工程力学第1章

第1章静力学基础 1 1静力学的基本概念1 2静力学公理1 3约束与约束反力1 4受力图1 5平面汇交力系思考题习题 1 1静力学的基本概念 1 1 1力的概念 1 力的定义 力是物体之间的相互机械作用 这种作用有两种效应 使物体产生运动状态变化和尺寸及形状变化 分别称为运动效应 外效应 和变形效应 内效应 力对刚体的作用只有运动效应 包括此效应的特例 平衡 2 力的三要素 力对物体作用的效应取决于力的大小 方向和作用点三个因素 通常称其为力的三要素 在这三个要素中 如果改变其中任何一个 也就改变了力对物体的作用效应 度量力的大小的单位将随所采用的单位制不同而不同 本书采用国际单位制 SI 力的单位用牛顿 中文代号为牛 国际代号为N 或千牛顿 中文代号为千牛 国际代号为kN 力的方向包含方位和指向两个意思 如铅直向下 水平向右等 力的作用点指的是力在物体上的作用位置 一般说来 力的作用位置并不是一个点而是一定的面积 应为分布力 但是 当作用面积很小以至可以忽略不计其大小时 就抽象为一个点 而认为力集中作用于这一点 这种力则称为集中力 集中力在实际中是不存在的 它是分布力的理想化模型 另一方面 分布力的分布规律一般比较复杂 也需要进行简化 过力的作用点作一直线 使直线的方位代表力的方位 则该直线称为力的作用线 力既具有大小和方向 而又服从矢量的平行四边形法则 所以力是矢量 也称向量 3 力系 作用在物体上的若干个力总称为力系 对同一物体产生相同效应的两个力系互称为等效力系 如果一个力系与单个力等效 则此单个力称为该力系的合力 而力系中的各力则称为合力的分力 作用于物体上使之保持平衡的力系称为平衡力系 1 1 2平衡的概念我们知道 所谓物体的平衡 工程上一般是指物体相对于地面保持静止或做匀速直线运动的状态 静力学研究物体的平衡问题 实际上就是研究作用于物体上的力系的平衡条件 并利用这些条件解决具体问题 1 1 3刚体的概念任何物体受力后都将或多或少地发生变形 但是 工程实际中构件的变形通常是非常微小的 在很多情况下 在研究其平衡或运动时 变形只是次要因素 因而可以忽略不计 例如 一根梁 当其受力弯曲时 由于变形微小 两支点之间距离 跨度 的变化量也很小 在求支承反力时若考虑小变形的影响 不仅十分复杂 而且没有必要 直接采用刚体模型 认为梁的跨度不变 进行计算 完全能够满足工程需要 所谓刚体 是指在受力情况下保持其几何形状和尺寸不变的物体 亦即受力后任意两点之间的距离保持不变的物体 显然 这只是一种理想化了的模型 实际上并不存在这样的物体 这种抽象简化的方法 虽然在研究许多问题时是必要的 而且也是许可的 但它是有条件的 后面我们将会看到 在研究物体的变形以及与变形有关的截面内力分布时 即使变形很小 也必须考虑物体的变形情况 即把物体视为变形体而不能再看作刚体 1 2静力学公理 1 2 1二力平衡公理作用于刚体上的两个力 使刚体处于平衡状态的充分和必要条件是 此两力的大小相等 方向相反 作用线沿同一直线 简称等值 反向 共线 这个公理揭示了作用于刚体上的最简单的力系在平衡时所必须满足的条件 它是静力学中最基本的平衡条件 对刚体来说 这个条件既是必要的又是充分的 但对于非刚体而言 这个条件是不充分的 例如 软绳受两个等值 反向 共线的拉力作用可以平衡 而受两个等值 反向 共线的压力作用就不能平衡 如图1 1所示 图1 1 1 2 2加减平衡力系公理在作用于刚体的已知力系中 增加或减去任意一平衡力系后所构成的新力系与原力系等效 这是因为平衡力系对刚体的作用总效应等于零 所以它不会改变刚体的平衡或运动状态 这个原理常被用来简化某一已知力系 是力系等效代换的重要理论依据 与二力平衡公理相同 加减平衡力系公理只适用于同一刚体 对于需要考虑变形的物体 加减任何平衡力系 都将会改变物体的变形情况 例如 图1 2 a 所示的杆AB 在平衡力系 F1 F2 的作用下会产生拉伸变形 如果去掉该平衡力系 则杆就没有变形 若将二力反向后再加到杆端 如图1 2 b 所示 则该杆就要产生压缩变形 拉伸与压缩是两种不同的变形效应 图1 2 实践经验表明 作用于刚体上的力可沿其作用线任意移动而不致改变其对于刚体的运动效应 例如 用小车运送物品时 图1 3 不论在车后A点用力F推车 或是在车前同一直线上的B点用力F拉车 对于车的运动而言 其效果都是一样的 力的这种性质称为力的可传递性 由此可见 就力对于刚体的运动效应来说 力的作用点已不再是重要因素 也就是说 我们只须知道力的作用线 至于作用线上的哪一点是力的作用点 则无关紧要 因此 作用于刚体上的力的三要素又可以说是 力的大小 方向和作用线 图1 3 1 2 3力的平行四边形公理作用在物体上同一点的两个力 可以合成为作用于该点的一个合力 合力的大小和方向由两力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定 如图1 4 a 所示 这称为力的平行四边形法则 如将原来的两力叫做分力 则此性质可简述为 合力等于两分力的矢量和 写成矢量式为 FR F1 F2 根据平行四边形公理用作图法求合力时 通常只需画出半个平行四边形就够了 如图 1 4 b 所示 从 A 点开始先画矢量 F1 从 B 点再画矢量 F2 连接起点 A 与终点 D 合力FR就由封闭边的矢量决定 这称为求两汇交力合力的三角形法则 图1 4 1 2 4作用与反作用公理两个物体间的作用力与反作用力 总是大小相等 作用线相同 指向相反 分别作用在两个不同的物体上 这个性质指出 力总是成对出现的 有作用力必有一反作用力 这是分析物体之间相互作用力的一条重要规律 作用力与反作用力 一般用同一字母表示 为了便于区别 在其中一个字母的右上角加一小撇 如F表示作用力 则F 便表示反作用力 应该指出 力的上述性质无论对刚体或变形都是适用的 注意 不要把二力平衡条件与力的作用和反作用性质弄混淆了 对二力平衡条件来说 两个力作用在同一刚体上 而作用力和反作用力则是分别作用在两个不同的物体上 如图1 5所示的绳索下端系一重物 其重量为G 上端固定在天花板上 绳索的重量不计 图1 5 1 3约束与约束反力 1 3 1约束的概念1 约束在各种机器和工程结构中 每一构件都根据工作要求以一定方式和周围其他构件相联系 它的运动会因此而受到一定的限制 例如 数控机床工作台受到床身导轨的限制 只能沿导轨移动 火车受到钢轨的限制 只能沿轨道行驶 电机转子受到轴承的限制 只能绕轴线转动 门受到合页的限制 只能绕门轴转动 等等 凡是限制某一物体运动的周围物体 称为该物体的约束 上面所说的导轨 钢轨 轴承 合页等就分别是工作台 火车 电机转子 门的约束 2 约束反力 约束既然限制研究物体 即研究对象 的运动 它就必须承受该研究物体对它的作用力 同样 约束也对研究物体有反作用力 我们将约束对研究物体的反作用力称为约束反作用力 简称约束反力 谈到每一个力 我们自然想到力的大小 方向 作用点这三个要素 约束反力的大小一般是未知的 需根据研究物体的受力情况和运动情况来计算 约束反力的作用点 则在研究物体上与约束的接触处 3 约束反力的方向 约束总是限制研究物体的运动 故约束反力的方向必与该约束所限制的运动方向相反 如图1 6 a 所示 当我们研究放在桌面上的重力为G的物体A时 桌面便是物体A的约束 桌面限制物体A向下运动 必然给它一个向上的约束反力 如图1 6 b 所示 图1 6 1 3 2常见的约束类型及约束反力的画法1 柔索约束工程上常用的钢丝绳 皮带 链条等柔性索状物体统称为柔索约束 这类约束只能承受拉力 而不能抵抗压力和弯曲 由于柔索约束只能限制物体沿柔索中心线伸长方向的运动 因此 柔索的约束反力方向一定是沿着柔索中心线而背离物体 作用在柔索与物体的连接点 柔索的约束反力通常用符号FT表示 图1 7 a 表示用钢丝绳悬挂一重物 钢丝绳对重物的约束反力如图1 7 b 所示 图1 7 当柔性的绳索 链条或皮带绕过轮子时 图1 8 a 它们给轮子的约束反力沿着柔索中心线 指向则背离轮子 如图1 8 b 所示 图1 8 两物体相互接触 如果接触面非常光滑 摩擦力可以忽略不计 这种约束称为光滑接触面约束 光滑接触面约束限制物体沿接触面公法线压入接触面 而不能限制被约束物体沿接触面的切线方向运动 要保证两物体相互接触 接触面间只能是压力 而不能是拉力 因此 光滑接触面对物体的约束反力 作用在接触处 沿接触面的公法线 指向受力物体 这种约束反力也常称作法向反力 一般用符号 FN 表示 如图 1 9 所示 直杆在接触点 A B C 三处所受的约束反力FNA FNB FNC 当略去摩擦时 齿轮传动中一对齿的齿廓曲面间的接触也是光滑接触 因而两齿轮的相互作用力FN 一定沿着齿廓曲面在啮合点K的公法线方向 如图1 10 2 光滑接触面约束 图1 9 图1 10 3 光滑圆柱形铰链约束1 中间铰 如图1 11 a b 所示 用销钉穿入带有圆孔的构件A B的圆孔中 即构成中间铰 通常用简图1 11 c d 表示 图1 11 2 固定铰链支座 当圆柱形铰链中有一构件固定时 则称为固定铰链支座 其结构和简图分别如图1 12 a b 所示 显然 固定铰链支座是圆柱形铰链的一种特殊情况 故其约束反力的确定原则与圆柱形铰链约束反力的确定原则相同 一般也分解为两个正交分力 如图1 12 c 所示 图1 12 3 活动铰链支座 辊轴铰链支座 在铰链支座与支承面之间装上辊轴 就成为活动铰链支座 或辊轴铰链支座 如图1 13a b所示 如略去摩擦 这种支座不限制构件沿支承面的移动和绕销钉轴线的转动 只限制构件沿支承面法线方向的移动 因此 活动支座的约束反力 FN 必垂直于支承面 通过铰链中心 指向待定 在力学计算中 常用图 1 13c所示的简图来表示活动铰链支座 活动铰链支座的约束反力常用符号FN表示 如图1 13d所示 图1 13 1 4物体的受力图 画受力图的步骤一般为 明确研究对象 取分离体 2 画出全部主动力 在分离体上画出全部主动力 3 画出全部约束反力 在画约束反力时 应特别注意以下几点 将每一种约束按照它们的特点归入典型约束类型 如上节讲的柔索约束 光滑接触面约束 光滑圆柱铰链约束 中间铰 固定铰链支座 活动铰链支座 和固定端约束 再根据典型约束的约束反力的表示方法画出约束反力 在画每一个约束反力时 一定要明确是哪个物体施加的 不要多画力 少画力或随意移动力 要熟练使用规定的字母和符号 标记各个约束反力 对作用力和反作用力一般用相同的字母 反作用力加一个上标 如FAB与FAB 互为作用力与反作用力 在画相邻两物体间作用力与反作用力的方向时 若其中一个力的方向已经明确或假定 则另一个力的方向应随之而定 运用二力平衡条件或三力平衡汇交定理确定某些约束反力 凡是二力构件必须按二力平衡条件来画约束反力 当物体受三个共面但不平行的力作用处于平衡时 已知其中两力作用线的交点 第三个力为未知的约束反力 则此约束反力的作用线必通过此交点 当所取分离体是由某几个物体组成的物体系统时 通常将物体系统内部各物体之间的相互作用力称为内力 而物体系统外的周围物体对系统内每个物体作用的力称为外力 在画物体系统的受力图时 约定只画外力不画内力 例1 1重量为G的梯子AB 放在水平地面和铅直墙壁上 在D点用水平绳索DE与墙相连 如图1 14 a 所示 若略去摩擦 试画出梯子的受力图 图1 14 图1 14 解设想将研究对象梯子从周围物体中分离出来 单独画出 梯子受到的主动力为重力 G 作用于其重心 方向铅直向下 使梯子成为分离体时 需要在 A B D 三处分别解除墙壁 地面和绳索构成的约束 因此必须在这三处加上相应的约束反力来代替约束的作用 根据光滑接触面约束的特点 墙壁和地面作用于梯子的反力 FNA和FNB应分别作用在 A 点和B 点 并分别为垂直于墙壁和地面的压力 绳索 DE 作用于梯子的反力FTD 是沿着 DE 方向的拉力 作用在D点 梯子的受力如图1 14b所示 例 1 2重量为 G的水平梁 AB 用斜杆 CD 支撑 A C D 三处均为光滑铰链连接 梁上放置一重量为 W 的电动机 如图 1 15a所示 不计 CD 杆的自重 试分别画出 CD 和梁AB 包括电动机 的受力图 图1 15 解 1 CD 杆的受力图 取 CD 杆为分离体时 需在 C D 两处解除约束 而分别代之以固定铰链支座 C 的反力 FC和水平梁 AB 通过铰链 D作用的反力 FD 根据光滑铰链约束反力的特点 这两个约束反力必定分别通过铰链 C D 的中心 方向暂时不能确定 但由于斜杆的自重不计 它只在 FC和 FD 两个力作用下处于平衡 根据二力平衡原理 这两个力必定沿同一直线 且等值 反向 由此可以确定FC和FD的作用线必在 C 和 D 两点的连线上 由经验判断 CD杆受压力 如图1 1 b 所示 工程上将只受两个力作用而处于平衡状态的构件 称为二力构件 或二力杆 其受力特点是 两个力的方向沿二力作用点的连线 且等值 反向 2 AB 梁的受力图 梁受有 G W 两个主动力的作用 取水平梁 AB 包括电动机 为分离体时 需在 A D 两处解除约束 而代之以相应的约束反力 二力杆 CD 通过铰链 D对水平梁AB的约束反力是 力和FD互为作用力与反作用力 故应与FD等值 反向 共线 固定铰链支座A的约束反力则用两个正交分力 FAx FAy表示 其指向可任意假设 梁AB的受力图如图1 15b所示 例1 3如图1 16a所示的结构由杆AC CD与滑轮B铰接而成 物体重为G 用绳索挂在滑轮上 如杆 滑轮及绳索的自重不计 并忽略各处的摩擦 试分别画出滑轮B 包括绳索 杆AC CD及整体系统的受力图 图1 16 解 1 滑轮及绳索的受力 取滑轮及绳索为研究对象 画出分离体图 无主动力 在B处滑轮通过中间铰B受到杆AC的约束 在解除约束的B处可用两个正交分力 来表示 在E处受柔索约束 可在E处用沿绳索中心线背离滑轮的拉力表示 在H处受柔索约束 可在H处用沿绳索中心线背离滑轮的拉力表示 滑轮及绳索受力图如图1 16b所示 2 杆CD的受力图 取杆CD为研究对象 画出分离体图 无主动力 很显然CD杆为一二力杆 根据二力杆的特点 C D两处的约束反力必沿两点的连线 且等值 反向 假设CD杆受拉 在C D处画上拉力和 且 杆CD受力图如图1 16c所示 3 杆AC的受力图 取杆AC为研究对象 画出分离体图 无主动力 杆AC在A处受固定铰链支座约束 在解除约束的A处可用两个正交分力FAx FAy来表示 在B处通过中间铰B受到滑轮的约束 可在B处画出约束反力FBx FBy 它们分别与FBx FBy互为作用力与反作用力 在C处受到杆CD的约束 其约束反力为FCD 它与FCD互为作用力与反作用力 杆AC的受力图如图1 16 d 所示 4 整体系统的受力图 取整体系统研究 画出分离体图 主动力为G 在A处受固定铰链支座的约束 其约束反力同AC杆的A处画法 同理在E处其约束反力的画法同滑轮E处的画法 在D处其约束反力的画法同CD杆的D处的画法 对物体进行受力分析 恰当地选取分离体并正确地画出受力图是解决力学问题的基础 不能有任何错误 否则以后的分析计算将会得出错误的结论 为使读者能正确地画出受力图 现提出以下几点供参考 1 要明确哪个物体是研究对象 并将研究对象从它周围的约束中分离出来 单独画出其简图 2 受力图上要画出研究对象所受的全部主动力和约束反力 并用习惯使用的字母加以标记 为了避免漏画某些约束反力 要注意分离体在哪几处被解除约束 则在这几处必作用着相应的约束反力 3 每画一力都要有依据 要能指出它是哪个物体 施力物体 施加的 不要臆想一些实际上并不存在的力加在分离体上 尤其不要把其他物体所受的力画到分离体上 4 约束反力的方向要根据约束的性质来判断 切忌单凭直观任意猜度 5 在画物体系统的受力图时 系统内任何两物体间相互作用的力 内力 不应画出 当分别画两个相互作用物体的受力图时 要特别注意作用力与反作用力的关系 作用力的方向一经设定 反作用力