1[1]31单调性与最大(小)值

课题导入 函数是描述事物运动变化规律的数学模型 了解函数的变化规律势在必得 观察下面函数的图象 能说出它们的变化规律吗 某市一天的温度变化图 y f x x 0 24 说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的 1 3 1单调性与最大 小 值 教学目标 知识与技能 过程与方法 理解函数的最大 小 值及其几何意义 学会运用函数图象理解和研究函数的性质 通过实例 使学生体会到函数的最大 小 值 实际上是函数图象的最高 低 点的纵坐标 因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值 有利于培养以形识数的解题意识 利用函数的单调性和图象求函数的最大 小 值 解决日常生活中的实际问题 激发学生学习的积极性 情感态度与价值观 教学重难点 重点 函数的最大 小 值及其几何意义 难点 利用函数的单调性求函数的最大 小 值 问题1 画出f x x的图像 并观察其图像 从左至右图象上升还是下降 上升 问题1 画出f x x的图像 并观察其图像 2 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 1 从左至右图象上升还是下降 上升 增大 问题2 函数的图象在y轴的左侧是下降的 在y轴的左侧是上升的 画出的图像 并观察图像 通过以上两个函数图象的变化趋势的观察分析 你能得出什么结论 问题3 不同的函数 其图象的变化趋势不同 同一函数在不同区间上的变化趋势也不同 问题4 函数的图象在y轴的右侧是上升的 如何用数学符号语言来描述这种上升呢 1 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 问题2 画出的图像 并观察图像 2 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 0 0 减小 增大 在区间上 任意改变的值 当时 都有吗 大家取值验证 对于具体有限的 当时 都有 对于任意的 当时 都有吗 对于二次函数 我们可以这样描述 在区间上 随x的增大 相应的f x 也随着增大 x应该取区间I内所有实数 若x取无数个呢 能否仿照前面的描述 说明函数在区间 0 上是减函数吗 函数单调性的概念 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在区间D上是增函数 如图1 1 增函数 知识要点 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 那么就说f x 在区间D上是减函数 如图2 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 分别是增函数和减函数 注意 在某区间上 如果函数y f x 在某个区间上是增函数或是减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间D叫做y f x 的单调区间 函数的单调性定义 例1下图是定义在区间 4 5 上的函数y f x 根据图像说出函数的单调区间 以及在每一单调区间上 它是增函数还是减函数 解 函数y f x 的单调区间有 4 2 2 1 1 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 4 2 1 1 3 5 上是增函数 在区间 2 1 1 3 上是减函数 在增函数在减函数 在增函数在减函数 在 是减函数 在 0 和 0 是减函数 在 是增函数 在 0 和 0 是增函数 用定义证明函数单调性的步骤是 1 取值 2 作差变形 3 定号 4 判断 根据单调性的定义得结论 即取是该区间内的任意两个值且 即求 通过因式分解 配方 有理化等方法 即根据给定的区间和的符号的确定的符号 例2物理学中的玻意耳定律告诉我们 对于一定量的气体 当其体积V减小时 压强p将增大 试用函数单调性证明之 分析 按题意就是证明函数在区间上是减函数 证明 根据单调性的定义 设V1 V2是定义域 0 上的任意两个实数 且V1 V2 则 由V1 V2 0 且V10 V2 V1 0 又k 0 于是 所以 函数是减函数 也就是说 当体积V减少时 压强p将增大 取值 定号 作差变形 结论 例 求证 函数在区间上是单调增函数 若把区间改为 结论变化吗 思考 自己动手做一下吧 画出反比例函数的图象 1这个函数的定义域是什么 2它在定义域I上的单调性怎样 证明你的结论 x x 0 分两个区间 0 0 来考虑其单调性 2 在区间 0 上 同理可得到函数f x 1 x在 0 上是减函数 综上所述 函数f x 1 x在定义域上是减函数 下列两个函数的图象 观察 f x M 0 1 2 存在0 使得 0 1 1 对任意的都有 x 1 1是此函数的最大值 知识要点 M是函数y f x 的最大值 maximumvalue 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于任意的x I 都有f x M 2 存在 使得 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果实数M满足 1 对于任意的的x I 都有f x M 2 存在 使得 那么我们称M是函数y f x 的最小值 minimunvalue 是 函数f x 在定义域中既有最大值又有最小值 探究 函数单调性与函数的最值的关系 1 若函数y f x 在区间 m n m n 上单调递增 则函数y f x 的最值是什么 O x y 当x m时 f x 有最小值f m 当x n时 f x 有最大值f n 2 若函数y f x 在区间 m n 上单调递减 则函数y f x 的最值是什么 O x y 当x m时 f x 有最大值f m 当x n时 f x 有最小值f n 3 若函数则函数y f x 在区间 m n 上的最值是什么 O x y 最大值f l h 有最小值f m f n 中较小者 解 做出函数的图像 显然 函数图像的顶点就是烟花上升的最高点 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻 纵坐标就是这时距地面的高度 所以 烟花冲出1 5s是它爆裂的最佳时刻 此时距离地面的高度约为29m 例5已知函数 求函数的最大值与最小 分析 由函数的图象可知道 此函数在 3 5 上递减 所以在区间 3 5 的两个端点上分别取得最大值与最小值 解 设是区间 3 5 上的任意两个实数 且 则 课堂小结 2 函数单调性的定义 3 证明函数单调性的步骤 1 单调函数的图象特征 4 函数的最值 最大值 最小值 5 函数的最值的求法 1 利用二次函数的性质 配方法 求函数的最值 2 利用图象求函数的最值 3 利用函数单调性求函数的最值 高考链接 课堂练习 1 填表 函数 单调区间 k 0 k 0 k 0 k 0 增函数 减函数 减函数 增函数 单调性 函数 单调区间 单调性 增函数 增函数 减函数 减函数 最大 0 5 0 2 2 5 设b 1为常数 如果当x 1 b 时 函数的值域