人教A版选修23 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 课件（31张）.pptx

1 3 2 杨辉三角 与二项式系数的性质 1 杨辉三角 a b n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形式 上面的二项式系数表称为 杨辉三角 特点 1 在同一行中 每行两端都是1 与这两个1等距离的项的系数相等 做一做1 利用杨辉三角 将 a b 7展开为 答案 a7 7a6b 21a5b2 35a4b3 35a3b4 21a2b5 7ab6 b7 2 二项式系数的性质 3 各二项式系数的和 做一做2 在 a b 8的展开式中 二项式系数最大的项为 在 a b 9的展开式中 二项式系数最大的项为 答案 70a4b4126a5b4与126a4b5 a a bb a bc a bd 不确定 答案 b 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 在 1 x 2n 1的展开式中 二项式系数最大的项的项数是n 1 n 2 2 1 3x 8展开式的所有项系数的和为48 3 对于二项式 1 x 1999 展开式中非常数项的系数和为1 5 对于二项式 1 x 1999 展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项 6 对于二项式 1 x 1999 当x 2000时 1 x 1999除以2000的余数是1 探究一 探究二 探究三 规范解答 与杨辉三角有关的问题 例1 如图所示 在杨辉三角中 斜线ab上方箭头所指的数组成一个锯齿形的数列 1 2 3 3 6 4 10 记这个数列的前n项和为sn 求s19 思路分析 由数列的项在杨辉三角中的位置 将项还原为二项式系数 结合组合数的性质求和 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 探究一 探究二 探究三 规范解答 变式训练1在 杨辉三角 中 从第2行开始 每一个数都是它 肩上 两个数的和 它开头几行如图所示 则在 杨辉三角 中 第行会出现三个相邻的数 其比为3 4 5 探究一 探究二 探究三 规范解答 解析 若第n行中含有三个连续项之比为3 4 5 则存在正整数k使得 答案 62 探究一 探究二 探究三 规范解答 求二项展开式中系数或二项式系数最大的项 例2 已知 1 2x n的展开式中第6项与第7项的系数相等 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 解得5 k 6 k 5或k 6 k 0 1 2 8 系数最大的项为t6 1792x5 t7 1792x6 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟求展开式中系数的最值的方法 1 若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等 可转化为确定二项式系数的最值来解决 2 若展开式的系数为f r mg r 的形式 如求 a bx n a b r 的展开式系数最大的项 一般是采用待定系数法 设展开式各项系数分别为a1 a2 an 1 且第r 1项系数最大 探究一 探究二 探究三 规范解答 1 求该展开式中所有有理项的个数 2 求该展开式中系数最大的项 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 有关二项式系数和展开式的系数和的问题 例3 设 2 x 100 a0 a1x a2x2 a100 x100 求下列各式的值 1 a0 2 a1 a2 a100 3 a1 a3 a5 a99 4 a0 a2 a100 2 a1 a3 a99 2 思路分析 用赋值法求各系数的和 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 反思感悟1 各项的系数和 2 赋值法 赋值法 是求二项展开式系数问题的常用方法 赋值就是对展开式中的字母用具体数值代替 注意赋的值要有利于问题的解决 赋值时可以取一个值或几个值 也可以取几组值 解决问题时要避免漏项等情况 探究一 探究二 探究三 规范解答 变式训练3已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a1 a7 解 1 当x 1时 1 2x 7 1 2 7 1 展开式右边为a0 a1 a2 a7 故a0 a1 a2 a7 1 当x 0时 a0 1 a1 a2 a7 1 1 2 2 令x 1 则a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37 得2 a1 a3 a5 a7 1 37 探究一 探究二 探究三 规范解答 3 由展开式知a1 a3 a5 a7均为负 a0 a2 a4 a6均为正 由 得2 a0 a2 a4 a6 1 37 a0 a1 a7 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 37 探究一 探究二 探究三 规范解答 与二项展开式的系数 二项式系数有关的计算 1 二项式系数最大的项 2 系数的绝对值最大的项 审题策略 本题主要考查二项式的通项公式 二项式系数 项的系数以及项数和项的有关概念 规范展示 解 由题意知 22n 2n 992 即 2n 32 2n 31 0 2n 32 解得n 5 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 答题模板 第1步 利用二项式系数和的定义求出n 第3步 利用通项公式求解系数的绝对值最大的项满足的条件 第4步 根据所求的范围得出最大项 并写出该项 失误警示通过阅卷统计分析 造成失分的原因如下 1 易将二项式系数和项的系数混淆 利用赋值来求二项式系数的和导致错误 2 混淆项和项数 二项式系数和项的系数而出错 探究一 探究二 探究三 规范解答 a 第19项b 第17项c 第17项或第19项d 第18项或第19项 所以n 36 故第19项系数最大 答案 a 123456 1 1 x 13的展开式中系数最小的项为 a 第6项b 第7项c 第8项d 第9项解析 展开式中共有14项 中间两项 第7 8项 的二项式系数最大 由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足 奇数项相等 偶数项互为相反数 故系数最小的项为第8项 系数最大的项为第7项 答案 c 123456 a 第6项b 第3项c 第3项和第6项d 第5项和第7项 答案 d 123456 a 64b 32c 63d 31 答案 b 123456 4 若 ax 1 5的展开式中x3的系数是80 则实数a的值为 a3 10 80 a3 8 a 2 答案 d 123456 5 若 2x 3 5 a0 a1x a2x2 a3x3