大学统计学第七章练习题及标准答案

1 12 第第 7 章章 参数估计参数估计 练习题练习题 7 1 从一个标准差为 5 的总体中抽出一个样本量为 40 的样本 样本均值为 25 1 样本均值的抽样标准差等于多少 x 2 在 95 的置信水平下 边际误差是多少 解 已知25 40 5 xn 样本均值的抽样标准差79 0 4 10 40 5 n x 已知 5 40 n25 x 4 10 x 951 96 1 025 0 2 ZZ 边际误差55 1 4 10 96 1 2 n ZE 7 2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额 在为期 3 周的时间里选取 49 名顾客 组成了一个简单随机样本 1 假定总体标准差为 15 元 求样本均值的抽样标准误差 2 在 95 的置信水平下 求边际误差 3 如果样本均值为 120 元 求总体均值的 95 的置信区间 解 已知 根据查表得 1 96 2 z 1 标准误差 14 2 49 15 n X 2 已知 1 96 2 z 所以边际误差 1 96 4 2 2 z n s 49 15 3 置信区间 2 124 8 11596 1 49 15 120 2 n s Zx 7 3 从一个总体中随机抽取的随机样本 得到 假定总体标准差100 n104560 x 构建总体均值的 95 的置信区间 85414 96 1 2 Z 2 12 144 16741 100 85414 96 1 2 n Z 856 87818144 16741104560 2 n Zx 144 121301144 16741104560 2 n Zx 置信区间 87818 856 144 7 4 从总体中抽取一个的简单随机样本 得到 100 n81 x12 s 1 构建的 90 的置信区间 2 构建的 95 的置信区间 3 构建的 99 的置信区间 解 由题意知 100 n81 x12 s 1 置信水平为 则 901 645 1 2 Z 由公式 n s zx 2 974 1 81 100 12 645 1 81 即 974 82 026 79974 1 81 则置信区间为 79 026 82 974的的 90 2 置信水平为 951 96 1 2 z 由公式得 81 n s zx 2 352 2 81 100 12 96 1 即 81 78 648 83 352 352 2 则的 95 的置信区间为 78 648 83 352 3 置信水平为 则 991 576 2 2 Z 由公式 x n s z 2 096 3 81 100 12 576 2 81 即81 3 1 则置信区间为的的 99 7 5 利用下面的信息 构建总体均值的置信区间 1 置信水平为 95 25 x5 3 60 n 2 置信水平为 98 6 119 x89 23 s75 n 3 置信水平为 90 419 3 x974 0 s32 n 置信水平为 95 60 5 3 25 nX 3 12 解 96 1 2 Z 89 0 60 5 3 96 1 2 n Z 置信下限 X11 2489 0 25 2 n Z 置信上限 X89 2589 0 25 2 n Z 置信区间为 89 2511 24 置信水平为 9875n89 23s 6 119 X 解 33 2 2 Z 43 6 75 89 23 33 2 2 n s Z 置信下限 X17 11343 6 6 119 2 n s Z 置信上限 X03 12643 6 6 119 2 n s Z 置信区间为 03 12617 113 3 419 s 0 974 n 32 置信水平为 90 x 根据 t 0 1 查 t 分布表可得 645 1 31 05 0 Z283 0 2 n s Z 所以该总体的置信区间为 3 4190 283x 2 n s 即 3 4190 283 3 136 3 702 所以该总体的置信区间为 3 136 3 702 7 6 利用下面的信息 构建总体均值的置信区间 1 总体服从正态分布 且已知 置信水平为500 15 n8900 x 95 2 总体不服从正态分布 且已知 置信水平为500 35 n8900 x 95 4 12 3 总体不服从正态分布 未知 置信水平为 35 n8900 x500 s 90 4 总体不服从正态分布 未知 置信水平为 35 n8900 x500 s 99 1 解 已知 1 500 15 n8900 x95 96 1 2 z 9153 8647 15 500 96 1 8900 2 n zx 所以总体均值的置信区间为 8647 9153 2 解 已知 35 n 1 500 8900 x95 96 1 2 z 9066 8734 35 500 96 1 8900 2 n zx 所以总体均值的置信区间为 8734 9066 3 解 已知 s 500 由于总体方差未知 但为大样本 35 n8900 x 可用样本方差来代替总体方差 置信水平 1 90 645 1 2 z 置信区间为 9039 8761 35 500 645 1 81 2 n s zx 所以总体均值的置信区间为 8761 9039 4 解 已知 由于总体方差未知 但为大样35 n8900 x500 s 本 可用样本方差来代替总体方差 置信水平 1 99 58 2 2 z 置信区间为 9118 8682 35 500 58 2 8900 2 n s zx 所以总体均值的置信区间为 8682 9118 7 7 某大学为了解学生每天上网的时间 在全校 7500 名学生中采取不重复抽样方法随机抽 取 36 人 调查他们每天上网的时间 得到的数据见 Book7 7 单位 h 求该校大 学生平均上网时间的置信区间 置信水平分别为 90 95 和 99 解 已知 n 363167 3 x6093 1 s 1 当置信水平为 90 时 645 1 2 z 5 12 4532 0 3167 3 36 6093 1 645 1 3167 3 2 n s zx 所以置信区间为 2 88 3 76 2 当置信水平为 95 时 96 1 2 z 所以置信区间为 2 80 3 84 3 当置信水平为 99 时 58 2 2 z 7305 0 3167 3 36 6093 1 58 2 3167 3 2 n s zx 所以置信区间为 2 63 4 01 7 8 从一个正态总体中随机抽取样本量为 8 的样本 各样本值见 Book7 8 求总体均值 95 的 置信区间 已知 总体服从正态分布 但未知 n 8 为小样本 05 0 365 2 18 2 05 0 t 根据样本数据计算得 46 3 10 sx 总体均值 的 95 的置信区间为 即89 2 10 8 46 3 365 2 10 2 n s tx 7 11 12 89 7 9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离 抽取了由 16 个人组成的一个随机样 本 他们到单位的距离 单位 km 数据见 Book7 9 求职工上班从家里到单位平均 距离 95 的置信区间 已知 总体服从正态分布 但未知 n 16 为小样本 0 05 131 2 116 2 05 0 t 根据样本数据计算可得 s 4 113375 9 x 从家里到单位平均距离得 95 的置信区间为 191 2 375 9 14 113 4 131 2375 9 2 n s tx 即 7 18 11 57 7 10 从一批零件中随机抽取 36 个 测得其平均长度为 149 5cm 标准差为 1 93cm 1 试确定该种零件平均长度 95 的置信区间 2 在上面的估计中 你使用了统计中的哪一个重要定理 请简要解释这一定理 解 已知n 36 149 5 置信水平为 1 95 查标准正态分布表得 103 x 5445 0 3167 3 36 6093 1 96 1 3167 3 2 n s zx 6 12 1 96 2 根据公式得 149 51 96x 2 n 36 103 即 149 51 96 148 9 150 1 36 103 答 该零件平均长度 95 的置信区间为 148 9 150 1 3 在上面的估计中 你使用了统计中的哪一个重要定理 请简要解释这一定理 答 中心极限定理论证 如果总体变量存在有限的平均数和方差 那么 不论这 个总体的分布如何 随着样本容量的增加 样本均值的分布便趋近正态分布 在现实生活 中 一个随机变量服从正态分布未必很多 但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是 普遍存在的 样本均值也是一种随机变量和的分布 因此在样本容量充分大的条件下 样 本均值也趋近正态分布 这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础 7 11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装 每袋标准重量为 100g 现从某天生产 的一批产品中按重复抽样随机抽取 50 包进行检查 测得每包重量 单位 g 见 Book7 11 已知食品重量服从正态分布 要求 1 确定该种食品平均重量的 95 的置信区间 2 如果规定食品重量低于 100g 属于不合格 确定该批食品合格率的 95 的置信 区间 1 已知 总体服从正态分布 但未知 n 50 为大样本 0 05 1 96 2 05 0 根据样本计算可知 101 32 s 1 63 该种食品平均重量的 95 的置信区间为 45 0 32 10150 63 1 96 132 101 2 ns 即 100 87 101 77 2 由样本数据可知 样本合格率 该批食品合格率的 95 的置信区9 050 45 p 间为 0 9 0 90 08 即 0 82 0 98 2 p n pp 1 50 9 01 9 0 96 1 答 该批食品合格率的 95 的置信区间为 0 82 0 98 7 12 假设总体服从正态分布 利用 Book7 12 的数据构建总体均值的 99 的置信区间 根据样本数据计算的样本均值和标准差如下 16 13 0 8706 E Z 2 58 0 45x 2 n 5 8706 0 置信区间为E 所以置信区间为 15 68 16 58 x 7 12 7 13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间 为此随机抽取了 18 名员工 得到他们每周加班的时间数据见 Book7 13 单位 h 假定员工每周 加班的时间服从正态分布 估计网络公司员工平均每周加班时间的 90 的置信区间 解 已知 13 56 7 80 n 18x 1 0 E 2 n 置信区间 x 2 n x 2 n 所以置信区间 13 56 1 645 7 80 13 56 1 645 7 80 1818 10 36 16 76 7 14 利用下面的样本数据构建总体比例的置信区间 1 置信水平为 99 44 n51 0 p 2 置信水平为 95 300 n82 0 p 3 置信水平为 90 1150 n48 0 p 1 置信水平为 99 44 n51 0 p 解 由题意 已知 n 44 置信水平 a 99 Z 2 58 2 a 又检验统计量为 PZ 故代入数值计算得 n pp 1 PZ 0 316 0 704 总体比例的置信区间为 0 316 0 704 n pp 1 2 置信水平为 95 300 n82 0 p 解 由题意 已知 n 300 置信水平 a 95 Z 1 96 2 a 又检验统计量为 PZ 故代入数值计算得 n pp 1 PZ 0 777 0 863 总体比例的置信区间为 0 777 0 863 n pp 1 3 置信水平为 90 1150 n48 0 p 解 由题意 已知 n 1150 置信水平 a 90 Z 1 645 2 a 8 12 又检验统计量为 PZ 故代入数值计算得 n pp 1 PZ 0 456 0 504 总体比例的置信区间为 0 456 0 504 n pp 1 7 15 在一项家电市场调查中 随机抽取了 200 个居民户 调查他们是否拥有某一品牌的电 视机 其中拥有该品牌电视机的家庭占 23 求总体比例的置信区间 置信水平分别 为 90 和 95 解 由题意可知 n 200 p 0 23 1 当置信水平为 1 90 时 Z 1 645 2 所以 0 230 04895 n pp zp 1 2 200 23 0 1 23 0 645 1 23 0 即 0 230 04895 0 1811 0 2789 2 当置信水平为 1 95 时 Z 1 96 2 所以 0 230 05832 n pp zp 1 2 200 23 0 1 23 0 96 1 23 0 即 0 230 05832 0 1717 0 28835 答 在居民户中拥有该品牌电视机的家庭在置信水平为 90 的置信区间为 18 11 27 89 在置信水平为 95 的置信区间为 17 17 28 835 7 16 一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额 他假设所有顾客月存 款额的标准差为 1000 元 要求估计误差在 200 元以内 应选取多大的样本 解 已知 E 1000 1000 991 58 2 2 z 由公式可知 n 2 58 2 58 1000 1000 200 200 167 2 2 2 2 E z n 答 置信水平为 99 应取 167 个样本 7 17 要估计总体比例 计算下列个体所需的样本容量 1 置信水平为 96 02 0 E40 0 2 未知 置信水平为 95 04 0 E 3 置信水平为 90 05 0 E55 0 1 解 已知 2 0502 0 E 40 0 2 由得 2 2 2 1 n 2522 22 02 0 4 01 40 0 05 2 n 答 个体所需的样本容量为 2522 2 解 已知 1 9604 0 E 2 9 12 由得 2 2 2 1 n 601 222 04 0 5 096 1 n 答 个体所需的样本容量为 601 3 解 已知 1 64505 0 55 0 2 由得 2 2 2 1 n 268 22 05 0 45 0 55 0 645 1 n 答 个体所需的样本容量为 268 7 18 某居民小区共有居民 500 户 小区管理者准备采取一向新的供水设施 想了解居民是 否赞成 采取重复抽样方法随机抽取了 50 户 其中有 32 户赞成 18 户反对 1 求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间 置信水平为 95 2 如果小区管理者预计赞成的比例能达到 80 应抽取多少户进行调查 1 已知 n 50 96 1 2 Z 根据抽样结果计算的样本比例为 P 32 50 60 根据 7 8 式得 50 641 64 1 96 1 64 n PP P 即 63 76 37 51 63 12 64 答 置信区间为 51 37 76 63 2 已知 80 10 96 1 2 Z 则有 62 1 0 8 01 8 0 96 1 1 2 2 2 2 2 Z n 答 应抽取 62 户进行调查 7 19 根据下面的样本结果 计算总体标准差的 90 的置信区间 1 21 x2 s50 n 2 3 1 x02 0 s15 n 3 167 x31 s22 n 解 已知 901 95 0 2 1 05 0 2 10 1 查表知 67 1 2 2 n 34 1 2 2 1 n 由公式 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 snsn 10 12 得 解得 1 72 2 40 34 2 150 67 2 150 22 2 查表知 6848 23 1 2 2 n 57063 6 1 2 2 1 n 由公式 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 snsn 得 解得 0 015 0 029 57063 6 02 0 115 6848 23 02 0 115 22 3 查表知 6705 32 1 2 2 n 5913 11 1 2 2 1 n 由公式 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 snsn 得 解得 24 85 41 73 5913 11 31 122 6705 32 31 122 22 7 20 顾客到银行办理业务时往往需要等待一些时间 而等待时间的长短与许多因素有关 比如 银行的业务员办理业务的速度 顾客等待排队的方式等等 为此 某银行准备 采取两种排队方式进行试验 第一种排队方式是所有顾客都进入一个等待队列 第二 种排队方式是 顾客在三个业务窗口处列队三排等待 为比较哪种排队方式使顾客等 待的时间更短 银行各随机抽取了 10 名顾客 他们在办理业务时所等待的时间 单位 min 见 Book7 20 1 构建第一种排队方式等待时间标准差的 95 的置信区间 2 构建第二种排队方式等待时间标准差的 95 的置信区间 3 根据 1 和 2 的结果 你认为哪种排队方式更好 7 21 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本 它们的均值和标准差如下表 来自总体 1 的样本来自总体 2 的样本 14 1 n7 2 n 2 53 1 x 4 43 2 x 8 96 2 1 s 0 102 2 2 s 1 求的 90 的置信区间 21 2 求的 95 的置信区间 21 3 求的 99 的置信区间 21 11 12 7 22 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本 它们的均值和标准差如下表 来自总体 1 的样本来自总体 2 的样本 25 1 x23 2 x 16 2 1 s20 2 2 s 1 设 求95 的置信区间 100 21 nn 21 2 设 求的 95 的置信区间 10 21 nn 2 2 2 1 21 3 设 求的 95 的置信区间 10 21 nn 2 2 2 1 21 4 设 求的 95 的置信区间 20 10 21 nn 2 2 2 1 21 5 设 求的 95 的置信区间 20 10 21 nn 2 2 2 1 21 7 23 Book7 23 是由 4 对观察值组成的随机样本 1 计算 A 与 B 各对观察值之差 再利用得出的差值计算和 d d s 2 设和分别为总体 A 和总体 B 的均值 构造的 95 的置信 1 2 21 d 区间 7 24 一家人才测评机构对随机