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1 第三章控制系统的时域分析方法 第一节典型输入信号和时域性能指标第二节一阶性能分析第三节二阶性能分析第四节高阶性能分析第五节稳定性分析及代数判据第六节稳态误差分析及计算 2 第一节典型输入信号和时域分析法 时域分析法 是根据描述系统的微分方程或传递函数 直接求解出在某种典型输入作用下系统输出随时间t变化的表达式或其它相应的描述曲线来分析系统的稳定性 动态特性和稳态特性 本方法是分析系统的最早 也是最基本的分析方法 时域分析法直覌 物理概念清晰 3 拉氏变换式 一 典型的输入信号 2 斜坡信号数学表达式 1 阶跃信号数学表达式 当A 1时 称为单位阶跃信号 4 典型的输入信号 拉氏变换式 3 抛物线信号数学表达式 当A 1时 称为单位抛物线信号 当A 1时 称为单位斜坡信号 拉氏变换式 5 单位抛物线信号拉氏变换式 4 脉冲信号数学表达式 典型的输入信号 拉氏变换式 6 5 正弦信号数学表达式 拉氏变换式 典型的输入信号 当A 1时 称为单位理想脉冲信号 7 二 时域性能指标 以单位阶跃信号输入时 系统输出的一些特征值来表示 8 1 动态性能指标上升时间tr 响应曲线从零到第一次达到稳态值所需要的时间 峰值时间tp 响应曲线从零到第一个峰值所需要的时间 调节时间ts 响应曲线从零到达并停留在稳态值的或误差范围所需要的最小时间 超调量 系统在响应过程中 输出量的最大值超过稳态值的百分数 时域性能指标 9 2 稳态性能指标稳态性能指标用稳态误差ess来描述 是系统控制精度或抗干扰能力的一种量度 有关内容 本章第六节讨论 时域性能指标 10 一 一阶系统用一阶微分方程描述的系统 二 一阶系统典型的数学模型微分方程传递函数典型结构 第二节一阶系统分析 11 一阶系统分析 三 典型输入响应1 单位阶跃响应 y t 的特点 1 由动态分量和稳态分量两部分组成 2 单调上升的指数曲线 3 当t T时 y 0 632 4 曲线的初始斜率为1 T 性能 1 超调量不存在 0 2 ts 3T或4T 12 2 单位斜坡响应 一阶系统分析 y t 的特点 1 由动态分量和稳态分量两部分组成 2 输入与输出之间存在跟踪误差 且误差值等于系统时间常数 T 13 一阶系统分析 3 单位抛物线响应 y t 的特点 输入与输出之间存在误差为无穷大 这意味着一阶系统是不能跟踪单位抛物线输入信号的 4 单位脉冲响应 当 时 14 一阶系统分析 对一阶系统典型输入响应的两点说明 1 输入信号为单位抛物线信号时 输出无法跟踪输入2 三种响应之间的关系 系统对输入信号微分 积分 的响应 就等于该输入信号响应的微分 积分 例3 1 解释 15 第三节二阶系统分析 一 二阶系统用二阶微分方程描述的系统 二 二阶系统典型的数学模型 先看例 位置跟踪系统 16 二阶系统分析 系统结构图 微分方程 闭环传递函数 二阶系统 17 二阶系统分析 为了使二阶系统的分析结果具有普遍及指导意义 提出下面的数学模型 作为二阶系统的典型的数学模型 开环传递函数 典型系统结构 闭环传递函数 特征方程 特征方程的根 注 式中 阻尼系数 比 无阻尼自振荡频率 18 二阶系统分析 三 典型二阶系统的单位阶跃响应在初始条件为0下 输入单位阶跃信号时 系统输出的拉氏变换式为 阶跃响应为 二阶系统响应特性取决于阻尼系数和无阻尼振荡频率两个参数 19 1 无阻尼 0 的情况特征根及分布情况 阶跃响应 响应曲线 二阶系统分析 20 2 欠阻尼 0 1 的情况特征根及分布情况 阶跃响应 二阶系统分析 21 3 临界阻尼 1 特征根 阶跃响应 响应曲线 二阶系统分析 22 4 过阻尼 1 的情况特征根及分布情况 阶跃响应 响应曲线 二阶系统分析 23 结论 1 不同阻尼比有不同的响应 有不同的动态性能 2 实际工程系统中 欠阻尼情况最具有实际意义 在系统设计时 往往也按欠阻尼情况选择控制器相关参 典型二阶系统的阻尼系数与单位阶跃响应 見表3 2 图3 11 二阶系统分析 24 四 二阶系统动态特性指标 由前面知 欠阻尼时系统的输出 0 1 响应曲线 二阶系统分析 25 1 上升时间 在暂态过程中第一次达到稳态值的时间 由 令时 则 经整理得 二阶系统分析 26 二阶系统分析 2 超调量 暂态过程中被控量的最大值超过稳态值的百分数 即 峰值时间在时刻对求导 令其等于零 经整理得 将其代入超调量公式得 27 3 调节时间 输出量与稳态值之间的偏差达到允许范围 并维持在允许范围内所需要的时间 二阶系统分析 28 例有一位置随动系统 结构图如下图所示 其中K 4 1 求该系统的自然振荡角频率和阻尼比 2 求该系统的超调量和调节时间 3 若要阻尼比等于0 707 应怎样改变放大倍数K 二阶系统分析 29 例题 解 1 系统的闭环传递函数为 写成标准形式 对比 可知 30 例题 2 超调量和调节时间将阻尼系数和无阻尼振荡频率代入性能公式 3 要求 即要求超调量为4 时 注 超调量变小了 系统的动态性能变好了 但由于放大系数小了 由第六节可知 造成精度变差了 31 五 提高二阶系统动态性能的方法1 比例 微分 PD 串联校正未加校正网络前闭环传递函数 加校正网络后闭环传递函数 二阶系统分析 32 校正后的等效阻尼系数 阻尼系数比校正前要大 由超调量的计算公式知 阻尼系数上升 超调量下降 从而提高了系统的动态性能 二阶系统分析 33 未加校正网络前闭环传递函数 校正后的闭环传递函数 二阶系统分析 2 并联微分校正 34 阻尼系数比校正前要大 由超调量的计算公式知 阻尼系数上升 超调量下降 从而提高了系统的动态性能 二阶系统分析 校正后的等效阻尼系数 35 一 高阶系统二 高阶系统的数学模型 传递函数 第四节高阶系统分析 其中 分母n q 2r 3 数学模型为三阶或三阶以上的系统 36 三 单位阶跃响应 反变换 高阶系统分析 y t 分析 参阅教材 37 四 高阶系统的分析方法 1 降阶 看成2阶 1阶 闭环主导极点的概念 距离虚轴最近 又远离零点的闭环极点 在系统过渡过程中起主导作用 这个极点称为主导极点 主导极点若以共轭形式出现 该系统可近似看成二阶系统 若以实数形式出现 该系统可近似看成一阶系统 2 计算机仿真实验 高阶系统分析 38 第五节稳定性分析及代数判据 一 稳定的概念及条件 稳定概念 如果系统受扰动后 偏离了原来的工作状态 而当扰动取消后 系统又能逐渐恢复到原来的工作状态 则称系统是稳定的 稳定条件 系统特征方程式所有的根都位于 平面的左半平面 二 判定系统稳定的方法 代数判据应用劳斯判据等其它代数判据 39 劳斯判据 1 先求出系统的特征方程 0 注意 1 s要降阶排列 2 所有系数必须大于0 系统稳定的必要条件 特征方程所有系数均为正 系统稳定的充分条件 特征方程所有系数组成劳斯表 其第一列元素必须为正 具体步骤 稳定性分析及代数判据 40 可编辑 41 2 列劳斯表 注意 1 共n 1行2 第1 2行由分程系数组成 其余行按公式计算 公式 稳定性分析及代数判据 42 例 三阶系统特征方程式如下 求系统稳定条件解 列劳斯表 系统稳定的充分必要条件是 稳定性分析及代数判据 43 四 劳斯判据的其它应用1 分析系统参数对稳定性的影响例系统如图所示 求使系统稳定的K值的范围 稳定性分析及代数判据 44 解 系统闭环特征方程为 列劳斯表 稳定必须满足 所以 稳定性分析及代数判据 45 2 确定系统的相对稳定性稳定裕量 系统离稳定的边界有多少余量 也就是实部最大的特征根与虚轴的距离 求系统有多大的稳定裕量 方法为 1 用代入特征方程 2 将z看作新变量 用劳斯判据再次判稳 若稳定 则具有该稳定裕量 稳定性分析及代数判据 例题 見课本 46 第六节稳态误差分析及计算 一 误差及稳态误差概念及定义 1 误差 2种定义 1 输入端定义 2 输出端定义 3 两者之间的关系 理想输出 实际输出 47 两者关系证明 稳态误差分析及计算 48 2 稳态误差 系统稳定时 误差信号的终值 用式表示为 1 输入信号作用下 稳态误差的计算 方法一 拉氏变换的终值定理 例题 稳态误差分析及计算 二 稳态误差计算 49 方法二 稳态误差系数法 分析 令 考虑R s 不同时 与的关系 稳态误差分析及计算 50 设系统的开环传递函数为 其中 K 开环放大倍数 V 无差度阶数 稳态误差分析及计算 51 1 单位阶跃输入下的稳态误差 其中称为位置误差系数 稳态误差 稳态误差分析及计算 52 稳态误差分析及计算 位置误差系数 53 2 单位斜坡输入下的稳态误差 稳态误差 稳态误差分析及计算 称为速度误差系数 54 稳态误差分析及计算 速度误差系数 55 3 单位抛物线输入下的稳态误差 稳态误差分析及计算 稳态误差 称为加速度误差系数 56 稳态误差分析及计算 加速度误差系数 57 结论 要消除或减小稳态误差 必须针对不同的输入量来选择不同的系统 并且选择较大的K值 或增加积分环节 但均必须满足系统稳定性的要求 上面计算归纳如下表 稳态误差分析及计算 58 4 典型信号合成输入下的稳态误差稳态误差可用叠加原理求出 即分别求出系统对阶跃 斜坡和抛物线输入下的稳态误差 然后将其结果叠加 稳态误差分析及计算 59 2 扰动输入信号作用下 稳态误差计算分析 令 稳态误差分析及计算 稳态误差 60 3 给定输入 扰动输入同时作用下的稳态误差计算 稳态误差分析及计算 61 例已知系统结构图如下 当r t n t 1时 求系统稳态误差 稳态误差分析及计算 R y n 62 解 1 判断系统稳定性特征方程应用劳斯判据因为系统第一列元素全为零 所以系统稳定 稳态误差分析及计算 63 2 求给定输入下的稳态误差方法一 用终值定理 稳态误差分析及计算 64 方法二 用静态误差系数法由于没有积分环节 所以 0 系统为0型系统 两种计算方法 答案相同 稳态误差分析及计算 65 3 求扰动输入下的稳态误差 稳态误差分析及计算 66 4 给定输入 扰动输入下的稳态误差 稳态误差分析及计算 67 三 减少误差的方法1 增加开环放大倍数K2 增加积分环节的个数3 复合控制 1 按输入信号补偿的复合控制 稳态误差分析及计算 68 分析 令 若取则有 稳态误差分析及计算 69 2 按干扰信号补偿的复合控制 稳态误差分析及计算 70 分析 令若取则有 稳态误差分析及计算 71 例系统结构图如图3 27所示 已知 试分别计算 作用时的稳态误差 并说明积分环节的位置设置对减小输入和干扰作用下的稳态误差的影响 72 解求给定输入作用下的稳态误差系统的开环传递函数 由开环传递函数可知 当参数值使系统稳定的条件下 参阅表3 4可知 时 系统为1型 73 求干扰 输入作用下的稳态误差 当 时 求干扰 输入作用下的稳态误差 当 时 74 由计算结果看出 当前向通道中有积分环节时 阶跃输入