【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 第九篇 第8讲 曲线与方程课件 理 湘教版

第8讲曲线与方程 2014年高考会这样考 1 考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系 2 利用直接法或定义法求轨迹方程 3 结合平面向量知识能确定动点轨迹 并会研究轨迹的有关性质 考点梳理 一般地 在平面直角坐标系中 如果某曲线C上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下关系 1 曲线上点的坐标都是 2 以这个方程的解为坐标的点都是 那么这个方程叫做 这条曲线叫做 1 曲线与方程 这个方程的解 曲线上的点 方程的曲线 曲线的方程 1 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点M的坐标 2 写出适合条件p的点M的集合P M p M 3 用坐标表示条件p M 列出方程 4 化方程f x y 0为最简形式 5 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 2 直接法求动点的轨迹方程的一般步骤 f x y 0 任意给定常数e e 0 点F和直线l F l 设动点P到F的距离和到l的距离之比等于e 则P的轨迹是 其中F是这条圆锥曲线的 l称为它的 当 时P的轨迹是椭圆 当 时是抛物线 当 时是双曲线 3 圆锥曲线的统一的定义 圆锥曲线 焦点 准线 e 1 e 1 e 1 一个主题通过坐标法 由已知条件求轨迹方程 通过对方程的研究 明确曲线的位置 形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务 是解析几何的核心问题 也是高考的热点之一 四个步骤对于中点弦问题 常有的解题方法是点差法 其解题步骤为 设点 即设出弦的两端点坐标 代入 即代入圆锥曲线方程 作差 即两式相减 再用平方差公式把上式展开 整理 即转化为斜率与中点坐标的关系式 然后求解 助学 微博 五种方法求轨迹方程的常用方法 1 直接法 直接利用条件建立x y之间的关系F x y 0 2 待定系数法 已知所求曲线的类型 求曲线方程 先根据条件设出所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 3 定义法 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 4 代入转移法 动点P x y 依赖于另一动点Q x0 y0 的变化而变化 并且Q x0 y0 又在某已知曲线上 则可先用x y的代数式表示x0 y0 再将x0 y0代入已知曲线得要求的轨迹方程 5 参数法 当动点P x y 坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可考虑将x y均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系 f x0 y0 0可知点P x0 y0 在曲线f x y 0上 又P x0 y0 在曲线f x y 0上时 有f x0 y0 0 f x0 y0 0是P x0 y0 在曲线f x y 0上的充要条件 答案C 考点自测 1 f x0 y0 0是点P x0 y0 在曲线f x y 0上的 A 一条直线和一条双曲线B 两条双曲线C 两个点D 以上答案都不对答案C 2 方程 x y 2 xy 1 2 0表示的是 A 双曲线B 椭圆C 圆D 抛物线解析由已知 MF MB 由抛物线定义知 点M的轨迹是以F为焦点 l为准线的抛物线 故选D 答案D 答案y2 x 曲线C过坐标原点 曲线C关于坐标原点对称 其中 所有正确结论的序号是 5 2011 北京 曲线C是平面内与两个定点F1 1 0 和F2 1 0 的距离的积等于常数a2 a 1 的点的轨迹 给出下列三个结论 答案 审题视点 由已知等量关系 通过向量数量积的坐标运算直接得到轨迹方程 考向一直接法求轨迹方程 直接法求轨迹方程的步骤 1 恰当地建立直角坐标系 2 设动点P x y 为轨迹上任意一点 3 用动点坐标表示问题中的几何关系 列出等式 4 化简并整理得轨迹方程 解设M的坐标为 x y 显然有x 0且y 0 当 MBA 90 时 点M的坐标为 2 3 当 MBA 90 时 x 2 由 MBA 2 MAB 化简可得3x2 y2 3 0 而点 2 3 在曲线3x2 y2 3 0上 综上可知 轨迹C的方程为3x2 y2 3 0 x 1 训练1 2012 四川改编 如图 动点M与两定点A 1 0 B 2 0 构成 MAB 且 MBA 2 MAB 求动点M的轨迹C的方程 审题视点 利用两圆内 外切的充要条件找出点M满足的几何条件 再由曲线定义建立关系式 从而求出轨迹方程 考向二定义法求轨迹方程 例2 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切 同时与圆x2 y2 6x 91 0内切 求动圆圆心M的轨迹方程 并说明它是什么曲线 解如图所示 设动圆圆心为M x y 半径为R 设已知圆的圆心分别为O1 O2 将圆的方程分别配方得 x 3 2 y2 4 x 3 2 y2 100 当动圆与圆O1相外切时 有 O1M R 2 当动圆与圆O2相内切时 有 O2M 10 R 将 两式相加 得 O1M O2M 12 O1O2 动圆圆心M x y 到点O1 3 0 和O2 3 0 的距离和是常数12 所以点M的轨迹是焦点为O1 3 0 O2 3 0 长轴长等于12的椭圆 2c 6 2a 12 c 3 a 6 b2 36 9 27 在利用圆锥曲线定义求轨迹时 若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义 则根据曲线的方程 写出所求的轨迹方程 若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹 则利用圆锥曲线的定义列出等式 化简求得方程 同时注意变量范围 审题视点 1 动点M通过点P与已知圆相联系 所以把点P的坐标用点M的坐标表示 然后代入已知圆的方程即可 2 将直线方程和C的方程组成方程组 结合两点的距离公式计算 考向三相关点法求轨迹方程 若与动点M x y 相关的点P x0 y0 在已知曲线C上运动 即动点是由已知曲线上某个相关点的运动而带动的 则可用x y表示出x0 y0 代入曲线C的方程化简 就得到点M x y 的轨迹方程 命题研究 从近几年高考试题来看 求曲线的轨迹方程是高考的常考题型 考查轨迹方程的求法 以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质 一般用 直接法 待定系数法 定义法 相关点法 等求轨迹方程 关键是找到与任意点有关的等量关系 或探索出动点运动时所满足的曲线的种类 轨迹问题的考查往往与函数 方程 向量 平面几何等知识相交汇 着重考查分析问题解决问题的能力 对逻辑思维能力 运算能力也有很高的要求 热点突破23 轨迹方程问题 反思 1 代入法求曲线方程的难点是建立x y x0 y0所满足的两个关系式 这需要根据问题的具体情况 充分利用已知条件列出关系式 一般需要找到两个互相独立的条件