导数难题特训

1 已知函数 I 讨论的单调性 II 设 证明 当时 III 若函数的图像与x轴交于A B两点 线段AB中点的横坐标为x0 证明 x0 0 I i 若单调增加 ii 若 且当 所以单调增加 在单调减少 4 分 II 设函数则 当 故当 8 分 III 由 I 可得 当的图像与 x 轴至多有一个交点 故 从而的最大值为 不妨设 由 II 得 从而 由 I 知 14 分 2 已知函数 1 求在点处的切线方程 2 若存在 使成立 求的取值范围 3 当时 恒成立 求的取值范围 解 1 在处的切线方程为 即 3 分 2 即 令 时 时 在上减 在上增 又时 的最大值在区间端点处取到 在上最大值为 故的取值范围是 8 分 3 由已知得时 恒成立 设 由 2 知当且仅当时等号成立 故 从而当 即时 为增函数 又 于是当时 即 时符合题意 11 分 由可得从而当时 故当时 为减函数 又 于是当时 即 故不符合题意 综上可得的取值范围为 14 分 3 已知函数的图象为曲线 函数的图象为直线 当时 求的最大值 设直线与曲线的交点的横坐标分别为 且 求证 解 1 单调递增 单调递减 6 分 2 不妨设 要证只需证 即 令 只需证 令 在单 调递增 在单调递增 所以 12 分 4 设函数的图象在点处的切线的斜率为 且函数为偶函数 若函数满足下列条件 对一切 实数 不等式恒成立 求函数的表达式 求证 解 由已知得 1 分 由为偶函数 得为偶函数 显然有 2 分 又 所以 即 3 分 又因为对一切实数恒成立 即对一切实数 不等式恒成立 4 分 显然 当时 不符合题意 5 分 当时 应满足 注意到 解得 7 分 所以 8 分 证明 因为 所以 9 分 要证不等式成立 即证 10 分 因为 12 分 所以 所以成立 14 分 5 已知函数 求函数在区间上的值域 是否存在实数 对任意给定的 在区间上都存在两个不同的 使 得成立 若存在 求出的取值范围 若不存在 请说明理由 给出如下定义 对于函数图象上任意不同的两点 如果对于函 数图象上的点 其中总能使得 成立 则称函数具备性质 试判断函数是不是具备性 质 并说明理由 解 在区间上单调递增 在区间 上单调递减 且 的值域为 3 分 令 则由 可得 原问题等价于 对任意的在 上总有两个不同的实根 故在不可能是单调函数 5 分 当时 s 在区间上递减 不合题意 当时 在区间上单调递增 不合题意 当时 在区间上单调递减 不合题意 当即时 在区间上单调递减 在区间上单递增 由上 可得 此时必有的最小值小于等于 0 而由可得 则 综上 满足条件的不存在 8 分 设函数具备性质 即在点处的切线斜率等于 不妨设 则 而在点处的切线斜率 为 故有 10 分 即 令 则上式化为 12 分 令 则由可得在上单调递增 故 即方程无解 所以函数不具备性质 14 分 6 已知函数 若函数是定义域上的单调函数 求实数的最小值 方程有两个不同的实数解 求实数的取值范围 在函数的图象上是否存在不同两点 线段的中点的横坐标为 有成立 若存在 请求出的值 若不存在 请说明理由 解 1 分 若函数在上递增 则对恒成立 即对恒成 立 而当时 若函数在上递减 则对恒成立 即对恒成 立 这是不可能的 综上 的最小值为 1 4 分 解 1 由 令 得 0 的根为 1 所以 当时 则单调递增 当时 则单调递减 所以在处取到最大值 又 所以要使与有两个不同的交点 则 有 8 分 假设存在 不妨设 9 分 若则 即 即 12 分 令 则 0 在上增函数 式不成立 与假设矛盾 因此 满足条件的不存在 15 分 7 已知函数 是自然对数的底数 1 若曲线在处的切线也是抛物线的切线 求的值 2 若对于任意恒成立 试确定实数的取值范围 3 当时 是否存在 使曲线在点处的切线斜 率与 在上的最小值相等 若存在 求符合条件的的个数 若不存在 请说明理由 解 1 所以在处的切线为 即 2 分 与联立 消去得 由知 或 4 分 2 当时 在上单调递增 且当时 故不恒成立 所以不合题意 6 分 当时 对恒成立 所以符合题意 当时令 得 当时 当时 故在上是单调递减 在 上是单调递增 所以又 综上 10 分 3 当时 由 2 知 设 则 假设存在实数 使曲线在点处的切线斜率与在 上的最小值相等 即为方程的解 13 分 令得 因为 所以 令 则 当是 当时 所以在上单调递减 在上单调递增 故方程 有唯一解为 1 所以存在符合条件的 且仅有一个 16 分 8 已知函数 若曲线在处的切线方程为 求实数和的值 求证 对任意恒成立的充要条件是 若 且对任意 都 求的取值范围 解 又 所以曲线在处的 切线方程为即 由已知得 所以 充分性 当时 当时 当时 所以在上是增函数 在上是减函数 必要性 当时 在上是减函数 而 故时 与恒成立矛盾 所以不成立 当时 当时 当时 所以在上是增函数 在上是减函数 因为 又当时 与恒成立不符 所以 综上 对任意恒成立的充要条件是 当时 在上是减函数 不妨设且 则 等价于 即 令 在上是减函数 在时恒成立 又 所以的取值范围是 9 本小题满分 14 分 已知函数 a为常数 是 R 上的奇函数 函数是区间 1 1 上的减函数 I 求a的值 II 若上恒成立 求 t 的取值范围 III 讨论关于 x 的方程解的情况 并求出相应的 m 的取值范围 其中 恒成立 令 则 8 分 III 由 即 设 由 得 x 0 12 分 当时 当时 为极大值点 即 当时 原方程无解 当时 原方程有唯一解 当时 原方程有两解 14 分 10 本小题满分 13 分 已知函数在处取得极值 且在处的切线的斜率为 1 求的值及的单调减区间 设 0 0 求证 解 2 分 即 3 分 又 综上可知 4 分 定义域为 0 由 0 得 0 的单调减区间为 6 分 先证 即证 即证 7 分 令 0 0 0 即证 8 分 令 则 9 分 当 即 0 1 时 0 即 0 在 0 1 上递增 0 10 分 当 即 1 时 0 即 0 在 1 上递减 0 11 分 当 即 1 时 0 综合 知即 即 12 分 又 综上可得 13 分 11 本小题满分 14 分 已知函数 函数是区间 1 1 上的减函 数 I 求的最大值 II 若上恒成立 求 t 的取值范围 讨论关于 x 的方程的根的个数 本小题满分 14 分 解 I 上单调递减 在 1 1 上恒成立 故的最大值为 4 分 II 由题意 其中 恒成立 令 则 恒成立 9 分 由 令 当上为增函数 当时 为减函数 当 而 方程无解 当时 方程有一个根 当时 方程有两个根 14 分 12 已知函数 1 若函数在处的切线方程为 求的值 2 若函数在为增函数 求的取值范围 3 讨论方程解的个数 并说明理由 解 1 因为 又在处的切线方程为 所以 解得 3 分 2 若函数在上恒成立 则在上恒成立 即 在上恒成立 所以有 3 分 3 当时 在定义域上恒大于 此时方程无解 7 分 当时 在上恒成立 所以在定义域上为增函数 所以方程有惟一解 8 分 当时 因为当时 在内为减函数 当时 在内为增函数 所以当时 有极小值即为最小值 10 分 当时 此方程无解 当时 此方程有惟一解 当时 因为且 所以方程在区间上有惟一解 12 分 因为当时 所以 所以 因为 所以 所以 方程在区间上有惟一解 所以方程在区间上有惟两解 14 分 综上所述 当时 方程无解 当时 方程有惟一解 当时方程有两解 14 分 13 本题满分 14 分 已知函数 为自然对数的底数 1 求的最小值 2 不等式的解集为 若且求实数的取值范围 3 已知 且 是否存在等差数列和首项为公比大于 0 的等比 数列 使得 若存在 请求出数列的通项 公式 若不存在 请说明理由 解 1 1 分 由当 当 4 分 2 有解 由即上有解 6 分 令 上减 在 1 2 上增 又 且 8 分 3 设存在公差为的等差数列和公比首项为的等比数列 使 10 分 又时 故 2 得 解得 舍 故 12 分 此时 存在满足条件的数列 满足题意 14 分 15 设函数 其中为常数 当时 判断函数在定义域上的单调性 若函数的有极值点 求的取值范围及的极值点 当且时 求证 解 1 由题意知 的定义域为 当时 函数在定义域上单调递增 2 由 得 当时 函数无极值点 时 有两个相同的解 时 时 函数在上无极值点 当时 有两个不同解 时 此时 随在定义域上的变化情况如下表 减极小值增 由此表可知 时 有惟一极小值点 ii 当时 0 1 此时 随的变化情况如下表 增极大值减极小值增 由此表可知 时 有一个极大值和一个极小值点 综上所述 当且仅当时有极值点 当时 有惟一最小值点 当时 有一个极大值点和一个极小值点 3 由 2 可知当时 函数 此时有惟一极小值点 且 令函数 16 设函数 其中为常数 1 当时 判断函数在定义域上的单调性 2 若函数的有极值点 求的取值范围及的极值点 3 求证对任意不小于 3 的正整数 不