第5章 第3节　等比数列及其前n项和.doc

第三节等比数列及其前n项和考纲传真(教师用书独具)1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系(对应学生用书第83页)基础知识填充1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa；(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列；(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()答案(1)(2)(3)(4)2已知an是等比数列，a22，a5，则公比q()A B2C2DD由通项公式及已知得a1q2，a1q4，由得q3，解得q.故选D3(2017北京高考)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_.1设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则由a4a13d，得d3，由b4b1q3得q38，q2.1.4(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_27,81设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.5(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又Sn126，126，解得n6.(对应学生用书第83页)等比数列的基本运算(1)在等比数列an中，a37，前3项和S321，则公比q的值为()A1BC1或D1或(2)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_(1)C(2)2n1(1)根据已知条件得得3.整理得2q2q10，解得q1或q.(2)设等比数列的公比为q，则有解得或又an为递增数列，Sn2n1.规律方法解决等比数列有关问题的两种常用思想(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.跟踪训练(1)数学文化我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏 C5盏D9盏(2)(2018广州综合测试(二)在各项都为正数的等比数列an中，已知a12，a4a4a，则数列an的通项公式an_. 【导学号：97190176】(3)(2017洛阳统考)设等比数列an的前n项和为Sn，若a18a40，则()ABCD(1)B(2)2(3)C(1)设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7381，q2，S7381，解得a13.故选B(2)设数列an的公比为q(q0)，由a4a4a，an0，得(anq2)24a4(anq)2，整理得q44q240，解得q或q(舍去)，所以an222.(3)在等比数列an中，因为a18a40，所以q，所以.等比数列的判定与证明(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是an.(2)由(1)得Sn1.由S5得1，即.解得1.规律方法等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)，则an是等比数列.(2)等比中项法：若数列an中，an0，且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列.(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列.提醒：(1)前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定.(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.跟踪训练设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，故an(3n1)2n2.等比数列的性质及应用(1)已知各项不为0的等差数列an满足a6aa80，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b8b11()A1B2C4D8(2)已知an为各项都是正数的等比数列，Sn为其前n项和，且S1010，S3070，那么S40()【导学号：97190177】A150B200C150或200D400或50(1)D(2)A(1)由等差数列的性质，得a6a82a7.由a6aa80，可得a72，所以b7a72.由等比数列的性质得b2b8b11b2b7b12b238.(2)依题意，S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030.又S200，因此S2030，S20S1020，所以S40S30S1080，S40S30(S40S30)7080150.规律方法1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.跟踪训练(1)(2018海口调研)在各项均为正数的等比数列an中，若amam22am1(mN*)，数列an的前n项积为Tn，且T2m1128，则m的值为()A3B4C5D6(2)(2018合肥二检)等比数列an满