高三数学文科函数y=fx对称性与周期性关系例题解析人教

高三数学文科函数y = f (x)对称性与周期性关系例题解析一. 本周教学内容：函数对称性与周期性关系【典型例题】1. 定义在R上的函数，若总有成立，则函数的图象是关于直线成轴对称图形。反之，若函数的图象关于直线成轴对称图形，则必有推论，对于定义在R上的函数，若有，则图象关于直线成轴对称图形，反之亦真。证明：若对，总有，设点，在的图象上，点关于的对称点，由，则点在函数的图象上，由的任意性知的图象关于直线对称，反之证明略。推论，由显然例1 已知，满足且，当时，比较与的大小。解：由知关于对称，故，又由知，则在递减，在上递增。当时， 即当时， ，即例2 函数的图象关于直线对称，且时，则当时，的解析式为 。解：依条件，设，则，故例3 若的图象关于直线对称，则 。A. B. C. D. 解：由得即 例4 设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，则此六个实根之和为 。A. 18B. 12C. 9D. 0解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故，所以，选A。例5 设满足（1），（2）当时，是增函数，定义域，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 解：由条件知图象关于直线成轴对称，又及时递增 ，故选C2. 对称性与周期性的关系（1）若函数在R上的图象关于两条直线与对称，则为R上的周期函数。（2）若函数在R上的图象关于直线与点对称，则为R上的周期函数。证：（1）因图象关于及对称，则，故得证（2）由图象关于对称，有 又由图象关于点对称，有， ，即以代有 由和 以代有又由式 得证特别地，图象关于直线对称的偶函数必是周期函数推论，定义在R上的函数满足（1）当为偶函数时，是以为一个周期的周期函数。（2）当为奇函数时，是以为一个周期的周期函数。证：（1）（2） 例1 已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时，求时，的解析式。解：由（1）（2）知，对任则，例2 已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式，求上的解析式。解：设当时，则当时，则又为偶函数，知从而另法：当时，当时，例3 函数定义在R上，且对一切满足，设，问方程在区间中至少有几个实根。解：依条件为函数的周期，均为的根，因此在区间上至少有二个根 由周期性可知也为的根所以方程在区间中至少有例4 若偶函数，满足（1）图象关于直线对称，（2）在区间上是减函数，求证以为最小正周期。证：依条件知为函数的周期，假设函数还存在比更小的周期2，且令，则（1）若，则与在上是减函数矛盾（2）若，即时，与在上是减函数矛盾，所以是的最小正周期。例5 已知是定义在实数集R上的偶函数，是R上的奇函数，又知（1）（是常数）；（2）试求的值。分析：条件（2）即，即关于点对称又由是偶函数，故是以为周期的周期函数解：由条件（2）知，令，则，故，即为以4为周期的周期函数，又由，所以一. 选择题（每小题5分，共50分）1. 函数的定义域为A，函数的定义域为B，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2. 函数在区间上递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3. 已知，且，则满足（ ）A. B. C. D. 4. 定义在R上的奇函数为减函数，设，给出下列不等式：（1）（2）（3）（4）其中正确的不等式序号是（ ）A. （1）（2）（4）B. （1）（4）C. （2）（4）D. （1）（3）5. 偶函数在上单调递减，则与的大小关系为（ ）A. B. C. D. 不能确定6. 已知定义域为R的函数满足有，且，若，则（ ）A. 2B. 4C. D. 7. 已知定义在R上的偶函数在区间上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数是R上的偶函数，且满足，当时，则（ ）A. 0.5B. 1C. 1.5D. 9. 函数是（0，2）上的增函数，函数是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 10. 设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 二. 填空题（每小题4分，共24分）11. 定义在R上的函数满足，则 。12. 已知函数，则 。13. 设，且，那么函数的最大值是 。14. 已知为偶函数，为奇函数，它们的定义域都为，当时，它们的图象如下图，则不等式的解集为 。15. 已知二次函数，若在区间内至少存在一个实数，使，则实数的取值范围是 。16. 设函数，给出下列命题：（1）时，为奇函数（2），时，方程只有一个实数根（3）的图象关于点对称（4）方程至多两个实数根上述四个命题中所有正确的命题序号为 。三. 解答题（共76分）17. 已知集合，集合，其中，设全集，求实数的取值范围。18. 求函数的值域。（满分12分）19. 已知两个函数，（1）若都有成立，求的取值范围；（2）若都有成立，求的取值范围。（满分12分）20. 已知奇函数（1）确定的值，并证明在R上为增函数；（2）若方程在上有解，证明。（满分12分）21. 已知函数满足，其中，且。（1）对于函数，当时，求实数的取值范围；（2）当时，的取值范围恰为，求的取值范围。（满分14分）参考答案一. 1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 6. B 7. C 8. A 9. B 10. D二. 11. 7 12. 13. 0 14. 15. 16. 三.17. 解：A： B： 设，则 ，若，则， 若，则在上 综上所述：18. 解： 定义域：R设，则且 （） 函数在上 当时， 函数的值域为19. 解： 令得， 3 + 0 0 + 极大值 极小值 111在上，在上（1） 都有成立 （2） 都有成立 ，即 20. 解：（1） 为R上的奇函数 设 在R上且，在上 在R上（2） 在