数模第一次培训

数模电子协会 数模部第一次培训 目录 数学建模的简介 常用数学软件介绍 数模竞赛的介绍 线性 整数 规划 数学建模 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时 人们就要在深入调查研究 了解对象信息 作出简化假设 分析内在规律等工作的基础上 用数学的符号和语言作表述 也就是建立数学模型 然后用通过计算得到的结果来解释实际问题 并接受实际的检验 这个建立数学模型的全过程就称为数学建模 数模竞赛 深圳杯数学建模夏令营 全国数学建模竞赛 美国数学建模竞赛 全国大学生数学建模竞赛 全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一 该竞赛每年9月 一般在上旬某个周末的星期五至下周星期一共3天 72小时 举行 2014年 来自全国33个省 市 自治区 包括香港和澳门特区 及新加坡 美国的1338所院校 25347个队 7万多名大学生报名参加本项竞赛 奖项设置 后对应我校智育加分 国一国二省一省二省三65532 美国大学生数学建模竞赛 美国大学生数学建模竞赛 MCM ICM 是唯一的国际性数学建模竞赛 也是世界范围内最具影响力的数学建模竞赛 为现今各类数学建模竞赛之鼻祖 2014年 共有来自美国 中国 加拿大 芬兰 英国等18个国家和地区共7783支队伍参加 其中包括来自哈佛大学 普林斯顿大学 西点军校 麻省理工学院 清华大学 北京大学 浙江大学等国际知名高校学生参与此项赛事角逐 Unsuccessful不成功参与SuccessfulParticipant成功参与奖HonorableMention国际二等奖5MeritoriousWinner国际一等奖5Finalist国际特等奖提名6OutstandingWinner国际特等奖8 深圳杯 全国大学生数学建模竞赛组委会 深圳市科协联合举办的2014年 深圳杯 数学建模夏令营在深圳大学成功举行 来自国内近70支代表队的约300名师生 其中学生既有本科生 也有研究生 在为期5天时间里 针对社会发展中面临的四个实际问题 进行了充分交流和热烈讨论 夏令营评出了ABCD四道题目的获奖队 并为获奖队颁发了证书和奖金 一等奖6000元 二等奖3000元 三等奖1500元 常用数学软件介绍 lingo MATLAB Mathematica SAS MATLAB MATLAB是矩阵实验室 MatrixLaboratory 之意 除具备卓越的数值计算能力外 它还提供了专业水平的符号计算 文字处理 可视化建模仿真和实时控制等功能 当前流行的MATLAB包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包 功能工具包用来扩充MATLAB的符号计算 可视化建模仿真 文字处理及实时控制等功能 学科工具包是专业性比较强的工具包 控制工具包 信号处理工具包 通信工具包等都属于此类 Mathematica 具有高阶的演算方法和丰富的数学函数库和庞大的数学知识库 主要用于线性代数方面的数值运算 例如特征向量 反矩阵等 皆比Matlab做得更快更好 提供业界最精确的数值运算结果 Mathematica不但可以做数值计算 还提供最优秀的可设计的符号运算 丰富的数学函数库 可以快速的解答微积分 线性代数 微分方程 复变函数 数值分析 机率统计等等问题 lingo 无脑操作求解线性规划整数规划非线性规划的工具 并且自带灵敏度分析 SAS 主要用于大数据统计 最精准的统计软件 但是在数模竞赛中基本很少使用 数据统计使用excel即可 有时候数据大到excel打不开 会用SAS进行数据分析 线性 整数 规划 在一定条件下 合理安排人力物力等资源 使经济效果达到最好 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 而整数规划只是将线性规划的决策变量定义为整数 某钢管零售商从钢管厂进货 将钢管按照顾客要求的长度进行切割 称为下料 假定进货时得到的原料钢管长度都是19m 现有一客户需要50根长4m 20根长6m和15根长8m的钢管 应如何下料最节省 问题分析 对于下料问题首先要确定采用哪些切割模式 所谓切割模式 是指按照顾客要求的长度在原料钢管上安排切割的一种组合 例如 我们可以将19m的钢管切割成3根长4m的钢管 余料为7m 或者将长19m的钢管切割成长4m 6m和8m的钢管各1根 余料为1m 显然 可行的切割模式是很多的 其次 应当明确哪些切割模式是合理的 合理的切割模式通常还假设余料不应大于或等于客户需要钢管的最小尺寸 例如 可以将长19m的钢管切割成3根4m的钢管是可行的 但余料为7m 可进一步将7m的余料切割成4m钢管 余料为3m 或者将7m的余料切割成6m钢管 余料为1m 经过简单的计算可知 合理切割模式一共有7种 于是问题转化为在满足客户需要的条件下 按照哪几种合理的模式 每种模式切割多少根原料钢管最为节省 而所谓节省 可以有两种标准 一是切割后剩余的总余料量最小 二是切割原料钢管的总根数最少 下面将对这两个目标分别讨论 决策变量 xi表示按照表1第i种模式 i 1 2 7 切割的原料钢管的根数目标函数 若以切割后剩余的总余料量最小为目标minZ1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7若以切割原料钢管的总根数最少为目标MinZ2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7约束条件4x1 3x2 2x3 x4 x5 50 x2 2x4 x5 3x6 20 x3 x5 2x7 15 用LINGO求解整数规划 LINGO软件用于线性或非线性规划 无论是连续规划还是整数规划 因此包含了LINDO的功能 在LINGO中 所有的函数均以 符号开始 如约束中 gin x1 表示x1为整数 以切割后剩余的总余料量最小为目标 建立LINGO模型 min 3 x1 x2 3 x3 3 x4 x5 x6 3 x7 4 x1 3 x2 2 x3 x4 x5 50 x2 2 x4 x5 3 x6 20 x3 x5 2 x7 15 gin x1 gin x2 gin x3 gin x4 gin x5 gin x6 gin x7 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 27 00000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10 0000003 000000X212 0000001 000000X30 0000003 000000X40 0000003 000000X515 0000001 000000X60 0000001 000000X70 0000003 000000 即按照模式2切割12根原料钢管 按照模式5切割15根原料钢管 共27根 总余料量27m 显然 在总余料量最小的目标下 最优解将是使用余料尽可能小的切割模式 模式2和模式5的余料为1m 这会导致切割原料钢管的总根数较多 以切割原料钢管的总根数最少为目标 建立LINGO模型 min x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 4 x1 3 x2 2 x3 x4 x5 50 x2 2 x4 x5 3 x6 20 x3 x5 2 x7 15 gin x1 gin x2 gin x3 gin x4 gin x5 gin x6 gin x7 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 25 00000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10 0000001 000000X215 0000001 000000X30 0000001 000000X40 0000001 000000X55 0000001 000000X60 0000001 000000X75 0000001 000000 即按照模式2切割15根原料钢管 按照模式5切割5根原料钢管 按照模式7切割5根原料钢管 共25根 总余料量35m 与上面得到的结果相比 总余料量增加了8m 但是所用的原料钢管的总根数减少了2根 在余料没有什么用途的情况下 通常选择总根数最少为目标 零售商如果采用的不同切割模式太多 将会导致生产过程的复杂化 从而增加生产和管理成本 所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种 此外 该客户除需要1 中的3种钢管外 需要50根长4m 20根长6m和15根长8m的 还要10根长5m的钢管 应如何下料最节省 某钢管零售商从钢管厂进货 将钢管按照顾客要求的长度进行切割 称为下料 假定进货时得到的原料钢管长度都是19m 如果按照前面的办法处理 首先要通过枚举法确定哪些切割模式是合理的 并从中选出不超过3种模式 而由于需求的钢管规格增加到4种 所以枚举法的工作量较大 下面介绍一种带有普遍性的方法 可以同时确定切割模式和切割数量 同前一问一样 只使用合理的切割模式 其余料不应大于3m 因为客户需要的钢管最小尺寸为4m 而本题中参数都是整数 由于不同切割模式不能超过3种 可以用用xi表示按照第i种模式 i 1 2 3 切割的原料钢管的根数 又设使用第i种切割模式下每根原料钢管生产长4m 5m 6m和8m的钢管数量分别为r1i r2i r3i r4i 仅以使用的原料总根数最少为目标 即minx1 x2 x3满足客户需求的约束条件为r11x1 r12x2 r13x3 50r21x1 r22x2 r23x3 10r31x1 r32x2 r33x3 20r41x1 r42x2 r43x3 15 每一种切割模式必须可行 合理 所以每根原料钢管的成品量不能超过19m 也不能少于16m 余料不能大于3m 于是16 4 r11 5 r21 6 r31 8 r41 1916 4 r12 5 r22 6 r32 8 r42 1916 4 r13 5 r23 6 r33 8 r43 19LINGO模型为 min x1 x2 x3 r11 x1 r12 x2 r13 x3 50 r21 x1 r22 x2 r23 x3 10 r31 x1 r32 x2 r33 x3 20 r41 x1 r42 x2 r43 x3 15 4 r11 5 r21 6 r31 8 r41 16 4 r12 5 r22 6 r32 8 r42 16 4 r13 5 r23 6 r33 8 r43 16 x1 x2 x3 26 x1 x2 x3 x2 x2 x3 gin x1 gin x2 gin x3 gin r11 gin r12 gin r13 gin r21 gin r22 gin r23 gin r31 gin r32 gin r33 gin r41 gin r42 gin r43 Localoptimalsolutionfoundatiteration 12211Objectivevalue 28 00000VariableValueReducedCostX110 000000 000000X210 000002 000000X38 0000001 000000r113 0000000 000000r122 0000000 000000r130 0000000 000000r210 0000000 000000r221 0000000 000000r230 0000000 000000r311 0000000 000000r321 0000000 000000r330 0000000 000000r410 0000000 000000r420 0000000 000000r432 0000000 000000 即按照模式1 2 3分别切割10根 10根 8根原料钢管 使用原料钢管总根数为28根 第一种切割模式下一根原料钢管切割成3根4m钢管和1根6m钢管 第二种切割模式下一根原料钢管切割成2根4m钢管 1根5m钢管和1根6m钢管 第三种切割模式下一根原料钢管切割成2根8m钢管 思考题 某投资公司拟制定今后5年的投资计划 初步考虑下面四个投资项目 项目A 从第1年到第4年每年年初可以投资 于次年年末收回成本