和向量平行的条件，属于基础题 3如图所示，在平面直角坐标系 ，角 的终边与单位圆交于点 A若点 A 的纵坐标是 ，那么 ） A B C D 【考点】 任意角的三角函数的定义 【专题】 计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用任意角的三角函数的定义，求得 【解答】 解：由题意可得，点 A 的纵 坐标是 ，那么 故选： B 【点评】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 4已知函数 f（ x） =2x+2x 6 的零点为 么 ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 函数思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 判断函数的单调性，利用函数零点存在条件进行判断即可 【解答】 解： 函 数 f（ x） =2x+2x 6 为增函数， f（ 1） =2+2 6= 2 0， f（ 2） =22+22 6=2 0， 则函数在（ 1， 2）内存在零点， 1， 2）， 故选： B 【点评】 本题主要考查函数零点的判断，判断函数的单调性以及函数函数在区间端点处的符号关系是解决本题的关键 5已知函数 f（ x）是定义在 4， 0） （ 0， 4上的奇函数，当 x 0 时， f（ x）的图象如图所示，那么 f（ x）的值域是（ ） A（ 4， 4） B 6， 6 C（ 4， 4） （ 4， 6 D 6， 4） （ 4， 6 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据函数奇偶性的性质，确定函数的值域即可 【解答】 解： 当 0 x4 时，函数单调递增，由图象知 4 f（ x） 6， 当 4x 0 时，在 0 x4，即此时函数也单调递增， 且 4 f（ x） 6， 函数是奇函数， f（ x） = f（ x）， 4 f（ x） 6， 即 6f（ x） 4， f（ x）的值域是 6， 4） （ 4， 6， 故选： D 【点评】 本题主要考查函数值域 的求法，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键 6已知函数 y=图象为 C，为了得到函数 的图象，只要把 C 上所有的点（ ） A向左平行移动 个单位长度 B向右平行移动 个单位长度 C向左平行移动 个单位长度 D向右平行移动 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 转化思想；定义法；三角函数的图像与性质 【分析】 根据三角函数的图象关系进行判断即可 【解答】 解： =x+ ）， 即为了得到函数 的图象，只要把 C 上所有的点向左平行移动 个单位长度即可， 故选： C 【点评】 本题主要考查三角函数的图象变换，利用三角函数解析式之间的关系是解决本题的关键 7已知 ， ， ，那么 a， b， c 的大小关系是（ ） A c a b B c b a C a b c D b a c 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用 【分析】 利用指数式和对数式的性质，比较三个数与 0 或 1 的大小得答案 【解答】 解： 20=1， 0 = ， ， c b a 故选： B 【点评】 本题考查对数值的大小比较，关键是注意利用 0 和 1 为媒介，是基础题 8已知定义在 R 上的奇函数 f （ x）满足 f（ x） =f（ 4 x），且在区间 0， 2上是增函数，那么（ ） A f（ 6） f（ 4） f（ 1） B f（ 4） f（ 6） f（ 1） C f（ 1） f（ 6） f（ 4）D f（ 6） f（ 1） f（ 4） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的关系将条件进行转化比较即可 【解答】 解： f（ x） =f（ 4 x）， 函数 f（ x）关于 x=2 对称， 则 奇函数 f （ x）在区间 0， 2上是增函数， 函数 f（ x）在区间 2， 2上是增函数， 则函数 f（ x）在在区间 2， 6上是减函数， 则 f（ 1） =f（ 3）， f（ 6） f（ 4） f（ 3）， f（ 6） f（ 4） f（ 1）， 故选： A 【点评】 本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和对称性的性质将条件进行转化是解决本题的关键 9甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某人持有资金 120 万元，他可以在 任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）如果他在 么他将获得的最大利润是（ ） A 40 万元 B 60 万元 C 120 万元 D 140 万元 【考点】 函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法 【专题】 应用题；数形结合；数学模型法；函数的性质及应用 【分析】 根据图象，在低价时买入，在高价时卖出能获得最大的利润 【解答】 解：甲在 6 元时，全部买入，可以买 1206=20（万）份，在 部卖出，此时获利202=40 万， 乙在 4 元时，买入，可以买（ 120+40） 4=40（万）份，在 部卖出，此时获利 402=80万， 共获利 40+80=120 万， 故选： C 【点评】 本题主要考查函数的应用问题， 读懂题意，建立数学模型是解决本题的关键 10已知定义在 R 上的函数 f（ x），若对于任意 ，且 x1有 + +那么函数 f（ x）称为 “函数 ”给出下列函数： f（ x） = f（ x） =2x； f（ x） =x|x|； f（ x） =） 其中 “函数 ”的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 函数单调性的性质 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据条件可以得到，对于任意的 ，且 x1有（ f（ f（ 0，从而得出 f（ x）在 R 上为增函数，这样根据余弦函数，指数函数，二次函数，以及对数函数，复合函数的单调性判断每个函数在 R 上的单调性，从而便可得出 “函数 ”的个数 【解答】 解：对于任意 ，且 x1+ +成立； （ f（ f（ 0 恒成立； f（ x）在 R 上为增函数； f（ x） = R 上没有单调性， 该函数不是 “函数 ”； f（ x） =2 上为增函数， 该函数是 “函数 ”； ； f（ x）在 0， +）上单调递增，在（ ， 0）上单调递增，且 02= 02； f（ x）在 R 上为增函数， 该函数是 “函数 ”； 令 =t， t1，则 y= 1， +）上单调递增，而 t= 在 R 上没有单调性； f（ x）在 R 上没有单调性， 该函数不是 “函数 ”； “函数 ”的个数是 2 故选： B 【点评】 考查增函数的定义，余弦函数、指数函数、二次函数，以及对数函数和复合函 数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，分段函数单调性的判断 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 6分，共 30分 . 11已知函数 f（ x） =那么实数 a 的值等于 3 【考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 据幂函数 f（ x） =3， ），结合指数的运算性质，可得答案 【解答】 解： 幂函数 f（ x） = 3a= =3 3， 解得： a= 3， 故答案为： 3 【点评】 本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，难度不大，属于基础题 12已知 ，且 ，那么 【考点】 同角三角函数基本关系的 运用；运用诱导公式化简求值 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值 【解答】 解： 已知 = ， = ， 那么 = ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题 13已知函数 如果 f（ =16，那么实数 值是 2 【考点】 函数的值 【专题】 分类讨论；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 对 x 分类讨论，利用分段函数的性质即可得出 【解答】 解：当 x 3 时， 86，解得 2，满足条件 当 x3 时， =16，解得 ，不满足条件 综上可得： 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了分段函数的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题 14已知函数 f（ x） =x+）（ ）的部分图象如图所示，那么 = 2 ， = 【考点】 由 y=x+）的部分图 象确定其解析式 【专题】 数形结合；转化法；三角函数的图像与性质 【分析】 根据三角函数图象确定函数的周期以及函数过定点坐标，代入进行求解即可 【解答】 解：函数的周期 T= =，即 ， 则 =2， x= 时， f（ ） =2 +） = ， 即 +） = ， | ， ， 则 + ， 则 += ， 即 = ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的图象确定函数的周期是解决本题的关键 15如图，在 66 的方格中，已知向 量 ， ， 的起点和终点均在格点，且满足向量 =x +y （ x， yR），那么 x+y= 3 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【专题】 数形结合；数形结合法；平面向量及应用 【分析】 取互相垂直的两个单位向量，用单位向量表示出三个向量，属于平面向量的基本定理列出方程组解出 x， y 【解答】 解：分别设方向水平向右和向上的单位向量为 ，则 =2 ， = ， =4 +3 又 =x +y =（ 2x+y） +（ 2y x） ， ，解得 x+y=3 故答案为： 3 【点评】 本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题 16已知函数 f（ x）的定义域为 D，若同时满足以下两个条件： 函数 f（ x）在 D 内是单调递减函数； 存在区间 a， bD，使函数 f（ x）在 a， b内的值域是 b， a 那么称函数 f（ x）为 “W 函数 ” 已知函数 为 “W 函数 ” （ 1）当 k=0 时， b a 的值是 1 ； （ 2）实数 k 的取值范围是 （ 【考点】 函数单调性的性质；函数的值域 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）由题意可看出，对于 “W 函数 ”有，方程 f（ x） = x 在定义域 D 上至少有两个不同实数根，并且 a， b 便为方程 f（ x） = x 的实数根， k=0 时，解方程 便可得出 a， b 的值，从而求出 b a 的值； （ 2）可令 ，（ t0），从而得到方程 t k= 一元二次方程 t k=0 在 0， +）上有两个不同实数根，从而可得到 ，解该不等式组即可得出实数 k 的取值范围 【解答】 解：根据题意知， “W 函数 ”在定义域 D 上需满足：方程 f（ x） = x 至少有两个不同的实数根； （ 1） k=0 时，解 得， x=0，或 1； a=0， b=1； b a=1； （ 2）令 ，由方程 得， t k= t k=0 在 0， +）上有两个不同实数根； 设 g（ t） =t k，则： ； 解得 ； 实数 k 的取值范围为 故答案为： 1，（ ， 0 【点评】 考查对 “W 函数 ”定义的理解，减函数的定义，清楚 y= x 在 a， b上的值域为 b， a，换元法将无理方程变成有理方程的方法，一元二次方程实数根的个数和判别式 取值的关系，要熟悉二次函数的图象 三、解答题（共 5个小题，共 70分） 17已知向量 =（ 2， 1）， =（ 1， x） （ ）若 （ + ），求 | |的值； （ ）若 +2 =（ 4， 7），求向量 与 夹角的大小 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 方程思想；向量法；平面向量及应用 【分析】 （ I）由向量的加法和向量垂直的条件：数量积为 0，可得 x=7，再由向量的模的公式计算即可得到所求； （ 用向量的加法运算，可得 x= 3，再由向量的夹角公式 ， = ，计算即可得到所求夹角 【解答】 解：（ I）依题意可得， + =（ 3， 1+x）， 由 （ + ），可得， （ + ） =0， 即 6+1 x=0， 解得 x=7，即 =（ 1， 7）， 所以 ； （ 题意 +2 =（ 4， 2x 1） =（ 4， 7）， 可得 x= 3，即 =（ 1， 3）， 所以 ， = = = ， 因为 ， 0， ， 所以 与 的夹角大小是 【点评】 本题考查向量的数量积的 运算，主要考查向量的模的求法和夹角的求法，考查运算能力，属于中档题 18已知函数 （ I）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）当 时，求函数 f（ x）的最小值，并求出使 y=f（ x）取得最小值时相应的 x 值 【考点】 正弦函数的图象 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ I）由条件利用正弦函数的周期性求得函数 f（ x）的最小正周期 （ ）由条件利用正弦函数的单调性求得函数 f（ x）的单调递增区间 （ ）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数 f（ x）的最小值，以及此时相应的 x 值 【解答】 解：（ I）对于函数 ，它的最小正周期为 （ ，求得 ，即 所以 函数 f（ x）的单调递增区间是 （ kZ） （ ， ，即 所以函数 f（ x）的最小值是 ，此时， 【点评】 本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和 值域，属于基础题 19已知函数 （ ） 求 f（ 1）的值； （ ） 判断函数 f（ x）的奇偶性，并加以证明； （ ）若 f（ 2x） 0，求实数 x 的取值范围 【考点】 对数函数的图象与性质 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ I）将 x=1 代入 f（ x）计算； （ 判断定义域是否关于原点对称，再化简 f（ x），判断 f（ x）与 f（ x）的关系； （ 用函数的单调性和定义域列出不等式组解出 【解答】 解：（ ） f（ 1） =+= 2 1= 3 （ ） 函数 f（ x）是偶函数 证明：由函数有意义得 ，解得 3 x 3， 函数 f（ x）的定义域为 x| 3 x 3 f（ x） = =f（ x）， 函数 是偶函数 （ ） 由 f（ 2x） 0 可得 ，解得 ，或 x 的取值范围是（ ， ） （ ， ） 【 点评】 问题考查了对数运算，对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题 20据市场调查发现，某种产品在投放市场的 30 天中，其销售价格 P（元）和时间 t （ tN）（天）的关系如图所示 （ I） 求销售价格 P（元）和时间 t（天）的函数关系式； （ ）若日销售量 Q（件）与时间 t（天）的函数关系式是 Q= t+40（ 0t30， tN），问该产品投放市场第几天时，日销售额 y（元）最高，且最高为多少元？ 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【专题】 函 数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ ）通过讨论 t 的范围，求出函数的表达式即可；（ ）先求出函数的表达式，通过讨论 出函数的最大值即可 【解答】 解：（ I） 当 0t 20， tN 时， 设 P=at+b，将（ 0， 20），代入，得 解得 所以 P=t+20（ 0t 20， tN） 当 20t30， tN 时， 设 P=at+b，将，（ 30， 30）代入，解得 所以 P= t+60， 综上所述 （ 题意，有 y=PQ， 得 化简得 整理得 当 0t 20， tN 时，由 y=（ t 10） 2+900 可得，当 t=10 时， y 有最大值 900 元 当 20t30， tN 时，由 y=（ t 50） 2 100 可得，当 t=20 时， y 有最大值 800 元 因为 900 800，所以在第 10 天时，日销售额最大，最大值为 900 元 【点评】 本题考查了求函数的表达式问题，考查分段函数，函数的最值问题，是一道中档题 21已知函数 f（ x），对于任意的 x， yR，都有 f（ x+y） =f（ x