高考数学总复习测评课件56.ppt

第十四单元随机变量及其分布 知识体系 第三节离散型随机变量的均值与方差 基础梳理 均值 数学期望 1 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量x的分布列为 1 均值称为随机变量x的或 记为e x 或 即e x 其中是随机变量x的可能取值 是概率 0 i 1 2 n 它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 2 方差一般地 若离散型随机变量x的概率分布列如上表所示 则 e x 描述了 i 1 2 n 相对于均值 的偏离程度 故 其中 0 i 1 2 n 刻画了随机变量x与其均值 的平均偏离程度 我们将其称为离散型随机变量x的方差 记为或 也可用公式v x 计算 其算术平方根称为x的标准差 即 2 均值与方差的性质 1 e ax b ae x b 2 v ax b a2v x a b为实数 v x v x 3 两点分布与二项分布的均值 方差 1 若x服从两点分布 则e x v x 2 若x b n p 则e x v x 典例分析 题型一求随机变量的均值 例1 某公园有甲 乙两个相邻景点 原拟定甲景点内有2个a班的同学和2个b班的同学 乙景点内有2个a班的同学和3个b班的同学 后由于某种原因 甲 乙两景点各有一个同学交换景点参观 求甲景点a班同学数 的分布列及期望 p p 1 p np np 1 p 分析 所有可能的取值为1 2 3 解设甲景点内a班同学数为 则p 1 p 2 p 3 故 的分布列为 e 学后反思求离散型随机变量x的期望的步骤为 1 理解x的意义 写出x可能取的全部值 2 计算出x取每一个值时的概率 3 写出x的分布列 4 利用公式e x 求出期望 举一反三1 2009 安徽 某地有a b c d四人先后感染了甲型h1n1流感 其中只有a到过疫区 b肯定是受a感染的 对于c 因为难以断定他是受a还是受b感染的 于是假定他受a和受b感染的概率都是 同样也假定了d受a b和c感染的概率都是 在这种假定之下 b c d中直接受a感染的人数x就是一个随机变量 写出x的分布列 不要求写出计算过程 并求x的均值 即数学期望 解析 随机变量x的分布列是x的均值e x 题型二求随机变量的方差 例2 编号1 2 3的三位学生随意入座编号1 2 3的三个座位 每位学生坐一个座位 设与座位编号相同的学生人数是x 1 求随机变量x的概率分布列 2 求随机变量x的期望与方差 分析 1 随机变量x的意义是对号入座的学生个数 所有取值为0 1 3 若有两人对号入座 则第三人必对号入座 由排列与等可能事件概率易求分布列 2 直接利用数学期望与方差公式求解 解 1 p x 0 p x 1 p x 3 故x的概率分布列为 2 e x v x 学后反思求离散型随机变量x的方差的步骤 1 写出x的所有取值 2 计算p x xi 3 写出分布列 并求出期望e x 4 由方差的定义求出v x 说明 若x b n p 则e x np v x np 1 p 若x h n m n 则e x v x 举一反三2 设在15个同类型的零件中有2个次品 每次任取1个 共取3次 并且每次取出后不再放回 若用x表示取出次品的个数 1 求x的分布列 2 求x的均值e x 和方差v x 解析 1 p x 0 p x 1 p x 2 故x的分布列为 2 x的均值e x 和方差v x 分别为e x v x 题型三期望与方差性质的应用 例3 有甲 乙两个建材厂 都想投标参加某重点建设项目 为了对重点建设项目负责 政府到两个建材厂抽样检查 他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下 其中x和 分别表示甲 乙两建材厂材料的抗拉强度 在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下 比较甲 乙两建材厂的材料哪一种稳定性较好 分析首先看两建材厂的材料的抗拉强度的均值 然后再比较它们的方差 解e x 110 0 1 120 0 2 125 0 4 130 0 1 135 0 2 125 e 100 0 1 115 0 2 125 0 4 130 0 1 145 0 2 125 v x v 由于e x e 而v x v 故甲建材厂的材料稳定性较好 学后反思离散型随机变量的均值和方差都是随机变量的特征数 均值反映了随机变量的平均取值 方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 在进行决策时 一般先根据均值的大小来决定 当均值相同或相差不大时 再去利用方差来决策 举一反三3 若随机事件a在1次试验中发生的概率为p 0 p 1 用随机变量x表示a在1次试验中发生的次数 1 求方差v x 的最大值 2 求的最大值 解析 1 随机变量x的所有可能取值为0 1 并且有p x 1 p p x 0 1 p 从而e x 0 1 p 1 p p v x 当p 时 v x 取得最大值14 2 0 p 1 当且仅当 即时取等号 故当时 取得最大值 题型四期望与方差的综合应用 例4 14分 2008 广东 随机抽取某厂的某种产品200件 经质检 其中有一等品126件 二等品50件 三等品20件 次品4件 已知生产1件一 二 三等品获得的利润分别为6万元 2万元 1万元 而生产1件次品亏损2万元 设1件产品的利润 单位 万元 为 1 求 的分布列 2 求1件产品的平均利润 即 的数学期望 3 经技术革新后 仍有四个等级的产品 但次品率降为1 一等品率提高为70 如果此时要求1件产品的平均利润不小于4 73万元 则三等品率最多是多少 分析求 的分布列时 要先求 取各值时的概率 解 1 的所有可能取值有6 2 1 2 1 p 6 0 63 2 p 2 0 25 3 p 1 0 1 4 p 2 5 故 的分布列为 7 2 e 6 0 63 2 0 25 1 0 1 2 0 02 4 34 9 3 设技术革新后的三等品率为x 则此时1件产品的平均利润为e 6 0 7 2 1 0 7 0 01 x 1 x 2 0 01 4 76 x 0 x 0 29 12 依题意 e 4 73 即4 76 x 4 73 解得x 0 03 13 所以三等品率最多为3 14 学后反思本题主要考查学生运用知识 迁移知识的能力 解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学问题 利用已学的知识进行处理 这也是今后高考的一大热点 举一反三4 2009 陕西 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 表示 据统计 随机变量 的概率分布如下 1 求a的值和 的数学期望 2 假设一月份与二月份被消费者设诉的次数互不影响 求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率 解析 1 由概率分布的性质有0 1 0 3 2a a 1 解得a 0 2 的概率分布为 e 0 0 1 1 0 3 2 0 4 3 0 2 1 7 2 设事件a表示 两个月内共被投诉2次 事件a1表示 两个月内有一个月被投诉2次 另外一个月被投诉0次 事件a2表示 两个月内每个月均被投诉1次 则由事件的独立性得p p 2 p 0 2 0 4 0 1 0 08 p p 1 0 3 0 09 p a p p 0 08 0 09 0 17 故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0 17 易错警示 例 盒子里有大小相同的10个球 其中标号为1的有3个球 标号为2的有4个球 标号为5的有3个球 第1次从盒子中任取1个球 放回后第2次再任取1个球 假设取到的每个球的可能性都相同 记第1次与第2次取得球的标号之和为x 求随机变量x的分布列 错解由题意可知x可取3 6 7 p x 3 c12 0 3 0 4 0 24 p x 6 c12 0 3 0 3 0 18 p x 7 c12 0 4 0 3 0 24 故随机变量x的分布列为 错解分析错解忽视两次取到的球的标号相同 因而随机变量x的取值为2 3 4 6 7 10 正解由题意可知 随机变量x的取值是2 3 4 6 7 10 且p x 2 0 3 0 3 0 09 p x 3 c12 0 3 0 4 0 24 p x 4 0 4 0 4 0 16 p x 6 c12 0 3 0 3 0 18 p x 7 c12 0 4 0 3 0 24 p x 10 0 3 0 3 0 09 故随机变量x的分布列为 考点演练 10 刚上大学的甲进校时购买了一部新手机 他把手机号码抄给同学乙 第二天 同学乙在准备给他打电话时 发现号码的最后一个数字被撕掉了 于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字 且用过了的数字不再重复 求拨号次数 不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望 解析 由于第i次拨对甲的手机号码的概率均为 拨号次数 不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望e 3 11 2009 天津模拟 某箱中有红球和白球若干 有放回地抽取两次球 每次随机抽取1个球 假设事件a 取出的2个球中至多有1个是白球 的概率p a 0 91 1 求从该箱中任取1个球是白球的概率p 2 若该箱中共有100个球 从中任意抽取2个球 表示取出的2个球中红球的个数 求 的分布列和期望 解析 1 记表示事件 取出的2个球中无白球 表示事件 取出的2个球中恰有1个是白球 则 互斥 且 故p a p p p 于是0 91 解得 舍 所以p 0 3 2 的可能取值为0 1 2 若该箱共有100个球 由 1 知白球有100 0 3 30个 红球有70个 故p 0 p 1 p 2 所以 的分布列为e 12 2009 江西 某公司拟资助三位大学生自主创业 现