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文档简介

超级名师工作室平面及其基本性质(一)平面定义:平面是平的,没有厚度的,在空间无限延伸的图形.数学中的平面的概念是现实中平面形象抽象的结果.比如平静的湖面、桌面等.平面的表示方法:(1)用大写的英文字母表示:平面M,平面N等;(2)用小写的希腊字母表示:平面,平面等;(3)用平面上的三个(或三个以上)点的字母表示:(如图14-1)平面ABCD等.图14-1平面的直观图画法: 正视图 垂直放置的平面M 水平放置的平面M 图14-2相交平面画法注意:看得见的线用实线,看不见的线用虚线.(二)空间点、线、面的位置关系的集合语言表示法在空间,我们把点看作元素,直线和平面看作是由元素点所组成的集合,建立了如下点、线、面的集合语言表示法.点与线:点A在直线L上:(直线L经过点A);点Q不在直线L上:点与平面:点A在平面内:(平面经过点A);点B不在平面内:;直线与平面:直线L在平面上:直线L上所有的点都在平面上,即直线L在平面上,或平面经过直线L,记作.直线L在平面外:Al当直线L与平面只有一个公共点A时,称直线L与平面相交于点A,记作;当直线L与平面没有公共点时,称直线L与平面平行,记作或.直线与直线:A直线a与直线b相交于点A,记作.平面与平面:当平面上所有的点都在平面上时,称平面与平面重合;当不同的两个平面与有公共点时,将它们的公共点的集合记为L,称平面与平面相交于L,记作.当两个平面与没有公共点时,称平面与平面平行,记作或.(三)例题解析例1观察下面图形,说明它们的摆放位置不同例2 正方体的各顶点如图所示,正方体的三个面所在平面,分别记作,试用适当的符号填空. 解: 说明能够熟练运用集合符号来说明点、线、面间的位置关系.例3 :根据下列符号表示的语句,说出有关点、线、面的关系,并画出图形.解:(1)点A在平面内,点B不在平面内;(2)直线L在平面上,直线m在平面外;(3)平面交平面与直线L; (4)点P在直线L上,不在平面上;点Q在直线L上,也在平面上.第二部分 三大公理(一)公理1如果直线上有两个点在平面上,那么直线在平面上.(直线在平面上)用集合语言表述:(二)公理2如果不同的两个平面、有一个公共点A,那么、的交集是过点A的直线.(平面与平面相交)用集合语言表述:(三)公理3和三个推论公理3:不在同一直线上的三点确定一个平面.(确定平面)这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述:A,B,C不共线=A,B,C确定一个平面推论1:一条直线和直线外的一点确定一个平面.证明:设A是直线外的一点,在直线上任取两点B和C,由公理3可知A,B和C三点能确定平面.又因为点,所以由公理1可知B,C所在直线,即平面是由直线和点A确定的平面.用集合语言表述:推论2:两条相交的直线确定一个平面.用集合语言表述:推论3:两条平行的直线确定一个平面.用集合语言表述:(四)例题解析例1如图,正方体中,E,F分别是的中点,问:直线EF和BC是否相交? 如果相交,交点在那个平面内? 解:又,则直线EF和BC共面;设直线EF和BC相交于点p,则p在直线BC上,即点P在平面ABCD上.说明利用公理1确定直线在平面内.例2 如图,若,求证:直线C必过点P.解: 结论三个平面两两相交得到三条交线,若其中两条交于一点,另一条必过此公共点.例3 空间三个点能确定几个平面?空间四个点能确定几个平面?解:三点共线有无数多个平面;三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面;有三点共线可确定一个平面;任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.说明公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点,可以确定几个平面?空间四条直线相交于一点,可以确定几个平面?解:三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面;四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面.说明推论2的简单应用.例5 如图,AB/CD,求作BC与平面的交点.解:连接EF和BC,交点即为所求BC与平面的交点.(公理3和公理2)说明推论3的简单应用.(一)复习上节课的概念,三个公理三个推论1)若,则( A ) A、 B、 C、 D、2)判断若直线a与平面有公共点,则称. () 两个平面可能只有一个公共点. () 四条边都相等的四边形是菱形. ()若A、B、C,A、B、C,则重合. ()若4点不共面,则它们任意三点都不共线. () 两两相交的三条直线必定共面. ()3)下列命题正确的是( D )A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.B、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形.C、三条互相平行的直线一定共面.D、梯形是平面图形.4)不在同一直线上的5点,最多能确定平面( C )A、8个 B、9个 C、10个 D、12个5)两个平面可把空间分成 3或4 部分 ; 三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分.(二)证明1、共面问题例1 已知直线两两相交,且三线不共点. 求证:直线在同一平面上.证明:设 【说明】证明共面问题的基本方法是归一法和同一法.归一法:先根据公理3或其推论确定一个平面,然后再利用公理1证明其他的点或直线在这个例2 已知直线与三条平行直线a,b,c都相交,求证:与a、b、c共面.解题策略:同一法证明:如图设 可确定一个平面图(例3) 【说明】同一法:可先由已知条件分别确定平面,然后再证它们是重合的。2、三点共线【说明】要证明空间三点共线的方法:将线看做两平面的交线,只需证明这三点都是两个平面的公共点,则公共点必定在两平面的交线上,因此三点共线.例4 已知在平面外,.ABCRPQ 求证:P、Q、R三点共线 证: 3、三线共点ABCDEFGHQ【说明】先确定2条直线的交点,再证另一直线也过该交点 (一)讲授新课例1 已知:,画出过A、B、C三点的平面的交线CABlD解: 分析:练习: 1) 画出过画出过A、B、C三点的平面的交线2) 画出过画出过A、B、C三点的平面M与的交线ABCBC例2 如图,P、Q、R分别是空间四边形ABCD的边AB、AD、BC上的点,且PQ与BD不平行,画出平面PQR与平面BCD的交线.ABCDPQRO 例3 在长方体中,画出1) 平面的交线ABCDE F 2) 平面的ABCDO分析:1) OD即为平面的交线2) EF即为平面的交线例4 在正方体ABCDABCD中的棱AB,BB,DC分别有

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