高数下9.3三重积分及其计算ppt课件

将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域 被积函数推广到三元函数 就得到三重积分的定义 9 3三重积分及其计算 一 三重积分的概念 三重积分的物理背景以 x y z 为体密度函数的空间物体 的质量 首先 将闭区域 任意分成n个小闭区域 v1 v2 vn 其中 vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个 vi上任取一点 i i i 作乘积 i i i vi i 1 2 n 并作和 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时 该和式的极限存在 则称此极限为空间物体 的质量M 即 当然 在三维空间定义的函数u f x y z 的 几何 意义是四维空间的 曲面 我们可以想象 但无论如何也无法画出其 图形 因此我们不再讨论其几何意义 下面我们给出三重积分的定义 定义 设f x y z 是空间有界闭区域 上的有界函数 将闭区域 任意分成n个小闭区域 v1 v2 vn 其中 vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个 vi上任取一点 i i i 作乘积f i i i vi i 1 2 n 并作和 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时 该和式的极限存在 则称此极限为函数f x y z 在闭区域 上的三重积分 并记为 即 其中dv称为体积元素 其它术语与二重积分相同 同样有 闭区域上的连续函数一定可积 在直角坐标系中 如果我们用三族 平行于坐标的 平面x 常数 y 常数 z 常数 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体 其体积元素为 dv dxdydz 三重积分可写成 由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质 不再叙述 二 三重积分在直角坐标系中的计算法 与二重积分类似 三重积分可化成三次积行计算 具体可分为先单后重和先重后单两种类型 z z1 x y z z2 x y 先单后重 设闭区域 在xoy面的投影为闭区域Dxy 在闭区域Dxy内任取一点 x y 作垂直于xoy面的直线穿过闭区域 穿入 时的下边界曲面方程 z z1 x y 穿出 时的上边界曲面方程 z z2 x y 先将x y看作定值 f x y z 看作z的函数 则积分 为闭区域Dxy上的函数 可以理解为压缩在平面薄片Dxy上的密度函数 y y2 x 由三重积分的物理意义 若将f x y z 理解为闭区域 上的体密度函数 那么三重积分表示空间物体的质量M 则函数F x y 可以理解为压缩在平面薄片Dxy上的密度函数 则质量M等于F x y 在平面薄片Dxy上二重积分 即 下面只需将二重积分化成二次积分 不妨设Dxy为X 区域 y1 x y y1 x a x b 则 此方法也称为先一后二 或切条法 先z次y后x 或先z次x后y 注意 这是用平行于z轴 或垂直于xoy平面 且穿过闭区域 内部的直线与闭区域 的边界曲面相交不多于两点情形 用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分 化三重积分为三次积分的步骤 投影 得平面区域 穿越法定限 穿入点 下限 穿出点 上限 对于二重积分化为累次积分的方法 已经介绍过 例1 将三重积分 化成三次积分 其中 为长方体 各边界面平行于坐标面 解 将 投影到xoy面得Dxy 它是一个矩形 c y d a x b 在Dxy内任取一点 x y 作平行于z轴的直线 交边界曲面于两点 其竖坐标为l和m l m 例2 计算 平面x y z 1所围成的区域 其中 是三个坐标面与 解 画出 在xoy面上的投影区域Dxy 0 y 1 x 0 x 1 平行于z轴直线穿过的下曲面为z 0 上曲面为z 1 x y 有0 z 1 x y x y z 1 x y 1 解 画出积分区域 的草图 其中积分区域 为由曲面z x2 y2 y x2 y 1 z 0所围成的空间闭区域 例3 化三重积分为 三次积分 在xoy面上的投影区域Dxy x2 y 1 1 x 1 平行于z轴的直线穿过 的下曲面为z 0 上曲面为z x2 y2 有0 z x2 y2 例4 将三次积分 化为按y z x的次序积分 解 由所给积分次序可得 0 z x2 y2 0 y 1 0 x 1 即 在xoy面上得投影为方形区域 0 y 1 0 x 1 平行于z轴的直线穿过 的下曲面为z 0 上曲面为z x2 y2 有0 z x2 y2 由题意要求 需要先对y积分 则应作平行于y轴的直线穿过 为此 需作一母线平行于y轴的柱面z x2 将积分区域分为两部分 见图 1 2 1 2在xoz面上的投影区域D1 D2分别为 D1 0 z x2 0 x 1 D2 x2 z x2 1 0 x 1 关于y的变化范围 在D1上 0 y 1 在D2上 所以 除了上面介绍的先单后重法 切条法 外 利用先重后单法或称截面法也可将三重积分化成三次积分 先重后单 就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分 先重后单 设积分区域 介于两平行平面z c1 z c2 c1 c2 之间 用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域D z c1 z c2 则 易见 若二重积分容易计算时 特别是被积函数f x y z 与x y无关时 则二重积分的结果就是D z 的面积 因此 用截面法较为方便 截面法的一般步骤 1 把积分区域 向某轴 例如z轴 投影 得投影区间 c1 c2 2 对z c1 c2 用过z轴且平行xoy面的平面去截 得截面D z 例5 计算 解 易见 介于z c和z c之间 而 或 故 例6 计算 解一 先重后单 介于z 0和z 1之间 D z x2 y2 z 解二 先单后重 将 投影到xoy面得投影区域 Dxy x2 y2 1 平行于z轴的直线穿过 的下曲面为z x2 y2 上曲面为z 1 因此有x2 y2 z 1 用极坐标 用对称性 所以 所以 此例介绍的是一种计算三重积分的方法 这种方法也具有一定的普遍性 这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法 三 小结 三重积分的定义 在直角坐标系下的体积元素 dv dxdydz 三重积分的计算 用切条法或截面法将三重积分化为三次积分 思考题 为六个平面x 0 x 2 y 1 x 2y 4 z x z 2围成的区域 f x y z 在 上连续 则 累次积分 D 四 在柱坐标系下的计算法 设M x y z 为空间内一点 并设点M在xoy面上的投影P的极坐标为r 则这样的三个数r z就叫点M的柱面坐标 规定 0 r 0 2 z 直角坐标与柱面坐标的变换公式 三重积分在柱坐标系和球坐标系下的计算 z M r S z r 常数 圆柱面z 常数 垂直z轴的平面 动点M r z 柱面坐标系的坐标面 z M r S P r 常数 圆柱面z 常数 垂直z轴的平面 动点M r z 柱面坐标系的坐标面 常数 过z轴的半平面 dr r rd d z 柱面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成 半平面 及 d 半径为r及r dr的圆柱面 平面z及z dz dr r rd d z 底面积 rdrd dz 柱面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成 半平面 及 d 半径为r及r dr的圆柱面 平面z及z dz dr r rd d z 底面积 rdrd dz dv 柱面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成 半平面 及 d 半径为r及r dr的圆柱面 平面z及z dz 所以 dv rdrd dz 所以 然后再把它化为三次积分来计算 积分次序一般是先z次r后 积分限是根据z r 在积分区域中的变化范围来确定 解 积分区域 为一圆锥面与平面z 1围成 将积分区域 投影到xoy面得Dxy x2 y2 1 例1 计算三重积分 则积分限为 0 2 0 r 1 r z 1 注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体 圆锥体或旋转体时 通常总是考虑使用柱坐标来计算 所以 例2 计算三重积分 面z 1 z 2和圆锥面 围成的区域 其中 是由平 解 确定变量z r 的变化范围 r 的范围容易定出 0 2 0 r 2 z呢 当0 r 1时 1 z 2 当1 r 2时 r z 2 作图 由图可以看出 所以 五 在球坐标系下的计算法 设M x y z 为空间内一点 则点M可用三个有次序的数r 来确定 其中r为原点O与点M间的距离 为有向线段OM与z轴正向的夹角 为从z轴正向来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的夹角 这里P为点M在xoy面上的投影 这样的三个数r 就叫做点M的球面坐标 x OAy OBz OCOM r OMsin cos OMsin sin OMcos OPcos OPsin 所以 规定 0 r 0 0 2 S r M r为常数 为常数 球面 圆锥面 球面坐标系的坐标面 动点M r C C S M P r为常数 为常数 为常数 球面 圆锥面 半平面 球面坐标系的坐标面 动点M r r dr d rsin 圆锥面 rd 球面r 圆锥面 d 球面r dr 元素区域由六个坐标面围成 rsin d 半平面 及 d 半径为r及r dr的球面 圆锥面 及 d 球面坐标下的体积元素 d r dr d x z y 0 d rd dv r2sin drd d dv 元素区域由六个坐标面围成 半平面 及 d 半径为r及r dr的球面 圆锥面 及 d 球面坐标下的体积元素 rsin d 然后把它化成对r 的三次积分 具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是先r次 后 解一 用球坐标 平面z a x2 y2 z2 解二 用柱坐标 x2 y2 z2 z r 所以 r z a 0 r a 0 2 例4 求曲面x2 y2 z2 2a2与 立体体积 所围成的 解 由锥面和球面围成 采用球面坐标 由x2 y2 z2 2a2 r 由三重积分的性质知 所求立体的体积V为 注 若积分区域为球体 球壳或其一部分被积函数呈x2 y2 z2的形式 而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单 通常采用球坐标 补充 利用对称性简化三重积分计算 使用对称性时应注意 1 积分区域关于坐标面的对称性 2 被积函数在积分区域上关于三个坐标轴的奇偶性 一般地 当积分区域 关于