人教A版必修2 第二章 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 课件（36张）.pptx

2 1 2空间中直线与直线之间的位置关系 第二章 2 1空间点 直线 平面之间的位置关系 学习目标1 了解空间中两条直线的位置关系 2 理解异面直线的概念 画法 3 理解并掌握公理4及等角定理 4 了解异面直线所成角的概念 会求一些较特殊的异面直线所成的角 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一空间两直线的位置关系 思考在同一平面内 两条直线有几种位置关系 观察下面两个图形 你能找出既不平行又不相交的两条直线吗 答案平行与相交 教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线 六角螺母中直线ab与cd 梳理异面直线的概念 1 定义 不同在平面内的两条直线 2 异面直线的画法 衬托平面法 如图 1 2 所示 为了表示异面直线不共面的特点 作图时 通常用一个或两个平面来衬托 任何一个 3 判断两直线为异面直线的方法 定义法 两直线既不平行也不相交 4 空间两条直线的三种位置关系 从是否有公共点的角度来分 平行 异面 相交 平行 从是否共面的角度来分 相交 异面 知识点二平行公理 公理4 思考在平面内 直线a b c 若a b b c则a c 该结论在空间中是否成立 答案成立 梳理平行公理的内容 1 文字表述 平行于同一条直线的两条直线互相平行 知识点三等角定理 思考观察图 在长方体abcd a b c d 中 adc与 a d c adc与 d a b 的两边分别对应平行 这两组角的大小关系如何 答案从图中可以看出 adc a d c adc d a b 180 梳理空间中如果两个角的两边分别对应 则这两个角或 平行 相等 互补 知识点四异面直线所成的角 思考在长方体a1b1c1d1 abcd中 bc1 ad1 则 直线bc1与直线bc所成的角 与 直线ad1与直线bc所成的角 是否相等 答案相等 梳理 锐角 或直角 0 90 90 a b 1 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 2 两直线若不是异面直线 则必相交或平行 3 若ab a b ac a c 则 bac b a c 思考辨析判断正误 题型探究 例1如图所示 点p q r s分别在正方体的四条棱上 且是所在棱的中点 则直线pq与rs是异面直线的是 类型一空间两直线位置关系的判定 解析 解析不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断 仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择 a b中 pq rs d中 pq和rs相交 故选c 答案 反思与感悟 1 判断空间中两条直线位置关系的关键点 建立空间观念 全面考虑两条直线平行 相交和异面三种位置关系 特别关注异面直线 重视正方体等常见几何体模型的应用 会举例说明两条直线的位置关系 2 判定两条直线是异面直线的方法 证明两条直线既不平行又不相交 重要结论 连接平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 用符号语言可表示为a b b l l 则ab与l是异面直线 如图 跟踪训练1 1 若a和b是异面直线 b和c是异面直线 则a和c的位置关系是a 平行b 异面c 相交d 平行 相交或异面 解析 解析可借助长方体来判断 如图 在长方体abcd a b c d 中 a d 所在直线为a ab所在直线为b 已知a和b是异面直线 b和c是异面直线 则c可以是长方体abcd a b c d 中的b c cc dd 故a和c可以平行 相交或异面 答案 2 如图为正方体表面的一种展开图 则图中的四条线段ab cd ef gh在原正方体中互为异面的对数为a 1b 2c 3d 4 解析 解析还原的正方体如图所示 是异面直线的共三对 分别为ab与cd ab与gh ef与gh 答案 例2在正方体abcd a b c d 中 e f e f 分别是ab bc a b b c 的中点 求证 ee ff 类型二平行公理和等角定理的应用 证明 证明因为e e 分别是ab a b 的中点 所以be b e 且be b e 所以四边形ebb e 是平行四边形 所以ee bb 同理可证ff bb 所以ee ff 引申探究1 在本例中 若m n分别是a d c d 的中点 求证 四边形acnm是梯形 证明 因为a c ac 且a c ac 又am与cn不平行 故四边形acnm是梯形 2 若将本例变为已知e e 分别是正方体abcd a b c d 的棱ad a d 的中点 求证 bec b e c 证明 证明如图所示 连接ee 因为e e 分别是ad a d 的中点 所以ae a e 且ae a e 所以四边形aee a 是平行四边形 所以aa ee 且aa ee 又因为aa bb 且aa bb 所以ee bb 且ee bb 所以四边形bee b 是平行四边形 所以be b e 同理可证ce c e 又 bec与 b e c 的两边方向相同 所以 bec b e c 反思与感悟 1 空间两直线平行的证明方法证明空间两条直线平行的方法有两个 一是利用平面几何知识 三角形 梯形的中位线 平行四边形性质 平行线分线段成比例定理等 证明 二是利用公理4 就是需要找到第三条直线c 使a c b c 由公理4得到a b 2 空间角相等的证明方法 等角定理是较常用的方法 转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明 跟踪训练2如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g分别是ab bb1 bc的中点 求证 efg c1da1 证明 证明如图 连接b1c 因为g f分别为bc bb1的中点 所以cd ab且cd ab a1b1 ab且a1b1 ab 由公理4知cd a1b1且cd a1b1 所以四边形a1b1cd为平行四边形 所以a1d b1c且a1d b1c 又b1c fg 由公理4知a1d fg 同理可证 a1c1 eg dc1 ef 又 da1c1与 egf a1dc1与 efg dc1a1与 gef的两边分别对应平行且均为锐角 所以 da1c1 egf a1dc1 efg dc1a1 gef 所以 efg c1da1 例3在空间四边形abcd中 ab cd 且ab与cd所成锐角为30 e f分别为bc ad的中点 求ef与ab所成角的大小 类型三求异面直线所成的角 解答 解如图所示 取ac的中点g 连接eg fg 由ab cd知eg fg 从而可知 gef为ef与ab所成角 egf或其补角为ab与cd所成角 ab与cd所成角为30 egf 30 或150 由eg fg知 efg为等腰三角形 当 egf 30 时 gef 75 当 egf 150 时 gef 15 故ef与ab所成角的大小为15 或75 反思与感悟求两条异面直线所成的角的一般步骤 1 构造角 根据异面直线的定义 通过作平行线或平移平行线 作出异面直线夹角的相关角 2 计算角 求角度 常利用三角形 3 确定角 若求出的角是锐角或是直角 则它就是所求异面直线所成的角 若求出的角是钝角 则它的补角就是所求异面直线所成的角 跟踪训练3在正方体ac1中 e f分别是a1b1 b1c1的中点 求异面直线db1与ef所成角的大小 解如图 连接a1c1 b1d1 并设它们相交于点o 取dd1的中点g 连接og a1g c1g 则og b1d ef a1c1 goa1为异面直线db1与ef所成的角或其补角 ga1 gc1 o为a1c1的中点 go a1c1 异面直线db1与ef所成的角为90 解答 达标检测 1 2 3 4 1 若空间两条直线a和b没有公共点 则a与b的位置关系是a 共面b 平行c 异面d 平行或异面 答案 5 解析若直线a和b共面 则由题意可知a b 若a和b不共面 则由题意可知a与b是异面直线 解析 2 若oa o a ob o b 且 aob 130 则 a o b 为a 130 b 50 c 130 或50 d 不能 答案 1 2 3 4 5 解析根据定理 a o b 与 aob相等或互补 即 a o b 130 或 a o b 50 解析 3 一条直线与两条异面直线中的一条平行 则它和另一条的位置关系是a 平行或异面b 相交或异面c 异面d 相交 解析如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 aa1与bc是异面直线 又aa1 bb1 aa1 dd1 显然bb1 bc b dd1与bc是异面直线 故选b 解析 答案 1 2 3 4 5 4 对角线互相垂直的空间四边形abcd各边中点分别为m n p q 则四边形mnpq是 1 2 3 4 5 答案 解析如图所示 点m n p q分别是四条边的中点 解析 矩形 即mn pq且mn pq 四边形mnpq是平行四边形 又 bd mq ac bd mn mq 平行四边形mnpq是矩形 5 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 1 求a1c1与b1c所成角的大小 1 2 3 4 5 解如图所示 连接ac ab1 由六面体abcd a1b1c1d1是正方体知 四边形aa1c1c为平行四边形 ac a1c1 从而b1c与ac所成的角就是a1c1与b1c所成的角 在 ab1c中 由ab1 ac b1c 可知 b1ca 60 即a1c1与b1c所成的角为60 解答 2 若e f分别为ab ad的中点 求a1c1与ef所成角的大小 1 2 3 4 5 解如图所示 连接bd 由 1 知ac a1c1 ac与ef所成的角就是a1c1与ef所成的角 ef是 abd的中位线 ef bd 又 ac bd ac ef ef a1