高考数学一轮总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 2.2 函数的基本性质课件 理 新人教B版.ppt

2 2函数的基本性质 高考理数 一 函数的单调性1 单调函数的定义设函数f x 的定义域为i 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 则f x 在区间d上是减函数 2 函数的单调性与单调区间如果函数y f x 在区间d上是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的单调区间 二 函数的奇偶性与周期性1 偶函数和奇函数 知识清单 2 周期性对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x t f x 那么就称函数y f x 为周期函数 t为这个函数的周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期 三 函数的最值 知识拓展 1 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论 函数y f x 在给定区间上的单调性反映了函数在区间上函数值的变化趋势 是函数在区间上的整体性质 但不一定是函数在定义域上的整体性质 函数的单调性是对某个区间而言的 所以要受到区间的限制 2 对函数奇偶性定义的理解不能只停留在f x f x 和f x f x 这两个等式上 要明确函数具备奇偶性的必要条件 函数的定义域关于原点对称 稍加推广 可得函数f x 的图象关于直线x a对称的充要条件是对定义域内的任意x 都有f x a f a x 成立 函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映 3 对称性与周期的关系 1 若函数f x 的图象关于直线x a和直线x b对称 则函数f x 必为周期函数 2 a b 是它的一个周期 2 若函数f x 的图象关于点 a 0 和点 b 0 对称 则函数f x 必为周期函数 2 a b 是它的一个周期 3 若函数f x 的图象关于点 a 0 和直线x b对称 则函数f x 必为周期函数 4 a b 是它的一个周期 方法1函数单调性的判定 单调区间的求法及应用1 求函数的单调区间 常用的方法 1 利用已知函数的单调性 即转化为已知函数的和 差或复合函数 求单调区间 2 定义法 先求定义域 再利用单调性定义确定单调区间 3 图象法 如果f x 是以图象形式给出的 或者f x 的图象易作出 则可由图象的直观性写出它的单调区间 4 导数法 利用导数取值的正负确定函数的单调区间 2 若函数f x 在定义域上 或某一区间上 是增函数 则f x1 f 2a x 在 a a 1 上恒成立 则实数a的取值范围是 a 2 b 0 c 0 2 d 2 0 2 2015辽宁葫芦岛一模 15 5分 函数f x log0 5 x2 4 的单调递增区间为 突破方法 解析 1 函数f x x2 4x 3在 0 上为减函数 且f x x2 2x 3在 0 上也为减函数 又因为函数f x 为r上的连续函数 所以f x 在r上为减函数 因为f x a f 2a x 所以x a0 得函数f x 的定义域为 2 2 令t x2 4 y log0 5t在t 0 上单调递减 t x2 4 x 2或x 2 的单调递减区间为 2 f x 的单调递增区间为 2 答案 1 a 2 2 1 1 2015四川泸州一模 4 5分 下列函数f x 中 满足 对任意x1 x2 0 都有 0 的是 a f x lnxb f x x 1 2c f x d f x x3答案c 解析对任意x1 x2 0 都有f x2 所以f x 在 0 上是减函数 对于a f x lnx在 0 上是增函数 故a不满足 对于b 函数f x x 1 2在 1 上是减函数 在 1 上是增函数 故b不满足 对于c 函数f x 在 1 1 上均为减函数 则在 0 上是减函数 故c满足 对于d 函数f x x3在r上是增函数 故d不满足 故选c 方法2函数的奇偶性的判定及应用1 根据定义判断 1 首先确定函数的定义域 看它是否关于原点对称 若不对称 则既不是奇函数也不是偶函数 2 若定义域关于原点对称 再判定f x 与f x 之间的关系 然后确定函数的奇偶性 2 利用函数的图象特征判断函数f x 是奇函数 f x 的图象关于原点对称 函数f x 是偶函数 f x 的图象关于y轴对称 3 根据性质判断 在公共定义域内 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 4 抽象函数奇偶性的判断 1 找准方向 找出含有f x f x 的等式 2 合理变形 适当赋值 配凑 通过代入或加减等方法建立f x 与f x 的联系 x1 x2 x1 x2 x1 x2 都是常用的变形方法 3 明确结论 找到f x 与f x 之间的关系 从而确定函数的奇偶性 5 函数奇偶性的应用 1 求函数解析式 当已知函数f x 在原点一侧的解析式时 利用f x 与f x 的关系得到在原点另一 侧的解析式 即可求得函数在整个定义域内的解析式 当函数表达式中含有字母参数时 利用f x f x 0可得关于字母的恒等式 由系数对应相等即可求得字母参数的值 2 求某些特殊的函数值 奇函数的图象关于原点对称 有f x0 f x0 0 而偶函数的图象关于y轴对称 有f x0 f x0 若已知f x0 的值 由上述关系可求得f x0 的值 例2 1 2015江西模拟 4 5分 已知函数f x x 2 g x x3 tanx 那么 a f x g x 是奇函数b f x g x 是偶函数c f x g x 是奇函数d f x g x 是偶函数 2 2012课标全国 16 5分 设函数f x 的最大值为m 最小值为m 则m m 解析 1 函数f x g x x 2 x3 tanx 函数的定义域为 k z 则f x g x x 2 x3 tanx x 2 x3 tanx f x g x 所以f x g x 是奇函数 函数f x g x x 2 x3 tanx 函数的定义域为 k z f x g x x 2 x3 tanx f x g x f x g x f x g x 所以f x g x 是非奇非偶函数 故选a 2 显然其定义域为全体实数 f x 1 设g x g x g x g x 为奇函数 由奇函数图象的对称性知g x max g x min 0 m m g x 1 max g x 1 min 2 g x max g x min 2 答案 1 a 2 22 1 2015河南天一四联 5 5分 已知f x g x 分别是定义在r上的偶函数和奇函数 且f x g x x3 2 x 则f 2 g 2 a 4b 4c 2d 2答案b解析 f x g x 分别是定义在r上的偶函数和奇函数 且f x g x x3 2 x f 2 g 2 2 3 22 4 f 2 g 2 f 2 g 2 4 故选b 2 2 2014课标 3 5分 设函数f x g x 的定义域都为r 且f x 是奇函数 g x 是偶函数 则下列结论中正确的是 a f x g x 是偶函数b f x g x 是奇函数c f x g x 是奇函数d f x g x 是奇函数答案c解析由题意可知f x f x g x g x 对于选项a f x g x f x g x 所以f x g x 是奇函数 故a项错误 对于选项b f x g x f x g x f x g x 所以 f x g x 是偶函数 故b项错误 对于选项c f x g x f x g x 所以f x g x 是奇函数 故c项正确 对于选项d f x g x f x g x f x g x 所以 f x g x 是偶函数 故d项错误 选c 方法3函数周期的求法及应用1 几种常见抽象函数的周期 2 求一般函数周期的方法 递推法 若f x a f x 则f x 2a f x a a f x a f x 所以2a为f x 的一个周期 换元法 若f x a f x a 令x a t 则x t a 则f t 2a f t a a f t a a f t 所以2a为f x 的一个周期 例3 2015四川达州一模 5 5分 若f x 是r上周期为5的奇函数 且满足f 1 1 f 2 3 则f 8 f 4 的值为 a 1b 1c 2d 2解析 f x 是r上周期为5的奇函数 f x f x f 1 f 1 1 f 2 f 2 3 f 8 f 8 5 f 3 f 3 5 f 2 3 f 4 f