【毕业学位论文】（Word原稿）七年级学生早期代数思想的发展研究-学科教学•数学

分类号： 单位代码： 10636 密 级： 公开 学 号： 201008420104003 专业学位硕士论文 中文论文题目 ： 七年级 学生 早期代数思想的 发展研究 英文论文题目： on 文作者 ： 阳 彦 兰 指导教师 ： 张 红 专业名称 ： 学科教学 (数学 ) 研究方向： 中学数学教育 所在学院： 数学与软件科学学院 论文提交 日期 ： 2013 年 3月 20 日 论文答辩日期 ： 年 月 日 四川师范大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交学位论文 七年 级 学生 早期代数思想的发展研究 ，是本人在导师 张红 教授 指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律结果由本人 承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 学位论文作者： 签字日期： 年 月 日 四川师范大学学位论文版权使用授权书 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有学位论文的部分使用权，即： 1）已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供检索； 2）为教学、科研和 学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 本人授权万方数据电子出版社将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。同意按相关规定享受相关权益。 （保密的学位论文在解密后适用本授权书） 学位论文作者签名： 导师签名： 签字日期： 年 月 日 签字日期： 年 月 日 四川师范大学硕士学位论文 七年级 学生 早期代数思想的发展研究 专业 学科教学（数学） 研究生 阳彦兰 指导教师 张红 摘要 在中学 数学课程中，代数 处于核心的地位。它有助于学生理解现实世界中的数量关系和变化规律；有助于学生形成运用数量关系进行思考的思维方式；有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展。 代数也是中学课程中最令人害怕的分 支 之一。因此，本文着眼于关注 七年级学生从算术跨越到代数中的困难 和代数思维形成的标志，以 研究 七年级 学生早期代数思想的形成与发展。 本文选择 了成都市某中学七年级 学生作为主 要研究对象， 采用文献研究 法和问卷测试 法 展开研究。 实践和对教师的访谈，设计了调查问卷，发现学生在“字母表示数”，“等号理解”和“一元一次方程”这些代数内容的学习中存在较大困难。 数学概念二重性理论、 号意识理论及图式理论， 阐述 了学生从算术跨越到代数过程中 问题 存在的原因。 成过程 为： 从常量跨越到变量的 “ 符号化 ” 过程，从特殊跨越到一般的“形式化”过程，从程序跨越到结构的“结构化”过程，从单一性跨越到双重性的“操作化”过程。 因此，本文 结合这四个过程和调查测试卷分析结果总结出学生在代数学习初期主要困难，并 针对这些困难提出了有关代数教学的建议。 关键词： 算术 代数思想 符号意识 结构意识 四川师范大学硕士学位论文 on As we an in of It to in it to of of of is of of In to of of th I on in of of in Ive th in a as of my in my 1. I to my of to “of in of 2. In of I of of to of 3. of to to to of to I in of of of in I 目 次 摘要 . . 引论 . 1 究背景 . 1 题提出 . 2 数对学生入门学习的地位及重要性 . 2 中学生身心发展特点与数学学习的关系 . 3 数对中学课堂教学的现状 . 4 究的必要性 . 4 2 研究方法及文献综述 . 6 究问题 . 6 究方法 . 7 究对象 . 7 究方法 . 7 试卷的有效性讨论 . 8 试卷的信度 . 8 试卷的效度 . 9 术思维与代数思维的文献综述 . 9 术思维 的基本特征 . 9 数思维的基本特征 . 10 术思维与代数思维的区别 . 12 3 理论背景及调查实验分析 . 14 论背景 . 14 学概念中过程与对象的二重性理论 . 14 论 . 15 号意识的形成与影响 . 16 式理论 . 17 数思维的形成过程 . 18 越 从常量到变量的“符号化”过程 . 18 越 从特殊到一般的“形式化”过程 . 19 越 从程序到结构的“结构化”过程 . 20 越 从单一性到双重性的“操作化”过程 . 20 一学生从算术到代数过渡现状的实验分析 . 21 母 表示数的实验测试及数据分析 . 21 号理解的实验测试及数据分析 . 28 元一次方程的实验测试及数据分析 . 30 4 结语 . 34 究的主要结论与教学建议 . 34 生代数学习的主要困难 . 34 关代数教学 的几点建议 . 35 四川师范大学硕士学位论文 究的不足 . 36 参考文献 . 37 附录 . 40 调查研究测试卷 . 40 调查研究测试卷 . 41 调查研究测试卷 . 42 调查研究测试卷 . 43 调查研究测试卷 . 44 调查研究测试卷 . 45 调查研究测试卷 . 46 调查研究测试卷 . 47 致谢 . 49 四川师范大学硕士学位论文 第一章 引论 1 1 引论 研究背景 从蛮 荒 时代的结绳计数到现 代通讯和信息时代神奇的数学，人类任何时候都受到数学的恩惠和影响。 数学科学是人类长期以来研究数、量的关系及其结构 和空间形式而 逐渐形成的宏伟的科学体系。在美妙的数学世界 里 ，我们将一起走进它的 世界，它拥 有不 断 扩充的数系、奇妙 的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数概念、图形及数据。数学 开阔我们的视野，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的愚昧和无知。 加里宁曾 说过： “ 数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷； 数 学能 使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，我 们才有可能爬上科学的大山”。 万丈高楼平地起 ，对于学生而言数学高楼的建构也是如此。高楼 是由一砖一瓦通过严谨 地 、系统地施工加以筑成，而数学的高楼也是如此。 而进入 数学 的世界 、建构数学 大楼的 过程中，我们 的学生 会遇到诸多的困难。这让我们不得不去关注它得来的过程，帮助学生 跨越 过程中的 一道道鸿沟。 其 中从算术思维过渡到代数思维是学生学习数学 的关键转折阶段， 正 是代数思维的起点。 “算术” 从文字上 可以理解 为 “计算的方法，而“代数”（ 以理解为“以符号替代数”，即“数学符号化”。 要从符号学的 角度 去思考算术 真正意义下的发展 ，需 要从数学符号的产生与出现 说起 ， 也就是 代数 的形成 。 著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言”。 梁宗巨先生说过： “一套准确、精炼的代数符号系统不仅仅可以速记，起节省时间的作用。它还能够精确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系。”更具体地说，代数符号产生于数学概念、演算、公式、命题、推理和逻辑关系等整个数学过程中，为数学思维过程更加准确、概括、简洁、直观和易于揭示数学对象的本质而形成的特殊的数学语言 1。 但形成这样一个代数符号系统并非一日之功，它需要古往今来的数学家们长久的努力。 我们一般认为代数与符号思维的形成与发展一般经历了 如下 的过程。 以色列著名数学教育家斯法德 从历史和心理学角度详细阐述了代数的形成和发展 ， 她认为 代数的发展是从一个可操作、可想象的想法开始，然后把该想法具体化为一个对象 2。 她说：“一个学习者在不同知识形成阶段所经历的困难与那一代数学家曾经面临的挑战很相近” 。 李士锜也曾指出，让我们去 认识 代数的 发展形成过程为学生学习代数打开启发之门，因为学生的认知发展与人类对代数的认识四川师范大学硕士学位论文 第一章 引论 2 过程有许多类似的地方 3。 同时，李士锜引用了内舍尔对代数学发展阶段的 论述阐述 到代数学的发展经历了三个阶段。 （ 1）词语阶段，也就是修辞代数阶段（ 大约在公元三世纪以前，人们从具体的量 中抽象出了数，完成了人类认识上的第一次飞跃。那时候人们还没有运用符号来表示量和未知量，而是用口头词语和自然语言来表达问题情境和解决特定的问题。 （ 2）简略阶段，也就是半符号代数阶段（ 大约在 公元 三 世纪 后 ， 表示已知数和未知数的符号开始萌芽。 在希腊数学家丢番图（ 约 246）在算术著作中，首次用符号 （ 表示未知数之后 4。数学家们开始用相应词语的缩写字母表示未知数 。 此外，他还创造了 未知数幂 等的符号。 但这一阶段的数 学家们使用字母表示量，这里的量是特殊的量而非一般。例如在公元七世纪时，印度有一位德高望重的数学和天文学家婆罗摩笈多，被称 为印度数学的祖师爷。他创造了一套用颜色的名称来表示未知数的符号，但 他只关注对应颜色表示未知数是什么而非未知量之间的一般关系。 所以这个阶段的 代数符号系统并没有突破性的发展。 （ 3）符号阶段，也就是符号代数阶段（ 到十六 世纪，法国数学家韦达（ 540）在许多数学家的经验的积累的基础上，有意识地 、系统地创设了符号代数体 系。 1591年，在他的著作美妙的代数中，他引入了字母表示未知数，用字母符号表示未知量的值进行计算，表示出了方程一般解， 因此把算术和代数加以了区别。我们也可以从他的成名作分析入门一书中发现，他是把代数看作一门完全符号化的科学。 代数在此时变成了一种有力的工具，能够演示出量与量关系中最普遍的法则和本质特征 1。 经历了三千多个春秋，人类才告别了用文字或用缩写字母表示符号代数的历史，找到了一个较为稳妥的立足点，形成一个准确而系统的符号代数体系。其中包括用字母表数、用字母表示方程、解方程的 优秀 符号与方法，实 质性地拥有了一把打开未知世界大门的金钥匙。 问题提出 数对 学生 入门 学习 的地位及重要性 为了建立现代化的课程教育体系， 2001 年七月，中国 数学课程标准研制小组向 广大社会各界人土 广泛征求意 见 ，公布了全日制义务教育数学课程标准（实验稿）（以下简称中国标准） 5。以此新一轮基础教育课程改革也就展开了序四川师范大学硕士学位论文 第一章 引论 3 幕。标准共设置了如下四个部分：数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合运用。其中“数与代数”涵括了代数式、方程、不等式及函数 三个部分 6。 在所有国家的中小学数学课程中，代数均外于核心的地位 7。 义务教育阶段，代数 是教学的关键点，其 占 有 很重要的地位，有着很重要的教育 意义和价值 。它有助于学生理解现实世界中的数量关系和变化规律；有助于学生形成运用数量关系进行思考的思维方式；有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展 8。 在这一学习阶段 要 实现 从 代数的 常量 教 学 到代数的 函数 教学过渡的基本目标，实现途径为代数式 方程与不等式 函数 9。学 生通过学习“数与代数”这一领域的知识后， 不仅 要拥有 扎实基础知识和技能 ，还需要去了解数学 知识 的来源及价值。 在学习过程中 学生 充分体验数学， 尝试从 生活中提炼出 数学的模型，加强现实世界与抽象代数的 实质联系；教育者培养学生的数感和符号感，提高 学生提出问题、分析问题解决问题的能力。 美国全美数学教师理事会（ 总结以前的经验的基础上，提出了面向21 世纪的课程标准学校数学的原则和标准。在 学校数学的 原则标准中，美国教育学界对代数版块的内容更是尤其重视， 认为每一个中学生都有平等的机会来学习代数的思维和方法，并且 6当关键，且在 8 年级结束时应该为今后的数学学习打下扎实的代数基础 5。美国数学教育者及课程决策者也主张“代数已 经成为通向高等教育和机会的大门，成功参与民主社会和科技市场离不开代数思维 10。”由此可见，代数学习对于美国数学基础教育的重要性。 中学生身心发展特点与数学学习的关系 其一， 皮亚杰按照认知结构的特征把整个认知发展分成了四个阶段，其中初中学生（ 11、 12 岁）正处于具体运算阶段（ 7）向形式运算阶段（ 11 岁至成年）过渡的阶段 11。这时的学生 思维可能受限于从算术思维到代数思维转变模式。 其二，根据迁移理论，学生在小学时期学习的算术，即 数的运算、数的关系可能在代数入门学习时带来负迁移 ，也会影响学生完成 从算术到代数的成功跨越 。再者代数具有一般化、 形式化、 抽象化的特征，学生在学习时需要将原有认知经验应用于新情境中时，需调整原貌的经验或对新旧经验加以概括，形成一种能包容新旧经验的更高一级的认知结构，以适应外界的变化，即发生顺应性迁移。这对初中学生来说是极有难度的。 四川师范大学硕士学位论文 第一章 引论 4 数 对 中学课堂教学的现状 在上文描述中 得知，代数符号系统的形成并不是一蹴而就的，而是通 过 数千年、若干 数学家的艰辛工作才得以成形和发展至今。从历史发展角度，学生仅在短短几年时间里就要理解和学习经历了数千年发展的代数，形成一定的代数思维。可看出，这对他 们而言是 极 有难度的。 在众多的教学案例中，我们也不难发现即使是高年级的学生在学习抽象的代数学习时仍然显得力不从心。因为在之前的已有经验和原有知识是具象的，他们不习惯于这种 抽象、概括化的思维方式。如：七年级学生在学习绝对值运算时，绝大部分学生能够轻松自如地解决 实数 2， 0绝对值的问题， 22 ， 22和 00 的问题。 因为我们对 符号做了严格地定义，“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。”但当遇及一个字母 a 的绝对值时，我们的学生就会错误百出。此时的绝对值运算已经从具体数抽象成字母 符号 ，概念 得到深化 。 那 么 ?a 和 ?a。按上述定义，字母 a 的取值情况就应进行分类讨论方可得出结果。 a ，当 0a 时 a ，当 0a 时 0 ，当 0a 时 及 a 0 ，当 0a 时 a ，当 0a 时 a ，当 0a 时 也就是说有的学生在处理这样的问题时并没有理解绝对值的概念，还处于较低 算术 思维层次，并未形成达到教学目标所设定的代数思维层次。 那么 顺利完成从算术 过渡 代数 对今后的数学学习 过程 尤为重要 。 究的必要性 算术是以数 为 基本对象， 包括数的表示和意义、 计算及数之间的关系等 12。当然，这些知识是数学学习过程中是 基础的，也会为今后的学习打下坚实的基础。可代数课程不同的地方是 基本对象除了数外，还把符号作为其泛化的对象。例如字母表示数，代数式，方程和不等式，和函数，不仅要学会使用符号，学习符号的意义和符号运算，还需要理解其间的结构与关系。算术与代数 的 根本 区别 就在于此 13。 代数是中学数学教育中最令人害怕的分 支 之一。 一个教师 曾 承认，他 过去碰到的 数学 问题 得 到 顺利 解决 ， 都源于 初中代数 知识的应用 。 他发现在抽象的符号语言里 竟 是如此精彩 ， 但传统的 代数仅仅只在学生已经获得重要的算术知识 才得以 教授 。 我们不得不承认从算术过渡到代数是学生数学学习的重要的转折时期。问题是算术与代数究竟有什么样的联系呢；这个时期学生又会遇到什么样的困难；a四川师范大学硕士学位论文 第一章 引论 5 产生这些困难的原因；作为老师 又该为学生做些什么呢。无疑，逃避这些问题我们是没有半点好处的。这将是本课题提出的直接原由 。那么本研究意义为： 一方面，初中学生从算术向代数过程是典型的顺应性迁移，这在上文中粗略提到。涂荣豹 认为 ，“初一学生学习代数 ，就是顺应学习的过程。初一学生此前只学过算术，就不能单靠同化方式在原有的算术认知结构的基础上学习代数，而是首先要改造算术认知结 构 14。” 从算术到代数，学生原有图式结构不能适应当前学生的学习，需要将原有认知经验应用于新情境中时，需调整原貌的经验或对新旧经验加以概括，形成一种能包容新旧经验的更高一级的认知结构和新的图式。在此意义之下，也就从微观方对教育心理学的理论给出略微的补充。 另一方面， 对实践层面而言， 本课题全面分析了中学生跨越算术到代数这个鸿沟时面临的困境及成因分析， 引起了广大 教育工作者 的关注，也 提出 了 相对应教育教学的 指导性意见， 同时也为 学生提供了针对性较强的学习方法。 四川师范大学硕士学位论文 第二章 研究方法及文献综述 6 2 研究方法及 文献综述 究问题 通过大量文献 分析，对于 “ 什么是代数，代数思维怎样形成的，从算术到代数的认知发展过程会遇到什么样困难，如何加强学生代数语言系统的形成，影响代数问题解决的各种因素是什么以及如何把关系和函数问题作为代数学习的核心这些问题 ” ，国内的学者们都有较为深入的研究。这些研究中的结论也给予我们代数教学以启示。 近年来，甚至是小学课程中已有代数内容出现的。显然小学生与中学生的思维层次 是不可相提并论的。那么从算术过渡到代数思维究竟会遇到什么样特殊的困难呢？作为教育工作者，在学生代数入门阶段，可从哪些方面入手，采取怎样的教学手段来跨越从算术到代数，以帮助学生形成顺利形成代数思维呢？ 通过对教材的分析，成都市初中选用的是北师大版教材，其中代数内容为：第三章字母表示数，包括“字母能表示什么，代数式，代数式求值，合并同类项，去括号，探索规律”；第五章一元一次方程，包括“你今年几岁了，解方程，日历中的方程，我变胖了，打折销售，希望工程义演，能追上小明吗，教育储蓄”。因此我们把字母表示数、等号与 列一元一次方程作为研究载体，体现出笔者在代数表征、关系理解和问题解决三个维度上的思考。也就可从以下三个问题入手进行研究： （ 1）初一学生对于字母的理解认知层次是如何，最终是否形成了符号意识？ （ 2）初一学生对于等号这样的关系符号的理解是怎样的，是否跨越从程序到结构的过程？ （ 3）初一学生对于问题解决策略的选择是怎样的，是否会抛弃算术方法而选择诸如方程这样的代数方法，最后形成代数思维？ 此外，我们还应考虑到是否重点班与普通班学生之间的是否存在显著差异性，男生与女生是否也存在显著差异性的问题。基于上述三个问题， 笔者以数学概念二重性理论、 论、符 号意识理论及图式理论为基础来阐述学生从算术跨越到代数过程中困难的原因 以及进行 了 实验分析。 四川师范大学硕士学位论文 第二章 研究方法及文献综述 7 研究方法 究对象 本研究选择了成都市某国家重点中学七年级 四 个班级即 2013 级 2班、 3班、6班、 7班。全年级共十个班次，其中偶数班为普通班，奇数班为重点班。在研究中为方便起见依次称甲班、乙班、丙班、丁班，其中甲班 47人，乙班 55人、丙班 45人，丁班 52 人，共 199人。其中发放测试卷 199份，收回有效卷 194份。被试学生男女生组成 统计 如 表 表 试学生组成 统计 表 甲 乙 丙 丁 总计 有效总计 男生 22 28 22 29 101 99 女生 25 27 23 23 98 95 总计 47 55 45 52 199 有效总计 46 54 44 50 194 无效卷组成 统计 如 表 表 效卷组成 统计表 甲 乙 丙 丁 总计 男生 0 1 0 1 2 女生 1 0 1 1 3 总计 1 1 1 2 5 究方法 本研究主要采用质的研究和量的研究相结合的方法进行。研究中采用自制式问卷和量表、个别访谈等方式，以全面了解学生思维过 程，得到更加全面的信息和准确的研究数据。 表 表 究测试流程表 时间 编号 事项 内容 2012 年 9 月上旬 期测试 了解学生学习基础及情况 2012 年 10 月上旬 母表示数前测 掌握学生学习这部分内容之前的情况 2012 年 10 月下旬 母表示数 与前测相比较，得出学生学习这部分内容的部题及困难之处 四川师范大学硕士学位论文 第二章 研究方法及文献综述 8 后测 2012 年 11 月上旬 号理解前测 掌握学生学习这部分内容之前的情况 2012 年 11 月下旬 号理解后测 与前测相比较，得出学生学习这 部分内容的部题及困难之处 2012 年 12 月上旬 元一次方程前侧 掌握学生学习这部分内容之前的情况 2012 年 12 月下旬 元一次方程后侧 与前测相比较，得出学生学习这部分内容的部题及困难之处 2013 年 1 月中旬 终测试 掌握学生学习经过初一上册代数学习后对代数的认识与理解 每一场测试均是采取闭卷形式，时间为 30分钟，由学生独立完成，并要求学生尽量写出解题思路及过程。下作符号说明，本文中规定【 示初期测试，如上表所示，以此类推。 试卷 的有效性讨论 试卷 的信度 信 度是测试一致性程度的指标，测试调查时 , 误差在所难免 , 使得真实值和测量值之间不可能完全一致 , 误差的大小影响信度的高低 15。信度是反映测验结果受到随机误差影响程度的指标 , 是评价测验质量的最基本的指标之一 16。本测试采用克伦巴赫提出的 系数公式计算信度 , 系数是目前最适用于测验结果以多值计分的情形。 下面是 系数公式： i 222)( 其中， f =频数 ， X =分数 ， N =测试的人数 ； 那么， )(1 2 22 n i 其中， n 测试题目的数量 ， 2试分数的方差 ， 2道题方差之和 17。 笔者 根据 公式计算 出本研究 测试卷的 系数， 结 果 如表 四川师范大学硕士学位论文 第二章 研究方法及文献综述 9 表 究测试卷 系数表 测试卷 1 1 1 1 系数值 中 系数的均值等于 当 系数大于或等于 试可靠性和稳定性强。 从上表可看出所有测试卷 系数 都大于 明信度高，测试可靠。 试卷的效度 效度是对测验有效性的刻画 ,即一个测验能够测出其所要测量的特性或功能的程度 18。 作者采取两种方法检测测试的效度： （ 1）内容效度 测验项目在多大程度上测试了特定的目标并反映了任务的范围或领域 17。意思就是说，如果测试题目要求的行为和知识与教育目标要求的行为和知识一致，那么就认为是有内容效度的。相反，如果测试里包含了与教育目标无关的题目就没有内容效度。 从测试卷可看出，其内容都符合初一代数课程标准 ，而且课程标准里的内容 在试卷中都有体现，所以具有内容效度。 （ 2）构想效度 在早期的标准版本中列出了构想效度的定义，即测试分数在多大程度上测量或解释了某种理论 17。 甲 、 乙 、 丙 、 丁四个班级 的学生认知水平不同，而且选择的班级有层次高低。因此按照构想 应该具有层次 ， 重点班成绩高于普通班成绩。 测试结果和构想相符，说明构想效度高，测试有效。 术思维与代数思维 的文献综述 算术是由程序思维来刻画，即算术思维的核心是获取一个（正确）答案，以及确 定获取这个答案与验证这个答案是否正确的方法；而代数思维则是由关系 或结构来描述的，它的目的是发现 （一般化的）关系或结构，并把他们联系起来 19。 术思维的 基本 特征 算术是研究数的表示、意义、数的运算及数之间的关系的 数学分支之一。 算术思维有如下特征： （ 1）通过已知量的运算来求出未知的量，此过程多是程序的、计算性 的 ； （ 2）通过一系列、连续的运算得出答案，并产生大量中间量，这些中间量有明确的含义； （ 3）中间过程的未知量是暂时的，它产是一种思考的记录，是联系题目与答四川师范大学硕士学位论文 第二章 研究方法及文献综述 10 案的桥梁； （ 4）运算过程中产生的表达式被看作是用计算的公式， 或是对数的产生的一种描述； （ 5）解决实际问题的过程 中 是具有特殊性的、含情 境的。 数思维的基本特征 通过阅读 和学习 文献资料，作者总结出 代数思维主要有如下基本特征。 代数思维是 一种 形式的符号操作 5 从形式外表来 看，代数思维 即是 一种形式的符号操作， 包涵三个层次 ： 一 “ 表征 ” ， 是 用符号或者符号组成的代数式、方程、不等式去