3.4.2基本不等式的应用

基本不等式及其应用 1 知识梳理 1 基本不等式的定理表达式为 a 0 b 0 当且仅当a b时取等号 2 2 应用基本不等式求最值时应注意的问题是一正 二定 三相等 3 与基本不等式相关的重要不等式 1 a2 b2 2ab a b R 2 2 ab 0 3 a b R 2 2 2 2 4 基本不等式 a 0 b 0 的几个等价变形 2 1 ab 当且仅当a b时取等号 2 2 2 a b 2 当且仅当a b时取等号 3 四大不等式关系 不等式推广 基础回顾 1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数 y x 的最小值是 2 2 函数 f x cos x x 0 的最小值等于 4 1 x 4 cos x 2 3 x 0 且 y 0 是 2 的充要条件 4 若 a 0 则 a3 的最小值为 2 x y y x 1 a2a 5 不等式 a2 b2 2ab 与 有相同的成立条件 a b 2ab 6 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 2 必修 5P105 习题 10 改编 函数y x x 1 的值域为 1 1 3 必修 5P105 习题 9 改编 函数y 2 x x 0 的最大值为 4 基本不等式及其应用 2 4 必修 5P106 习题 16 改编 已知正数x y满足x 2y 1 那么 的最小值为 1 1 典例精析例 1 1 已知 0 x 1 则 x 4 3x 取得最大值时 x 的值为 2 已知 x1 的最小值为 5 4 1 4x 5 x2 2 x 1 4 已知函数f x 4x x 0 a 0 在x 3 时取得最小值 那么a 变式 1 求函数y 的值域 2 函数 y 1 2x x0 y 0 且 2x 8y xy 0 那么xy的最小值为 x y的最小值为 2 2015 苏州期末 已知a b为正实数 且a b 2 那么 的最小值为 2 2 2 1 变式 1 已知正实数x y满足xy 2x y 4 那么x y的最小值为 2 2016 南菁中学 设x y z均为大于 1 的实数 且z为x和y的等比中项 则 的最小值 4 为 3 当点 x y 在直线 x 3y 2 0 上移动时 函数 z 3x 27y 3 的最小值是 4 若正数 x y 满足 x 3y 5xy 则 3x 4y 的最小值是 5 设 x y 0 且 x y 4 若不等式 m 恒成立 则实数 m 的最大值为 1 x 4 y 3 已知 a 0 b 0 a b 1 则 的最小值为 1 a 1 b 变题 条件不变 求 1 1 的最小值 1 a 1 b 变题 已知 a 0 b 0 4 求 a b 的最小值 1 a 1 b 基本不等式及其应用 3 变题 将条件改为 a 2b 3 求 的最小值 1 a 1 b 变题设 x y是正实数 且1xy 则 22 21 xy xy 的最小值是 变题 求函数的最小值 2 1 0 21 92 x xx xf 变题 已知求证 cba cacbba 411 例 3 1 已知对一切实数x 不等式x2 a x 1 0 恒成立 求实数a的取值范围 变题 1 设k 0 若关于x的不等式kx 5 在 1 上恒成立 则k的最小值为 4 1 2 已知xln x a 1 x 1 0 对任意的x 恒成立 那么实数a的取值范围为 1 2 2 2 若不等式 x 2 a x y 对任意的实数 x y 0 恒成立 则实数 a 的最小值为 xy 变题 已知函数 f x a R 若对于任意的 x N f x 3 恒成立 则 a 的取值范围是 x2 ax 11 x 1 3 不等式 a2 3b2 b a b 对任意 a b R 恒成立 则实数 的最大值为 课堂练习 1 若x 3 则x 的最小值为 2 3 2 2015 苏州 二模 已知常数a 0 函数f x x x 1 的最小值为 3 那么a的值为 1 3 2016 郑州质检 已知正数x y满足x2 2xy 3 0 那么 2x y的最小值为 4 2015 湖南卷 若实数a b满足 则ab的最小值为 1 2 5 2017 苏州一模 已知正数x y满足x y 1 那么 的最小值为 4 2 1 1 6 设 a b 2 b 0 则 取最小值时 a 的值为 1 2 a a b 基本不等式及其应用 4 7 已知 a 0 b 0 若不等式 恒成立 则 m 的最大值为 3 a 1 b m a 3b 8 2016 吉林九校第二次联考 若正数 a b 满足 1 则 的最小值是 答案 6 1 a 1 b 1 a 1 9 b 1 9 2016 南京一模 已知 x y R 且满足 x2 2xy 4y2 6 则 z x2 4y2的取值范围为 答案 4 12 10 已知正实数 a b 满足 则的最大值是 凤凰台 22 91ab 3 ab ab 11 设 a 0 b 0 a b 5 则的最大值为 13ab 12 已知正数满足 则的取值范围是 x y 11 410 xy xy 11 xy 13 设正实数x y z满足 22 340 xxyyz 则当 xy z 取得最大值时 212 xyz 的最大值为 14 已知 x y 为正实数 则 的最大值为 4x 4x y y x y 15 已知x y R 满足 2 y 4 x x 1 则的最大值为 22 222 1 xyxy xyxy 16 2016 南通模拟 设实数 x y 满足 y2 1 则 3x2 2xy 的最小值是 答案 6 4 x2 42 17已知正数满足 则的最小值为 yx 1 11 yx1 9 1 4 y y x x 18 已知则的最小值是 1 1 1 2 1 0 0 bba ba ba 19 的最大值恒成立 求实数若设kxkxxx 34 2 8 4 3 0 20 的最大值恒成立 求实数 不等式当a xaxa ax1 2 11 0 22 21 2016 江苏 在锐角三角形 ABC 中 若 sin A 2sin Bsin C 则 tan Atan Btan C 的最小值是 答案 8 基本不等式及其应用 5 22 已知三角形的三边长成等差数列 且 则实数的范围是 a b c18abbcac b 23 已知函数 f x x a a 为非零