对正项级数敛散性判别法应用性的探讨

学号20090501050423密级 _ 兰州城市学院本科毕业论文对正项级数敛散性判别法应用性的探讨 学 院 名 称：数学学院专 业 名 称：数学与应用数学学 生 姓 名：马文娅指 导 教 师：张艳红 二一三年四月 城市学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本人签名： 日期： 对正项级数敛散性判别法应用性的探讨马文娅摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.本文主要探讨正项级数的各种敛散性判别法,主要有积分判别法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法.探讨了它们的证明过程及应用其解决相关的例题.并简单介绍了它们之间的关系,如强弱性的比较,不同形式的适合用哪种方法来证明其敛散性更为简单.最后介绍了正项级数敛散性判别法在判别级数敛散性中的作用.关键词: 正项级数;判别法;敛散性 Positive Series Convergence Criterion of applicabilityWemya Ma Abstract: Series is a series of positive content is an important series,convergence and Divergence of its basic nature of its. This paper discusses the positive series all Convergence Criterion, There are Integral Test, Comparison Tests, Cauchy Criterion, Criterion big Lambert, Rabe Criterion. Discussed their certification process and application of relevant examples of its solution. And briefly describes the relationships between them, such as comparison of the strength of、suitable for different forms of which method to prove its convergence and divergence easier. Finally, Introduced the positive series Convergence Criterion of Convergence and Divergence in the identification of the role.Keywords: positive series; criterion; convergence 目 录摘要IAbstract:II1 引言12正项级数相关概念12.1 定义12.2 正项级数敛散性判别的充要条件12.3 三个重要比较级数22.3.1 几何级数22.3.2 调和级数32.3.3 P-级数33 正项级数敛散性判别法43.1 判别发散的简单方法43.2 比较判别法43.2.1 定理及其推论43.2.2 活用比较判别法63.2.3 归纳总结83.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法83.3.1 柯西判别法83.3.2 达朗贝尔判别法103.3.3 比值判别法和根值判别法失效的情况113.4 拉贝判别法133.5 积分判别法143.6 两种新方法163.7 判别正项级数敛散性方法的总结184 在判别级数敛散性中的作用184.1 证明负项级数的敛散性184.2 证明变号级数绝对收敛194.3 证明函数级数收敛205 结束语21致谢22参考文献:22引 言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分,而正项级数又是级数中最简单从而也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质,解决级数的问题多半要设计到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位,所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容,也是一个十分重要的内容,故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要的作用.2正项级数相关概念2.1 定义设有数列,即 将此数列的项依次用加号连接起来,即 或 ，称为数值级数,其中称为级数的第n项或通项.级数就是无限多个数的和.若级数的每一项的符号都是正,则称级数是正项级数.取级数前项的和为,即 或 ,称为级数的项部分和.若一级数的部分和数列收敛,设或 ,则称此级数收敛,是级数的和,表为 .若部分和数列发散,则称该级数发散,此时级数没有和.2.2 正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理1 正项级数收敛它的部分和数列有上界.证明 由于,所以是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.基本判别定理解决了一个级数的收敛问题,不必研究,而粗略地估计的值当时是否保持有界就可以了,这样就避开了冠以的复杂的表达式.它是判断正项级数收敛（或发散）的最基本方法,几乎所有其它的判别法都是由它导出,但是在具体应用时不大方便.由正项级数敛散性的基本判别定理可以推导出正项级数敛散性常用判别定理积分判别法、比较判别法、柯西判别(又叫根值判别法)、达朗贝尔判别法(又叫比值判别法).2.3 三个重要比较级数 在正项级数敛散性的判别中往往需要用到一个比较因子,用比较因子的敛散性来判断一个级数收敛还是发散.常用的比较因子有三个重要的正项级数几何级数、调和级数、p-级数.下面简单介绍这三个级数,及其它们敛散性的证明,便于后面能更好的应用.2.3.1 几何级数(等比级数)讨论几何级数的敛散性,其中是公比.解：1）当时,已知几何级数的项部分和（i）当时,存在极限,且 因此,当时,几何级数收敛,其和是,即.（ii）当时,不存在极限,且 因此,当时,几何级数发散.2） 当时,有两种情况:()当时,几何级数是 即部分和数列发散.（）当时,几何级数是 即部分和数列发散.于是,当时,几何级数发散.综上所述,几何级数,当时收敛,其和是,当时发散2.3.2 调和级数证明调和级数是发散的.证明 设调和级数的项部分和是,即由于已知即当时,调和级数的部分和与是等价无穷大,即调和级数发散.2.3.3 P-级数讨论p-级数的敛散性,其中是任意实数.（该级数又称为广义调和级数）解：1）当时,广义调和级数就是调和级数,已知调和级数发散,即p-级数发散.2） 当时,有.已知调和级数发散,根据比较判别法可知,当时,p-级数发散.3） 当时,有.于是,有即p-级数的部分和数列有上界,从而p-级数收敛.综上所述,当时,p-级数发散;当时,p-收敛.在正项级数敛散性的证明中常借助于这三个级数敛散性为桥梁来判断其它级数的敛散性,所以必须要熟练掌握这三个级数.3 正项级数敛散性判别法 3.1 判别发散的简单方法由级数收敛的基本判别定理柯西收敛准则:级数收敛有.取特殊的,可得推论:若级数收敛,则.定理2 该推论的逆否命题:若,则级数发散.例1 快速判断级数的敛散性. 解: 由于,从而根据定理2可知,该级数发散.如果,则可由该逆否命题直接可以判别出该级数发散;如果,则不能判断级数是否收敛,因为存在级数满足的发散级数，如；也存在级数满足的收敛级数，如.显然该逆否命题只使用于满足的发散级数.3.2 比较判别法3.2.1 定理及其推论 定理3 (比较判别法) 有两个正项级数与,且,有,c是正常数. 1）若级数收敛,则级数也收敛; 2）若级数发散,则级数也发散.证明 因为有定理若去掉、增添或改变级数的有限项,则不改变级数的敛散性,因此,不妨设,有 是正常数.设级数与的n项部分和分部是与,由上述不等式,有1） 若级数收敛,根据定理1,数列有上界,从而数列也有上界,再根据定理1,级数收敛.2） 若级数发散,根据定理1,数列无上界,从而数列也无上界,再根据定理1,级数发散.推论 有两个正项级数与,且 1）若级数收敛,且,则级数也收敛; 2）若级数发散,且,则级数也发散.证明 1）若级数收敛,且,由已知条件,有 或 ,即,有,根据定理2,级数也收敛.2）若级数发散,且，由已知条件,有 或 ,即,有,根据定理2,级数也发散.若级数发散,且,由已知条件,有,即,有,根据定理2,级数也发散. 从比较判别法的内容,我们可以得出以下几点启示:（1）比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断;（2）比较判别法重在“比较”,是利用两个正项级数的通项结构来比较的;要求必须掌握等比级数,调和级数,p-级数的敛散性,因为比较判别法的比较对象常常就是上述三种级数.（3）要证明某一个级数收敛,需要找一个通项比大的收敛的整形级数,即,也就是需要将所求的级数通咯级数项放大;（4）要证明某一个级数发散,需要找一个通项比小的发散的正项级数,即,也就是需要将所求的级数通项缩小.比较判别法提供了一个判别级数敛散的简单方法:只须拿一个已知敛散性的级数和要判别的级数作比较便能得出结论.常用的作为比较的级数有等比级数、调和级数、p-级数,因此,正项级数比较判别法的关键是:如何选取比较对象,放大或缩小所求级数的通项.3.2.2 活用比较判别法(1) 当所求级数的通项中出现关于n的有理式时,比较对象常常选取p-级数或调和级数. 例1 判别级数的敛散性. 分析: 考虑通项，分子的最高幂是0（只有常数1 ),分母的最高幂是2,这时通项接近,原级数也接近于级数,这是的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是,至多差一个系数.解: 因为（分母缩小,分数放大）,又由于收敛.则由此比较判别法,原级数也收敛.例2 判别级数的敛散性.分析: 考虑通项,分子n的最高幂是1,分母n的最高幂是4,这时通项接近,原级数也接近于级数,这是的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.解: 因为（分子放大,分数放大）,又由于收敛,则由比较判别法,原级数也收敛.例3 判别级数的敛散性.分析: 考虑通项,分子n的最高幂是1,分母n的最高幂是2,这时通项接近，,原级数也接近于级数,至多差一个系数.解: 因为（分子缩小,分母放大,分数缩小）,又由于是发散的,则由比较判别法,原级数也是发散的.(2) 当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时,利用不等式选取适当的比较对象. 主要用到下面两个式子:当时,例4 判别级数的敛散性.分析: 考虑当时,则,而是公比的收敛级数,故原级数收敛.例5 判别级数的敛散性.分析: 由于有不等式,而是收敛的级数,故原级数也收敛.(3) 当所求级数的通项放大、缩小不方便时,可采用比较判别法的推论.利用比较判别法的推论时要注意:（1）把要求的级数当作,另找一个正项级数（往往找调和级数、p-级数或等比级数),作;（2）重点考察极限结果1,因为1在0与之间.例6 判别级数的敛散性.分析: 考虑通项,分子n的最高幂为1,分母的最高幂为2,通项接近,因此就把级数作.解: 由于,又因为是发散的,则原级数也发散.例7 另解上面的例5.分析: 我们前面已经讨论过该题,若忘记前面的不等式,而此题的通项又不易进行放大、缩小,可用推论.把作为,再找一个.观察到中,有对数函数出现,考虑用第二重要极限,取解: 因为,又收敛,故原级数也收敛.3.2.3 归纳总结判断正项级数“ 敛散性的一般步骤：() 检查通项。若，可判断级数发散。否则进入()() 用比较判别法法.若 或极限不存在,则入()() 用比较判别法或比较判别法的极限形式,若无法找到适用的比较级数,则进入()() 检查正项级数的部分和数列是否有上界或判别是否存在,若有上界则收敛,若无上界则发散;若存在极限则收敛,反之发散. 比较判别法在正项级数敛散性判别中是一个十分重要的方法,当然也是首选方法,因为不少级数均可依此法判别其敛散性.由于比较判别法常用的作比较的级数是等比级数、调和级数、p-级数,因此一般能和这三类级数作比较的级数,才能用比较判别法来判断其敛散性.用比较判别法判断正项级数的敛散性,先要根据问题的条件作一个大概的估计,猜想原级数可能是收敛的,还是发散的呢?如果猜想原级数收敛,就找一个适当的收敛级数来比较,使得原级数的各项小于或等于比较级数的对应项;如果猜想原级数发散,就找一个适当的发散级数来比较,使得原级数的各项大于或等于比较级数的对应项.但要另外找到一个适当的正项级数作为比较级数,在实际生活中往往不是一件轻而易举的事情.于是数学家们设想在比较判别法的基础上寻找到直接用待判级数的通项构造判别式,不必另找比较级数,只需研究这个判别式就可判定级数的敛散性.研究的结果获得了由比较判别法派生出来的种种正项级数敛散性的判别法柯西判别法与达朗贝尔判别法.柯西判别法与达朗贝尔法都是比较判别法为基础,与几何级数比较得到的,由此可见比较判别法在判别正项级数敛散性中的重要作用.3.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法3.3.1 柯西判别法(根值判别法) 定理3 (柯西判别法) 有正项级数,存在常数. 1）若,有 ,则级数收敛; 2）若存在无限个n,有 ,则级数发散.证明 1）已知有 或 .又已知几何级数收敛,于是级数收敛.2）已知存在无限个n,有 或 ,即不趋近于,于是级数发散.推论 有正项级数,若 ,则 1）当时,级数收敛; 2）当时,级数发散.证明 1），由数列极限定义,有 或 ,根据定理3,级数收敛.2）已知,根据数列极限的保号性,有,根据定理3,级数发散.由于正项级数的通项开n次方根一般不能直接得出一个常数,所以常用柯西判别法的推论判别级数的敛散性.例1 判别级数的敛散性.分析: 该级数的通项是一个n次方的形式,于是联想到柯西判别法,对通项开n次方根,看其结果与1的大小关系.解: 由于,根据柯西判别法的推论,可得级数收敛.例2 判别级数的敛散性。解: 由于,所以根据柯西判别法的推论知,级数发散.3.3.2 达朗贝尔判别法(比值判别法) 定理4 (达朗贝尔判别法) 有正项级数,存在常数. 1）若,有 ,则级数收敛; 2）若,有 ,则级数发散.证明 1）不妨设,有 或 . 已知几何级数收敛,根据定理2,则级数收敛.2）已知,有 或 ，即正项数列从项以后单调增加,不趋近于,则级数发散.推论 有正项级数,且1）当时,级数收敛;2）当时,级数发散.证明 1）,由数列极限定义,有 或 ,根据4,级数收敛.2）已知,根据数列极限的保号性,有.根据定理4,级数发散.由于正项级数的通项的前后两项的比值一般不会直接得出一个常数,所以在判别正项级数的敛散性时常用达朗贝尔判别法的推论.例3 判别级数的敛散性.解: 由于,所以根据达朗贝尔判别法的推论知,级数收敛.例4 判别级数的敛散性.解: 由于,根据达朗贝尔判别法的推论知,级数发散.当正项级数的一般项具有积、商、幂的形式,且中含有、以及形如的因子时,用达朗贝尔判别法比较简便.一般地,当是n的有理式时,用达朗贝尔判别法得不出结果.例:级数,由于,故达朗贝尔判别法失效.而,且级数收敛,故由比较判别法知,级数也收敛.当正项级数的一般项为n次方形式,用柯西判别法比较方便.从理论上来说,凡是能用达朗贝尔判别法判断其敛散性的级数,必定也能用柯西判别法来判断其敛散性,但反之不成立.例如:级数,因为,所以用达朗贝尔判别法无法判定级数的敛散性.而可以用柯西判别法,故原级数收敛.由此可见,柯西判别法比达朗贝尔判别法适用的面要广些,但通常达朗贝尔判别法用起来方便些.一般情况下,在判别正项级数的敛散性时,若所求级数通项中出现对数、三角函数的有理式等形式时,考虑用比较判别法及其推论,既省力又简单;若出现等形式时,考虑用比值判别法;若出现的次幂时,考虑用根值判别法判别其敛散性要好一些.3.3.3 比值判别法和根值判别法失效的情况 在柯西判别法和达朗贝尔判别法中只讨论了的情况,并没有考虑的情况,也没有考虑不存在又是怎样的情况,这说明这两种判别法存在着一定的不足.1. 对于比值判别法存在两点不足:(1) 当时,判别法失效,既有收敛的,又有发散的级数.例5 p-级数是收敛的,而此时,即比值判别法失效.例6 调和级数是收敛的,而此时,即比值判别法也失效.(2) 比值判别法可能由于根本不存在而失效.例7 例82. 对于根值判别法存在两点不足:（1）当时，判别法失效,既有收敛的,又有发散的级数.（2）根值判别法可能由于根本不存在而失效.前面的例5、例6都有,但是级数收敛，级数发散.由此说明了根值判别法的第一个不足.例9 由于,则有不存在,从而根值判别法失效,但是级数是发散的.由此可以看到比值判别法与根值判别法有一些相同的地方,而且它们之间有一定的联系.因为,如果按有限的或是无穷的意义存在的,那么也存在,如果比值判别法（1）、（2）有效,根值判别法也有效,而且由于相同的理由比值判别法的两个例子能作为根值判别法失效的例子.但是它们之间也有不同的地方,如果比值判别法失效,用根值判别法却可能成功.如前面例7,用根值判别法:由于,从而级数收敛.又如前面例8,用根值判别法:由于,所以级数发散.比值判别法与根值判别法在应用时,都会遇到“失效”的情况.实质上是把所讨论的级数和收敛的几何级数来比较,它的项比几何级数的项大,而和发散的几何级数来比,它的项要比几何级数的项要小,这就说明要想检验级数的敛散性,几何级数这把“尺子”的精确度不够,而p-级数是比几何级数更精密的“尺子”.从这里可以看出判别正项级数的敛散性主要是应用一个比较因子(也就是作为尺子的正项级数)的敛散性来判断原级数的敛散性. 3.4 拉贝判别法比式判别法和根式判别法是基于把所有要判断的级数与某一等比级数相比较的想法而得到的,也就是说,只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一等比级数收敛速度快的级数,这两种方法才能鉴定出它的收敛性.如果级数的通项收敛速度较慢,它们就无能为力了.因此为了获得判别范围更大的一类级数,就必须寻找级数的通项收敛于零较慢的级数作为比较标准.数学家拉贝用 p-级数代替几何级数,仿照比值判别法建立了一个拉贝判别法,它比比值判别法要精确,有些比值判别法不能判别的用拉贝判别法可以判别.定理5 (拉贝判别法) 有正项级数,存在常数.1) 若,有,则级数收敛；2) 若,有,则级数发散.证明 1) 由可得.选使.由于,因此,存在正数,使对任意,.这样.于是,当时就有当时,级数收敛,故级数收敛.2) 由可得,于是.因为发散,故级数发散.推论 有正项级数,且极限存在,若1) 当时,级数收敛;2) 当时,级数发散.例1 讨论级数当时的敛散性.分析: 无论哪一值,对级数的比式极限,都有所以用比式判别法无法判别该级数的敛散性.现在用拉贝判别法来讨论.解: 当时,由于,所以根据拉贝判别法知,原级数是发散的.当时,由于,所以原级数是发散的.当时,由于,所以原级数收敛.从上面我们可以看出,有些比值判别法不能判别的可用拉贝判别法可以判别,但是用拉贝判别法也同样要受到比较因子这把“尺子”精确度的限制.值得注意的是这个“精确化”的过程是没有尽头的,因为杜布洼雷知恩曾证明:任何收敛的正项级数,都有比它收敛得更“快”的级数存在.还有人证明:任何发散的正项级数也有比它发散得更“慢”的级数存在.这说明没有收敛的最快的级数,也没用发散的最慢的级数,所以要想建立一种对一切正项级数都有效的比较标准是不可能的.3.5 积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质,并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.定理6 (积分判别法) 设为上非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散. 证明 由假设为上非负减函数,对任何正数,在上可积,从而有.依次相加可得 (1)若反常积分收敛,则由（1）式左边，对任何正整数，有.根据定理1,级数收敛.反之,若为收敛级数,则由（1）式右边，对任一正整数有. (2)因为为非负减函数,故对任何正数,都有.根据(2)式得反常积分收敛. 用同样的方法,可以证明与是同时发散的.利用积分判别法判别正项级数的敛散性的方法是:把中的换成连续变量,若是上广义单调减少的正值连续函数,则有相同的敛散性,判别出广义积分的敛散性就可知道所给级数的敛散性.当的敛散性容易判别时,用积分判别法比较方便.比如形如等类级数的敛散性均可用积分判别法断定.例1 判别级数的敛散性.分析:因为将换成连续变量,即是，显然函数在是单调减少的正值函数,所以可以用积分判别法.解:将原级数换成积分形式,由于,即收敛,根据积分判别法可知,级数也收敛.例2 证明调和级数发散.分析:在数学分析讲义（下册）中有调和级数发散的证明,但课本中的证明用到了上册课本习题中的一个已知结论,即.但是如果我们不记得这个结论了,该怎么证明这个结论呢？把换成连续变量得函数,显然这是一个在单调减少的正值函数,符合积分判别法的条件.解:将原级数换成积分形式,由于,即发散,根据积分判别法可知,调和级数发散.3.6 两种新方法我们已经讨论了用比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法判断正项级数的敛散性,如果正项级数是形如的形式,那么用柯西判别法就能判别出来;如果形如的形式,则用达朗贝尔判别法容易解决.假如是形如的形式,或者比这个更复杂,那么用上述两种解法就不一定能解出来.这就要求我们寻找新的方法,这种形式也暗示着我们能否将两种方法有机结合起来,形成一种新的判别方法呢:基于这个考虑,经过深入细致的研究并做了大量的实验,利用逻辑推理得出以下结论:定理A 设有正项级数,有, （或）,若（1） 若,则级数收敛;（2） 若,则级数发散.证明 （1）若,则存在,使得.根据假设,存在,使得,由极限定义知,存在,当时,有,当时,有,所以当时,有.由于改变级数前面的有限多项不影响其敛散性,故可认为对一切自然数都有:,所以.由于收敛,由正项级数的比较判别法知,级数收敛.(2) 若,同理可证级数发散.那么,人们自然会问:形如的级数,是否也能将柯西判别法和达朗贝尔判别法结合起来呢?我们同样可得出下列结论:定理B 设正项级数,若,则（1） 当时,级数收敛;（2） 当时,级数发散.证明 设,存在,易证.对于,由极限定义可知,.即:根据正项级数的比较判别法可知,级数收敛,所以级数收敛.对于第二种情况,可以采取同样的方法证明.有了这个判定方法,原来那些不易求的问题就变得迎刃而解.例 讨论级数的敛散性.分析: 我们先可以用柯西判别法和达朗贝尔判别法去试一试,发现做起来并不容易,将分解为解:令,则 ,因为,由定理B可知,级数收敛.对于新方法的推导,我们从中得到的启示是:要重视数学中的逻辑推理证明,在数学中运用大量数字观察,通过综合归纳得出的结论,最后必须经过严格的逻辑证明,才能得到最终确认.3.7 判别正项级数敛散性方法的总结 综上所述,判别正项级数的敛散性有多种方法,比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法、积分判别法,以及上面讨论的两种新方法.但是它们各自适用于不同的形式的正项级数,根据判别法的特性和级数通项的特点来选择判别方法更有利于级数敛散性问题的解决.如果原级数容易找到一个常用的比较因子,判断出它们之间的大小关系,则用比较判别法;如果原级数含有次幂的形式,则可考虑用柯西判别法;如果原级数含有等形式,则可试用达朗贝尔判别法;如果用上面三种方法都不容易判断敛散性,可试用拉贝判别法;如果级数是乘积形式,那么可以选用上面介绍的两种新方法.4 在判别级数敛散性中的作用4.1 证明负项级数的敛散性级数的每一项都为负的级数为负项级数,如,如果把负项级数的每一项都变成正号,则把负项级数变成了正项级数,即是 ,显然是正项级数.从而正项级数与负项级数有相同的敛散性,那么完全可以用正项级数敛散性判别法来判断负项级数的敛散性.例1 判别级数的敛散性.分析:注意该级数的下标不是1,而是7。当时,有,即该级数是一个负项级数.我们把该级数前面添一个负号变为正项级数,则可用正项级数的敛散性判别法来判断该级数的敛散性.解:由于,而是一个正项级数,又由于,且级数发散,根据比较判别法可知,级数也发散,从而原级数发散.例2 判别级数的敛散性.分析:当时,而,即将原级数添上一个负号变为正项级数.解:由于,而是一个正项级数.又因为,故级数收敛,从而原级数也收敛.4.2 证明变号级数绝对收敛级数（其中既有正也有负）,若正项级数收敛,则称级数绝对收敛;若级数收敛,而正项级数发散,则称级数条件收敛.定理 若级数绝对收敛,则级数必收敛.显然,可以用正项级数的敛散性判别法来判断一个变号级数是否绝对收敛,如果它绝对收敛则可说明它是收敛的.例3 讨论变号级数的敛散性.解:由于,而正项级数收敛,根据比较判别法,正项级数收敛,即变号级数绝对收敛,从而收敛.例4 讨论变号级数的敛散性.解:由于（p-级数,）发散,所以级数不是绝对收敛.又因为,根据莱布尼茨判别法,级数收敛,从而级数条件收敛.4.3 证明函数级数收敛定理（判别法）有函数级数是区间.若存在收敛的正项级数,有,则函数级数在区间一致收敛.证明 已知正项级数收敛,根据柯西收敛准则,即有已知条件,有即函数级数在区间一致收敛.例5 证明: 1)在区间(是正数)一致收敛; 2)在一致收敛.证明:1),即,有.已知级数收敛,根据判别法,函数级数在区间一致收敛.2) ,有.已知级数收敛,根据判别法,函数级数在一致收敛. 由此可见,正项级数的敛散性判别法在判别级数敛散性中起着重要的作用,不仅可以判断正项级数的敛散性,而且还可以判别负项级数的敛散性、判断变号级数是否绝对收敛,以及判断函数级数是否一致收敛