高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数课件 文 苏教版.ppt

4 1任意角 弧度制及任意角的三角函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 角的概念 1 任意角 定义 角可以看做平面内绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 分类 角按旋转方向分为 和 2 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 构成的角的集合是s 3 象限角 使角的顶点与坐标重合 角的始边与重合 那么 角的终边 除端点外 在第几象限 就说这个角是第几象限角 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何一个象限 知识梳理 一条射线 图形 正角 负角 零角 k 360 k z 原点 x轴的正半轴 2 弧度制 1 定义 把长度等于长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 用符号rad表示 读作弧度 正角的弧度数是一个 负角的弧度数是一个 零角的弧度数是 2 角度制和弧度制的互化 180 rad 1 rad 1rad 3 扇形的弧长公式 l 扇形的面积公式 s 半径 正数 负数 0 r 3 任意角的三角函数任意角 的终边与单位圆交于点p x y 时 sin cos tan x 0 y x 三个三角函数的初步性质如下表 r r 4 三角函数线如图 设角 的终边与单位圆交于点p 过p作pm x轴 垂足为m 过a 1 0 作单位圆的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点t mp om at 几何画板展示 1 三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号 一全正 二正弦 三正切 四余弦 2 任意角的三角函数的定义 推广 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 锐角是第一象限的角 第一象限的角也都是锐角 2 角 的三角函数值与其终边上点p的位置无关 3 不相等的角终边一定不相同 4 终边相同的角的同一三角函数值相等 5 若 0 则tan sin 6 若 为第一象限角 则sin cos 1 考点自测 1 教材改编 在0 到360 之间与 120 终边相同的角是 答案 解析 240 与 120 终边相同的角 120 k 360 k z 所以k 1 此时 120 360 240 2 教材改编 圆心角为弧度 半径为6的扇形的面积为 答案 解析 6 答案 解析 答案 解析 5 函数y 的定义域为 答案 解析 2cosx 1 0 由三角函数线画出x满足条件的终边范围 如图阴影部分所示 几何画板展示 题型分类深度剖析 题型一角及其表示例1 1 若 k 180 45 k z 则 在第 象限 答案 解析 一或三 当k 2n n z 时 2n 180 45 n 360 45 为第一象限角 当k 2n 1 n z 时 2n 1 180 45 n 360 225 为第三象限角 所以 为第一或第三象限角 2 已知角 的终边在如图所示阴影表示的范围内 不包括边界 则角 用集合可表示为 答案 解析 1 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角 方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合 然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角 2 利用终边相同的角的集合s 2k k z 判断一个角 所在的象限时 只需把这个角写成 0 2 范围内的一个角 与2 的整数倍的和 然后判断角 的象限 思维升华 跟踪训练1 1 终边在直线y x上的角的集合是 答案 解析 3 答案 解析 题型二弧度制例2 1 2016 南京模拟 若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长 则其圆心角的弧度数是 答案 解析 设圆半径为r 则圆内接正方形的对角线长为2r 2 已知扇形的圆心角是 半径是r 弧长为l 若 100 r 2 求扇形的面积 若扇形的周长为20 求扇形面积的最大值 并求此时扇形圆心角的弧度数 解答 由题意知l 2r 20 即l 20 2r 当r 5时 s的最大值为25 即扇形面积的最大值为25 此时扇形圆心角的弧度数为2 应用弧度制解决问题的方法 1 利用扇形的弧长和面积公式解题时 要注意角的单位必须是弧度 2 求扇形面积最大值的问题时 常转化为二次函数的最值问题 利用配方法使问题得到解决 3 在解决弧长问题和扇形面积问题时 要合理地利用圆心角所在的三角形 思维升华 跟踪训练2 1 将表的分针拨快10分钟 则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 答案 解析 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转 为负角 2 若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长 则其圆心角的弧度数为 答案 解析 如图 等边三角形abc是半径为r的圆o的内接三角形 作om ab垂足为m 题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用 答案 解析 2 点p从 1 0 出发 沿单位圆逆时针方向运动弧长到达q点 则q点的坐标为 答案 解析 由三角函数定义可知q点的坐标 x y 满足 命题点2三角函数线例4函数y lg 2sinx 1 的定义域为 答案 解析 k z 如图 在单位圆中作出相应的三角函数线 1 利用三角函数的定义 已知角 终边上一点p的坐标可求 的三角函数值 已知角 的三角函数值 也可以求出点p的坐标 2 利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍 结合三角函数的周期性写出角的范围 思维升华 跟踪训练3 1 已知角 的终边经过点 3a 9 a 2 且cos 0 sin 0 则实数a的取值范围是 答案 解析 2 3 cos 0 sin 0 角 的终边落在第二象限或y轴的正半轴上 2 满足cos 的角 的集合为 答案 解析 则oc与od围成的区域 图中阴影部分 即为角 终边的范围 典例 1 如图 在平面直角坐标系xoy中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点p的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于c 2 1 时 的坐标为 2 2016 盐城模拟 函数y lg 3 4sin2x 的定义域为 思想方法指导 答案 解析 数形结合思想在三角函数中的应用 思想与方法系列6 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想 利用三角函数线可直观得到有关三角函数不等式的解集 2 sin2 1 cos2 几何画板展示 几何画板展示 1 如图所示 过圆心c作x轴的垂线 垂足为a 过p作x轴的垂线与过c作y轴的垂线交于点b 因为圆心移动的距离为2 所以劣弧 2 即圆心角 pca 2 所以xp 2 cb 2 sin2 yp 1 pb 1 cos2 2 3 4sin2x 0 利用三角函数线画出x满足条件的终边范围 如图阴影部分所示 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 2 若 是第三象限角 则下列各式中不成立的是 sin cos 0 tan sin 0 cos tan 0 tan sin 0 答案 解析 是第三象限角 sin 0 cos 0 tan 0 则可排除 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 已知点p tan cos 在第三象限 则角 的终边在第 象限 答案 解析 二 点p tan cos 在第三象限 tan 0 cos 0 角 的终边在第二象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知点p sin cos 2 在第二象限 则 的一个变化区间是 答案 解析 p sin cos 2 在第二象限 sin cos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 角 的终边在第四象限 又角 与角 的终边相同 所以角 是第四象限角 所以sin 0 tan 0 所以y 1 1 1 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 在直角坐标系中 o是原点 a 1 将点a绕o逆时针旋转90 到b点 则b点坐标为 答案 解析 依题意知oa ob 2 aox 30 box 120 设点b坐标为 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 在 0 2 内 使sinx cosx成立的x的取值范围为 答案 解析 如图所示 找出在 0 2 内 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 sin cos tan 答案 解析 由图知 om mp at 考虑方向可得mp om at 即sin cos tan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 一个扇形oab的面积是1cm2 它的周长是4cm 求圆心角的弧度数和弦长ab 解答 设扇形的半径为rcm 弧长为lcm 如图 过o作oh ab于h 则 aoh 1rad ah 1 sin1 sin1 cm ab 2sin1 cm 圆心角的弧度数为2 弦长ab为2s