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2011年研究生入学考试辅导 考研数学三 -线性代数-第一章行列式线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用。难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一难点。概括地讲，线性代数有1条主线，2种运算，3个工具。 即：一条主线是方程组；二种运算是求行列式和求矩阵的初等行（列）变换；三个工具是行列式，矩阵，向量（组）。行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，应用广泛。一、考研知识结构网络图二、相应知识点精讲行列式的定义定义1.1n阶行列式即：n2个数构成的n阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和。一共有n!项，一半带负号，一半带正号。其中为任意一个n级排列，为n级排列的逆序数。我们知道n级排列一共有n!种。行列式的性质性质1.1. 转置性质：行列式的行和列互换，其值不变。这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的。通常，人们把一个行列式的第i行元素依次写成第j列（）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式。如果原行列式记作D，则其转置行列式记作DT。由性质1知，。性质1.2. 互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号。也就是说，交换行列式两行（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数。性质1.3. 数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面。即：,若把上述等式反过来看，即：，也可认为：数k与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以k.性质1.4. 倍加性质（消法性质）：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。性质1.5. 加法性质：如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行（列）有两个分行（分列），则这个行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式分别以这两个分行（分列）为该行（列），其他行（列）与原行列式相同。例：行列式按行、按列展开法则定理1.1n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 （1.1） （1.2）定理1.2n阶行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即（1.3）（1.4）三、典型例题剖析数字型行列式类型：按形状【考点一】形如的行列式称为两条线形行列式，可直接展开降阶，利用行列式按行、按列展开法则进行计算。【例题1填空题】n阶行列式答疑编号990201101按第一列展开【考点二】形如的行列式称为范德蒙行列式。范德蒙行列式的特点是：其每列元素按的升幂排列，构成一个等比数列，第二行的元素分别为每列元素的公比，且第一行元素为1，范德蒙行列式的值为【例题2解答题】计算四阶行列式答疑编号990201102【考点三】形如的行列式称为三对角型（三斜线形）行列式。三对角型行列式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。对于这类三对角型行列式通常可用递推法。【例题3填空题】五阶行列式答疑编号990201201解法1：按第5列展开解法2：【考点四】形如的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主对角线上的元素和第一行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零。对于箭形、爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（下）三角型行列式进行计算。【例题4解答题】计算n阶行列式答疑编号990201202先加边后化简第2列元素【考点五】行列式计算的一般方法是降阶，但是对于某些特殊的n阶行列式，如果该行列式除对角线（或次对角线）上的元素外，其余的每行（或每列）元素成比例，则可以加上一行一列使之变成n+1阶行列式，使消零化简更为方便，且化简后常变成箭形行列式。这一方法称为升阶法或加边法。【例题5解答题】计算n阶行列式答疑编号990201203第二列元素第三列元素最后一列左上角 【考点六】相邻两行（列）元素相差 倍的行列式计算：采用前行（列）减去后行（列）的 倍的步骤，即可使行列式中出现大量的零元素，使之化简。【例题6解答题】计算n阶行列式 答疑编号990201301第1行第2行（-a)，再第2行第3行（-a)， 第n-1行第n行（-a)【考点七】计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：掌握简化行列式运算的两个重要公式：设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则（1）；（2） 【例题7解答题】计算5阶行列式答疑编号990201302（第4列与第3列交换位置，行列式变号） （分成四部分）=5【例题8填空题】设A,B均是n阶矩阵，则答疑编号990201303【考点八】若行列式中含有变量x，则该行列式展开后成为关于x的多项式，可考查该多项式的次数、零点等问题。【例题9填空题】设行列式，则的展开式中，的系数是，的系数是。答疑编号990201304（第2列元素（1）加到第1列） （第2行与第3行互换位置）系数是15系数是3 抽象型行列式 【考点九】计算抽象矩阵的行列式：主要利用下列性质：设A为n阶矩阵，则有1.设为3维列向量，为3维行向量，则，2.3.4.5.设A为n阶可逆矩阵，则6.7.若A为n阶矩阵，为A的特征值，则 【例题10填空题】设均为4维列向量，且，则 .答疑编号990201305【例题11填空题】设4阶矩阵，其中均为4维行向量，且已知，则答疑编号990201401【例题12填空题】设A、B均为n阶矩阵，则_答疑编号990201402【例题13填空题】设4阶矩阵A和B相似，如果的特征值是则答疑编号990201403A与B相似，A与B特征值相同也相似存在可逆矩阵P，使要证，若B可逆，由变形得若B可逆，且A与B相似，则 也相似 A与B特征值相同A与B相似且B可逆相似B可逆 计算代数余子式线性组合的值 【考点十】1.行列式元素的余子式和代数余子式：在行列式中，取元素，其中表示位于该行列式中第i行、第j列的一个元素，我们去掉所在的第i行和第j列的所有元素，把剩余的个元素按其原来的位置关系组装成一个新的n-1阶行列式，记作，并称其为原行列式中元素的余子式。因为在该行列式中一共有个元素，每个元素都有一个余子式，所以这个n阶行列式一共有个余子式。如果在元素的余子式之前加上符号，则称其为元素的代数余子式，记作。 将两边都乘以得，因此， 2.行列式元素的代数余子式的性质和特点：设行列式 则（1）的大小无关；例： 元素1的代数余子式记作，则如果将第一行元素更换为则元素250的代数余子式记作，（2） （称为行列式按第i行展开）， （称为行列式按第j列展开） （3），这表示行列式一行的元素分别与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为。（4）利用行列式按行按列展开公式计算代数余子式的代数和的方法：替换法。所谓替换法实质上就是将行列式按行按列展开公式反过来使用，我们去掉代数余子式所在的第i行的所有元素，换成代数余子式前面的系数，其余元素不变，按其原来的位置关系组装成一个新的n阶行列式，即3.方阵的伴随矩阵：设方阵，则称为方阵A的伴随矩阵。其中：为方阵A的行列式的的代数余子式。【评注】1.在中第i行的代数余子式在伴随矩阵中是第i列 2.求的代数余子式时，不要忘记所带的正负号3.的代数余子式与元素本身的大小没有关系。4.伴随矩阵的性质： 【例题14填空题】设计算.答疑编号990201404 将等式右