20180207平面及其基本性质.doc

超级名师工作室平面及其基本性质（一）平面定义：平面是平的，没有厚度的，在空间无限延伸的图形.数学中的平面的概念是现实中平面形象抽象的结果.比如平静的湖面、桌面等.平面的表示方法：（1）用大写的英文字母表示：平面M，平面N等；（2）用小写的希腊字母表示：平面，平面等；（3）用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示：（如图14-1）平面ABCD等.图14-1平面的直观图画法： 正视图 垂直放置的平面M 水平放置的平面M 图14-2相交平面画法注意：看得见的线用实线，看不见的线用虚线.（二）空间点、线、面的位置关系的集合语言表示法在空间，我们把点看作元素，直线和平面看作是由元素点所组成的集合，建立了如下点、线、面的集合语言表示法.点与线：点A在直线L上：（直线L经过点A）；点Q不在直线L上：点与平面：点A在平面内：（平面经过点A）；点B不在平面内：；直线与平面：直线L在平面上：直线L上所有的点都在平面上，即直线L在平面上，或平面经过直线L，记作.直线L在平面外：Al当直线L与平面只有一个公共点A时，称直线L与平面相交于点A，记作；当直线L与平面没有公共点时，称直线L与平面平行，记作或.直线与直线：A直线a与直线b相交于点A，记作.平面与平面：当平面上所有的点都在平面上时，称平面与平面重合；当不同的两个平面与有公共点时，将它们的公共点的集合记为L，称平面与平面相交于L，记作.当两个平面与没有公共点时，称平面与平面平行，记作或.（三）例题解析例1观察下面图形，说明它们的摆放位置不同例2 正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面，分别记作，试用适当的符号填空. 解： 说明能够熟练运用集合符号来说明点、线、面间的位置关系.例3 ：根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形.解：（1）点A在平面内，点B不在平面内；（2）直线L在平面上，直线m在平面外；（3）平面交平面与直线L； （4）点P在直线L上，不在平面上；点Q在直线L上，也在平面上.第二部分 三大公理（一）公理1如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上.（直线在平面上）用集合语言表述：（二）公理2如果不同的两个平面、有一个公共点A，那么、的交集是过点A的直线.（平面与平面相交）用集合语言表述：（三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述：A，B，C不共线=A，B，C确定一个平面推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面.证明：设A是直线外的一点，在直线上任取两点B和C，由公理3可知A，B和C三点能确定平面.又因为点，所以由公理1可知B，C所在直线，即平面是由直线和点A确定的平面.用集合语言表述：推论2：两条相交的直线确定一个平面.用集合语言表述：推论3：两条平行的直线确定一个平面.用集合语言表述：（四）例题解析例1如图，正方体中，E，F分别是的中点，问：直线EF和BC是否相交？ 如果相交，交点在那个平面内？ 解：又，则直线EF和BC共面；设直线EF和BC相交于点p，则p在直线BC上，即点P在平面ABCD上.说明利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若，求证：直线C必过点P.解： 结论三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.说明公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面；四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面.说明推论2的简单应用.例5 如图，AB/CD，求作BC与平面的交点.解：连接EF和BC，交点即为所求BC与平面的交点.（公理3和公理2）说明推论3的简单应用.（一）复习上节课的概念，三个公理三个推论1）若，则（ A ） A、 B、 C、 D、2）判断若直线a与平面有公共点，则称. （） 两个平面可能只有一个公共点. （） 四条边都相等的四边形是菱形. （）若A、B、C，A、B、C，则重合. （）若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （） 两两相交的三条直线必定共面. （）3）下列命题正确的是（ D ）A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.B、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形.C、三条互相平行的直线一定共面.D、梯形是平面图形.4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ）A、8个 B、9个 C、10个 D、12个5）两个平面可把空间分成 3或4 部分 ； 三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分.（二）证明1、共面问题例1 已知直线两两相交，且三线不共点. 求证：直线在同一平面上.证明：设 【说明】证明共面问题的基本方法是归一法和同一法.归一法：先根据公理3或其推论确定一个平面，然后再利用公理1证明其他的点或直线在这个例2 已知直线与三条平行直线a,b,c都相交，求证：与a、b、c共面.解题策略：同一法证明：如图设 可确定一个平面图（例3） 【说明】同一法：可先由已知条件分别确定平面，然后再证它们是重合的。2、三点共线【说明】要证明空间三点共线的方法：将线看做两平面的交线，只需证明这三点都是两个平面的公共点，则公共点必定在两平面的交线上，因此三点共线.例4 已知在平面外，.ABCRPQ 求证：P、Q、R三点共线 证： 3、三线共点ABCDEFGHQ【说明】先确定2条直线的交点，再证另一直线也过该交点 （一）讲授新课例1 已知：，画出过A、B、C三点的平面的交线CABlD解： 分析：练习： 1） 画出过画出过A、B、C三点的平面的交线2） 画出过画出过A、B、C三点的平面M与的交线ABCBC例2 如图，P、Q、R分别是空间四边形ABCD的边AB、AD、BC上的点，且PQ与BD不平行，画出平面PQR与平面BCD的交线.ABCDPQRO 例3 在长方体中，画出1) 平面的交线ABCDE F 2) 平面的ABCDO分析：1） OD即为平面的交线2） EF即为平面的交线例4 在正方体ABCDABCD中的棱AB，BB，DC分别有