高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与简单表示法课件.ppt

第五章数列 5 1数列的概念与简单表示法 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 高频小考点 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 数列的定义按照排列的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的 一定顺序 项 知识梳理 1 答案 2 数列的分类 有限 无限 答案 3 数列的表示法数列有三种表示法 它们分别是 和 4 数列的通项公式如果数列 an 的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 列表法 图象法 解析法 序号n s1 sn sn 1 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 所有数列的第n项都能使用公式表达 2 根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 3 1 1 1 1 不能构成一个数列 4 任何一个数列不是递增数列 就是递减数列 5 如果数列 an 的前n项和为sn 则对任意n n 都有an 1 sn 1 sn 6 在数列 an 中 对于任意正整数m n am n amn 1 若a1 1 则a2 2 思考辨析 答案 b 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析对于a b d选项 可令n 1 2 3 4 逐一验证 可知不符合 对于选项c c 解析答案 1 2 3 4 5 3 设数列 an 的前n项和sn n2 则a8的值为 a 15b 16c 49d 64解析 sn n2 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 n2 n 1 2 2n 1 当n 1时符合上式 an 2n 1 a8 2 8 1 15 a 解析答案 1 2 3 4 5 4 根据下面的图形及相应的点数 写出点数构成的数列的一个通项公式an 5n 4 解析答案 1 2 3 4 5 故a4 3a3 12 a5 4a4 48 48 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 解析注意到分母0 2 4 6都是偶数 对照选项排除即可 c 由数列的前几项求数列的通项公式 题型一 解析答案 解析答案 思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时 需仔细观察分析 抓住其几方面的特征 分式中分子 分母的各自特征 相邻项的联系特征 拆项后的各部分特征 符号特征 应多进行对比 分析 从整体到局部多角度观察 归纳 联想 思维升华 根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 解数列中各项的符号可通过 1 n表示 从第2项起 每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 跟踪训练1 解析答案 2 0 8 0 88 0 888 解析答案 解各项的分母分别为21 22 23 24 易看出第2 3 4项的分子分别比分母小3 解析答案 例2设数列 an 的前n项和为sn 数列 sn 的前n项和为tn 满足tn 2sn n2 n n 1 求a1的值 解令n 1时 t1 2s1 1 t1 s1 a1 a1 2a1 1 a1 1 由数列的前n项和求数列的通项公式 题型二 解析答案 2 求数列 an 的通项公式 解析答案 思维升华 解n 2时 tn 1 2sn 1 n 1 2 则sn tn tn 1 2sn n2 2sn 1 n 1 2 2 sn sn 1 2n 1 2an 2n 1 因为当n 1时 a1 s1 1也满足上式 所以sn 2an 2n 1 n 1 当n 2时 sn 1 2an 1 2 n 1 1 两式相减得an 2an 2an 1 2 所以an 2an 1 2 n 2 所以an 2 2 an 1 2 因为a1 2 3 0 解析答案 所以数列 an 2 是以3为首项 公比为2的等比数列 所以an 2 3 2n 1 所以an 3 2n 1 2 当n 1时也成立 所以an 3 2n 1 2 思维升华 思维升华 a 跟踪训练2 解析答案 2 已知数列 an 的前n项和sn 3n2 2n 1 则其通项公式为 解析当n 1时 a1 s1 3 12 2 1 1 2 当n 2时 an sn sn 1 3n2 2n 1 3 n 1 2 2 n 1 1 6n 5 显然当n 1时 不满足上式 解析答案 例3 1 设数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 则通项an 解析由题意得 当n 2时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 由数列的递推关系求通项公式 题型三 解析答案 2 数列 an 中 a1 1 an 1 3an 2 则它的一个通项公式为an 解析答案 思维升华 解析方法一 累乘法 an 1 3an 2 即an 1 1 3 an 1 解析答案 即an 1 2 3n 1 n 1 所以an 2 3n 1 1 n 2 又a1 1也满足上式 故数列 an 的一个通项公式为an 2 3n 1 1 方法二 迭代法 an 1 3an 2 即an 1 1 3 an 1 32 an 1 1 33 an 2 1 3n a1 1 2 3n n 1 所以an 2 3n 1 1 n 2 又a1 1也满足上式 故数列 an 的一个通项公式为an 2 3n 1 1 答案2 3n 1 1 思维升华 思维升华 跟踪训练3 解析答案 2 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn 2an 1 n n 则a5等于 a 16b 16c 31d 32解析当n 1时 s1 2a1 1 a1 1 当n 2时 sn 1 2an 1 1 an 2an 2an 1 an 2an 1 an 是等比数列且a1 1 q 2 故a5 a1 q4 24 16 b 解析答案 b 数列的性质 题型四 解析答案 解析答案 周期t n 1 n 2 3 解析答案 c 解析答案 思维升华 2 解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项 确定数列的周期 再根据周期性求值 3 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解 思维升华 跟踪训练4 解析答案 an 为周期数列且t 4 d 解析答案 返回 高频小考点 典例 1 将石子摆成如图所示的梯形形状 称数列5 9 14 20 为 梯形数 根据图形的构成 此数列的第2014项与5的差 即a2014 5等于 a 2018 2012b 2020 2013c 1009 2012d 1010 2013 高频小考点 4 数列中的新定义问题 思维点拨 思维点拨观察图形 易得an an 1 n 2 n 2 可利用累加法求解 解析答案 解析因为an an 1 n 2 n 2 a1 5 所以a2014 a2014 a2013 a2013 a2012 a2 a1 a1 2016 2015 4 5 所以a2014 5 1010 2013 故选d 答案d 思维点拨由 减差数列 的定义 可得关于bn的不等式 把bn的通项公式代入 化归为不等式恒成立问题求解 思维点拨 解析答案 返回 温馨提醒 解析由数列b3 b4 b5 是 减差数列 解析答案 答案c 温馨提醒 解决数列的新定义问题要做到 1 准确转化 解决数列新定义问题时 一定要读懂新定义的本质含义 将题目所给定义转化成题目要求的形式 切忌同已有概念或定义相混淆 2 方法选取 对于数列新定义问题 搞清定义是关键 仔细认真地从前几项 特殊处 简单处 体会题意 从而找到恰当的解决方法 温馨提醒 返回 思想方法感悟提高 1 求数列通项或指定项 通常用观察法 对于交错数列一般用 1 n或 1 n 1来区分奇偶项的符号 已知数列中的递推关系 一般只要求写出数列的前几项 若求通项可用归纳 猜想和转化的方法 方法与技巧 3 已知递推关系求通项 对这类问题的要求不高 但试题难度较难把握 一般有两种常见思路 1 算出前几项 再归纳 猜想 2 利用累加法或累乘法可求数列的通项公式 4 数列的性质可利用函数思想进行研究 1 数列an f n 和函数y f x 定义域不同 其单调性也有区别 y f x 是增函数是an f n 是递增数列的充分不必要条件 2 数列的通项公式可能不存在 也可能有多个 3 由an sn sn 1求得的an是从n 2开始的 要对n 1时的情况进行验证 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 已知数列 an 满足a1 1 an 1 an 2n 则a10等于 a 1024b 1023c 2048d 2047解析 an 1 an 2n an an 1 2n 1 n 2 a10 a10 a9 a9 a8 a2 a1 a1 29 28 2 1 210 1 1023 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 若数列 an 满足 a1 19 an 1 an 3 n n 而数列 an 的前n项和数值最大时 n的值为 a 6b 7c 8d 9解析 an 1 an 3 数列 an 是以19为首项 3为公差的等差数列 an 19 n 1 3 22 3n a7 22 21 1 0 a8 22 24 2 0 n 7时 数列 an 的前n项和最大 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 已知数列 an 的前n项和sn n2 2n 1 n n 则an 解析当n 2时 an sn sn 1 2n 1 当n 1时 a1 s1 4 2 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 数列 an 中 已知a1 1 a2 2 an 1 an an 2 n n 则a7 解析由已知an 1 an an 2 a1 1 a2 2 能够计算出a3 1 a4 1 a5 2 a6 1 a7 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 已知数列 an 的前n项和为sn sn 2an n 则an 解析当n 1时 s1 a1 2a1 1 得a1 1 当n 2时 an sn sn 1 2an n 2an 1 n 1 即an 2an 1 1 an 1 2 an 1 1 数列 an 1 是首项为a1 1 2 公比为2的等比数列 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 数列 an 的通项公式是an n2 7n 6 1 这个数列的第4项是多少 解当n 4时 a4 42 4 7 6 6 2 150是不是这个数列的项 若是这个数列的项 它是第几项 解令an 150 即n2 7n 6 150 解得n 16或n 9 舍去 即150是这个数列的第16项 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 该数列从第几项开始各项都是正数 解令an n2 7n 6 0 解得n 6或n 1 舍去 所以从第7项起各项都是正数 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得a2 3a1 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求 an 的通项公式 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由题设知a1 1 于是a1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 显然 当n 1时也满足上式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a1 a2 an 2n 1 n a1 a2 an 1 2n 3 n 1 n 2 当n 2时 an 2n 1 n 2n 3