辽宁省丹东市凤城市第一中学2018_2019学年高二数学下学期4月月考试题文（含解析）.docx

辽宁省丹东市凤城市第一中学2018-2019学年高二数学下学期4月月考试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题每小题5分，计60分）1.若集合，则 （）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用并集定义直接求解【详解】集合，本题正确选项：【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.已知为虚数单位，则复数（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题3.已知向量，若，则实数的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】直接利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可【详解】由得：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力4.命题“”的否定是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题的否定方法可得答案.【详解】解：由全称命题的否定的定义知,命题“，的否定为“，,故选C.【点睛】本题考查全称命题的否定,考查考生对基础知识的掌握情况,考查的数学核心素养是逻辑推理.5.在等差数列中，为其前项和，若，则（ ）A. 60B. 75C. 90D. 105【答案】B【解析】 ，即 ，而 ，故选B.6.设满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出可行域，求得目标函数最大最小值则比值可求【详解】由题不等式所表示的平面区域如图阴影所示：化直线l;为y=-x+z,当直线l平移到过A点时，z最大，联立得A(2,5),此时z=7; 当直线l平移到过B点时，z最小，联立得B(, 此时z=-,故最大值与最小值的比值为-2故选：C【点睛】本题考查线性规划，准确作图与计算是关键，是基础题.7.元朝时，著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，问一开始输入的（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环计算结果，结合判断条件，即可得到答案.【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，第一次循环：计算，不满足判断条件；第二次循环：计算，不满足判断条件；第三次循环：计算，满足判断条件；因为输出的值为，则，解得，故选B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.已知函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ）A. 横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到B. 横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到C. 横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到D. 横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到【答案】B【解析】【分析】由题意，利用三角函数的图象变换，即可得到答案.【详解】将函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，可得，再将上的点向右平移个单位，得，所以要得到，只需将图象上的点横坐标伸长为原来的倍，再向右平移个单位，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答总熟记三角函数的图象变换的规则，合理变换是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.在各棱长均相等的四面体中,已知是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取中点,连结，则,从而是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理能求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】各棱长均相等的四面体中棱长为2，设取中点,连结，是棱的中点，,是异面直线与所成角（或所成角的补角），异面直线与所成角的余弦值为，故选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.10.如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线交于两点若则双曲线的离心率为（）A. B. 3C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】设，根据双曲线的定义算出中算出得，在中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案【详解】设，则，根据双曲线的定义得：即，解得：，得是以为直角的直角三角形，可得中，可得因此，该双曲线的离心率本题正确选项：【点睛】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题11.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数定义域是R，函数有两个极值点，其导函数有两个不同的零点；将导函数分离参数m后构造出的关于x的新函数与关于m的函数有两个不同交点，借助函数单调性即可确定m的范围.【详解】函数的定义域为，.因为函数有两个极值点，所以有两个不同的零点，故关于的方程有两个不同的解，令，则，当时，当时，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又当时，；当时，且，故，所以，故选B.【点睛】本题考查了利用函数极值点性质求解参数范围，解题中用到了转化思想和分离参数的方法，对思维能力要求较高，属于中档题；解题的关键是通过分离参数的方法，将问题转化为函数交点个数的问题，再通过函数导数研究构造出的新函数的单调性确定参数的范围.12.已知函数，若正实数，满，则的最小值是（ ）A. 1B. C. 9D. 18【答案】A【解析】【分析】先由函数的解析式确定其为奇函数，再由得到与的关系式，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以函数为奇函数，又若正实数满，所以，所以，当且仅当，即时，取等号.故选A【点睛】本题主要考查基本不等式，先由函数奇偶性求出变量间的关系，再由基本不等式求解即可，属于常考题型.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上）13.若，则_【答案】【解析】【分析】先化简已知得，再利用平方关系求解.【详解】由题得，因为，所以故答案为：【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.各项为正数的等比数列中，与的等比中项为，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，由等比中项的性质可得，又由等比数列的性质可得：，结合对数的运算性质可得，计算可得答案【详解】根据题意，等比数列中，与的等比中项为，则有又由等比数列的性质可得：则本题正确结果：【点睛】本题考查等比数列的性质，注意分析数列的下标之间的关系15.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，则棱锥的体积为_【答案】【解析】【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形所在平面的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积【详解】矩形的对角线的长为：所以球心到矩形所在平面的距离为：所以棱锥的体积为：本题正确结果：【点睛】本题是基础题，考查球内接几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型16.若定义域为的函数满足，则不等式的解集为_（结果用区间表示）【答案】【解析】【分析】由题目要求解的不等式是，由此想到构造函数，求导后结合，可知函数是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集【详解】令，则，因为，所以，所以，函数为上的增函数，由，得：，即，因为函数为上的增函数，所以所以不等式的解集是故答案为【点睛】本题考查了导数的运算法则，考查了不等式的解法，解答此题的关键是联系要求解的不等式，构造出函数，然后利用导数的运算法则判断出其导函数的符号，得到该函数的单调性此题是常考题型三、解答题（共70分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤第1721题为必做题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.已知在中，角对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理，代入原式，整理为，再公共辅助角公式化简，根据，计算角；（2）因为知道代入余弦定理，得到，最后代入面积公式，计算面积试题解析：（1）在中，由正弦定理得，即，又角为三角形内角，所以，即，又因为，所以（2）在中，由余弦定理得：，则即，解得或，又，所以考点：1正弦定理；2余弦定理；3面积公式18.2019年2月13日烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间 （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数 （的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间因素，学校团委决定从每周阅读时间为，的学生中抽取9名参加座谈会（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？附：临界值表：【答案】（1）；（2）（i）每周阅读时间为的学生中抽取名，每周阅读时间为的学生中抽取名；理由见解析；（ii）见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数和中位数的方法计算可得结果；（2）（i）根据分层抽样适用的情况可知应按照分层抽样原则来进行抽取，根据比例计算得到结果；（ii）根据频率分布直方图计算得到频数，从而补全列联表，计算得：，从而得到结论.【详解】（1）该组数据的平均数为：因为，所以中位数由，解得：（2）（i）每周阅读时间为的学生中抽取名，每周阅读时间为的学生中抽取名 理由：每周阅读时间为与每周阅读时间为是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为，所以按照的比例进行名额分配（ii）由频率分布直方图可知，阅读时间不足小时学生共有：人，超过小时的共有人于是列联表为：阅读时间不足小时阅读时间超过小时理工类专业非理工类专业的观测值 所以有的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关【点睛】本题主要考查独立性检验的应用、利用频率分布直方图估计中位数和平均数、分层抽样的试用条件等知识考查学生的计算能力19.如图，在四棱锥中，棱底面，且，是的中点（1）求证：平面；（2）求三棱锥体积【答案】(1) 见解析(2) 【解析】试题分析：(1)取中点,连接,利用线面垂直的性质，得到，进而得到平面,又根据三角形的性质，证得，即可证明平面；(2)解:由(1)知,是三棱锥的高,再利用三棱锥的体积公式，即可求解几何体的体积.试题解析：(1)证明:取中点,连接,底面,底面, ,且 平面,又平面,所以.又,H为PB的中点, ,又,平面,在中,分别为中点, ,又, ,，四边形是平行四边形,、 平面. (2)解:由(1)知,，,又,且,平面,是三棱锥的高,又可知四边形为矩形,且, ,所以 .另解:是的中点,到平面的距离是到平面的距离的一半，所以.20.已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值【答案】（）；（2）见解析.【解析】【分析】(1)根据题目所给的条件得到解出参数值即可；（2）分别设出直线AM和BM求出点B，D的坐标，并表示出AC，BD的长度，代入面积公式化简即可.详解】（）由已知可得：解得：； 所以椭圆C的方程为： （）因为椭圆C的方程为：，所以，设，则，即则直线BM的方程为：，令，得； 同理：直线AM的方程为：，令，得所以即四边形ABCD的面积为定值2【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.21.已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）.【解析】【分析】（1）根据切线的斜率可求出,得，求导后解不等式即可求出单调区间.（2）原不等式可化为恒成立，令，求导后可得函数的最小值，即可求解.【详解】（1）函数的定义域为，又曲线在点处的切线与直线平行所以，即，由且，得，即的单调递减区间是由得，即的单调递增区间是.（2）由（1）知不等式恒成立可化为恒成立即恒成立令当时，在上单调递减.当时，在上单调递增.所以时，函数有最小值由恒成立得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，最值，恒成立问题，属于中档题.22.已知直线的参数方程为 （为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程及曲