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文档简介
鸡兔同笼孙子算经卷下第31题叫“鸡兔同笼”问题,也是一道世界数学名题。“有一群野鸡和兔子关在同一个笼子里,头数是35,脚数是94。问野鸡和兔子的数目各是多少?”这个题目编得很有趣,如果35只动物全是鸡,就应该有70只脚;如果全是兔,就应该有140只脚,而题中却说共有94只脚,给人一种左右为难的印象。其实,解题关键也正在这里,假设35只动物全是鸡,则共有70只脚,与题中“脚数是94”相比较,还差24只脚,将1只兔看作是鸡,脚数就会相差2,有多少只兔被看作是鸡了呢?24 2=12。 算到这里,答案也就呼之欲出了。清朝时,作家李汝珍把这类问题写进了小说镜花缘中。书中有这样一个情节,一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球,一种是大灯下缀2个小灯,另一种是大灯下缀4个小灯,大灯共360个,小灯共1200个。一位才女把大灯看作是头,小灯看作是脚;把一种灯球看作是鸡,把另一种看作是兔,运用“脚数的一半减头数得兔数,头数减兔数得鸡数”的算法,很快就算出了一大二小的灯是120盏,一大四小的灯是240盏,赢得了一片喝彩声。伴随古代中外文化交流,鸡兔同笼问题很快就漂洋过海流传到了日本。不过到了日本之后,鸡变成了仙鹤,兔变成了乌龟,鸡兔同笼变成了赫赫有名的“鹤龟算”。狗跑与兔跳行程问题是中小学里常见的一类数学应用题,也是一类很古老的数学问题。在我国古代数学名著九章算术里,收集了很多这方面的题目如书中第6章第14题:“狗追兔子。兔子先跑100步,狗只追了250步便停了下来,这时它离兔子只有30步的距离了。问如果狗不停下来,还要跑多少步才能追上兔子?”这道追及问题编得很有趣,它没有直接告诉狗与兔的“速度差”,反而节外生枝地让狗在追及过程中停了下来,数量关系显得扑朔迷离。2000年前,我们的祖先解决这类问题已经很有经验了,所以书中只是简单地说,用(250 30)作除数,用(100-30)作被除数,即可算出题目的答案。世界各国人民都很喜爱解答这类问题,一本公元8世纪时在欧洲很流行的习题集中,也记载了一个狗与兔的追及问题:“狗追兔子,兔子在狗前面100英尺。兔子跑7英尺的时间狗可以跑9英尺,问狗跑完多少英尺才能追上兔子?”相传俄国女数学家科瓦列夫斯卡娅还在童年时,就算出了一道有关兔跳的趣味算题:“一对兔兄弟进行跳跃比赛,兔弟弟说:应该让它先跳10次,哥哥才可以起跳。如果兔弟弟跳4次的时间兔哥哥能跳3次,兔哥哥跳5次的距离与兔弟弟跳7次的距离同样远,问兔哥哥要跳多少次才能追上呢?”婆什迦罗的妙算婆什迦罗是12世纪印度最著名的数学家,他编的许多数学题被人称作“印度问题”,在很多国家广泛流传,如:“某人对他的朋友说:如果你给我100枚铜币,我将比你富2倍。朋友回答说:你只要给我10枚铜币,我就比你富6倍。问两人各有多少铜币?”就是其中一道著名的数学题。婆什迦罗发现了一种很巧妙的算法:设这个人有(2x-100)枚铜币,他朋友有(x+100)枚铜币,因为这个人给朋友10枚铜币后,他的朋友将比他富6倍,于是有6(2x-100)= x+100,解之得x=70即两人分别有40和170枚铜币。我国古代数学著作张邱建算经里有一个类似的题目:“有甲、乙两人携钱各不知其数,若乙给甲十钱,则甲比乙所多的是乙余数的5倍;若甲给乙十钱,则两人钱数相等。问甲、乙各有多少钱?”更早些,希腊文集里已有了著名的“欧几里得问题”的记载:“驴子和骡子驮着货物并排走在大路上,驴子不住地抱怨驮的货物太重,压得受不了。骡子对它说:你发什么牢骚啊!我驮的比你更重。如果你给我1口袋,我驮的货物就是你的2倍;而我给你1口袋,咱俩才刚好一般多。问驴子和骡子各驮了几口袋货物?”棋盘上的麦粒数印度古代有个国王天性爱玩,对国际象棋这种新发明的游戏尤其入迷,决定重赏它的发明人西萨班。西萨班指着棋盘对国王说:“陛下,请您在第1格里赏我1粒麦子,在第2格里赏我2粒麦子,在第3格里赏我4粒麦子,依此类推,每增加1格麦粒数就增加1倍,一直放满64个格子。”国王哈哈大笑,觉得这点麦子简直算不了什么。可他不久就发现,即使把印度的麦子全都扛来,也远远无法兑现自己许下的诺言。西萨班要的麦粒是多少呢?这是一个有趣的等比例数列求和问题。因为每增加1格麦粒数就增加1倍,所以第1格里是1粒,第2格里是21粒,第三格里是22粒,最后一格里是263粒。由等比例数列的求和公式,它们的和是18446744073709551615(粒)。这个数目大得惊人,如果修建一座高4米、宽10米的仓库来存放这些麦子,那么,这座仓库可以从地球修到太阳上,然后再从太阳修回地球来!奇特的墓志铭丢番图是古希腊最后一个大数学家。专家们认为,现代解方程的基本步骤,如移项、合并同类项等等,丢番图基本上都已知道了。他对不定方程的研究尤其受人称赞,被西方数学家誉为这门数学分支的开山鼻祖。遗憾的是,关于他的生平,后人几乎一无所知,既不知道他生于何地,也不知道他卒于何时,幸亏他那段奇特的墓志铭,才知道他曾享有84岁的高龄。丢番图的墓志铭是一道谜语般的数学题:“过路人!这里埋着丢番图的骨灰。他生命的1/6是幸福的童年,生命的1/12是少年时期。又过了生命的1/7他才结婚,婚后5年有了1个孩子。这孩子活到他父亲一半的年纪便死去了。孩子死后,丢番图在深深的哀痛中活了4年,也结束了尘世生涯。”这段墓志铭写得太妙了。谁要想知道丢番图的年纪,就得解一个一元一次方程;而这正好提醒前来瞻仰的人们,不要忘了丢番图所献身的事业。化圆为方问题公元前6世纪时,有位叫安拉克萨哥拉的古希腊学者,被他的政敌丢进了监狱。在牢房里他无事可干,整天思索着这样一个数学问题:“怎样用直尺和圆规作一个正方形,使它的面积与某个已知圆的面积相等?”这就是著名的化圆为方问题。当然,安拉克萨哥拉没能解决这个问题。但他也不必为此感到羞愧,因为在他以后的2400多年里,许许多多比他更加优秀的数学家,也都未能解决这个问题。化圆为方看上去谁都能办到,实际上却谁也办不到,因而具有极大的魅力。15世纪时,连欧洲最杰出的艺术大师达芬奇也曾拿起直尺圆规,试图解决这个问题呢。年复一年,有关化圆为方的论文雪片似地飞向各国科学院,多得叫数学家们无法审读,以致在1775年,巴黎科学院为了维持正常的工作秩序,不得不宣布不再审读这方面的论文。化圆为方的狂热终止于1882年,在这一年里,德国数学家林德曼证明了是一个超越数,从而在理论上论证了化圆为方是不可能由尺规作图法完成的。现在仍然有些青少年在尝试化圆为方,显然,这只会是白白浪费精力。立方倍积问题公元前5世纪时,一场大瘟疫凭空降临到古希腊的第罗斯岛上,夺去了许多人的生命,幸存的人们纷纷躲进神庙,祈求神灵保佑。神说:“你们想活命,就必须把庙中的祭坛加大1倍,并且不许改变它的形状。”祭坛是个正方体,第罗斯人连夜加工,把祭坛的长、宽、高都加大了1倍,以为这样就满足了神的要求。岂料瘟疫更加疯狂地蔓延开来,第罗斯人满腹狐疑,再次匍匐在神像前。神怒气冲冲地说:“这个祭坛是原来的8倍!”第罗斯人没有办法,派人向当时最有名的学者柏拉图请教,不料他也解决不了这个问题故事中提到的这个数学问题,也是一个举世闻名的几何作图难题,叫立方倍积问题:“做一个立方体,使它的体积等于已知立方体的两倍。”如果借助其他工具,解决这个问题是很容易的,古希腊的埃拉托斯芬、攸多克萨斯,英国的牛顿等人都曾发明过一些巧妙的方法,但是,如果限制用直尺和圆规去解决,2000年来,无论是初学几何的少年,还是天才的数学大师,却无一不束手无策。1837年,又是法国数学家闻脱兹尔最先从理论上证明:同三等分角问题一样,立方倍积问题也是不能由尺规作图法解决的,才了结了这桩数学悬案。三等分角问题在2000多年前,古希腊数学家苛刻地限制几何作图工具,规定画几何图形时,只准许使用直尺和圆规。于是,从一些本来很简单的作图题中,产生了一批举世闻名的数学难题。例如三等分角问题:“只使用直尺与圆规做一个角,使它等于一个已知角的1/3。”大数学家阿基米德曾试图解决这个难题。他预先在直尺上作了一个记号,很轻松地将一个角分成了三等份。可是,人们不承认他解决了这个难题。因为古希腊人还规定:作图时直尺上不能有任何刻度,而且直尺与圆规都只允许使用有限次。三等分角看上去非常简单,做起来却非常难,几千年来,它激发了一代又一代的数学家。有人说,在西方数学史上,几乎每一个称得上是数学家的人,都曾拿起直尺圆规,用三等分角测试过自己的智力,但谁也未能取得成功,直到1837年,法国数学家闻脱兹尔从理论上予以证明,只使用直尺圆规是无法三等分一个任意角的,才率先走出了这座困惑了无数人的数学迷宫。数图之谜现在世界上所能见到的最古老的数学文献,是古埃及的莱因特纸草书。书中记载了85个数学问题,在书写第79题的位置上,作者画了一个台阶,台阶旁依次写着7、49、343、2401和16807这5个数,书的旁边依次画有图、猫、老鼠、大麦、量器等字样,除此之外就没有别的什么东西了。由于这是书中唯一未明确给出答案的题目,后来,这个题目究竟是什么意思,成了一个有趣的谜。数学史学家康托尔猜出了这个谜,他认为题目的意思是:“有7个人,每个人养着7只猫,每只猫吃7只老鼠,每只老鼠吃7棵麦穗,每棵麦穗可以长成7个量器的大麦,问各有多少?”经他这么一解释,书中给出的那5个数就正好成了题目的答案。有趣的是,在莱因特纸草书出土之前600多年,意大利数学家斐波拉契曾遍了一道很相似的数学题:“7位老太太一起到罗马去,每人有7匹骡子,每匹骡子驮7个口袋,每个口袋盛7个面包,每个面包有7把小刀,每把小刀有7个刀鞘。问各有多少?”比斐波拉契还早几百年,我国古书里也记载了一个相似的数学题:“今有出门望有九隄,隄有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色。问各几何?”在不同的民族、不同的国家、不同的时间里,竟流传着一个同样的问题,这也是一个很有趣的谜。百蛋(外国古题)两个农民一共带了100只蛋到市场上去出卖。他们两人所卖得的钱是一样的。第一个人对第二个人说:“假若我有象你这么多的蛋,我可以卖得15个克利采(一种货币名称)”。第二个人说:“假若我有了你这些蛋,我只能卖得6又三分之二个克利采。”问他们俩人各有多少只蛋?和尚吃馒头(中国古题)大和尚每人吃4个,小和尚4人吃1个。有大小和尚100人,共吃了100个馒头。大、小和尚各几人?各吃多少馒头?洗碗(中国古题)有一位妇女在河边洗碗,过路人问她为什么洗这么多碗?她回答说:家中来了很多客人,他们每两人合用一只饭碗,每三人合用一只汤碗,每四人合用一只菜碗,共用了碗65只。你能从她家的用碗情况,算出她家来了多少客人吗?算法统宗里的问题算法统宗是中国古代数学著作之一。书里有这样一题:甲牵一只肥羊走过来问牧羊人:“你赶的这群羊大概有100只吧”,牧羊人答:“如果这群羊加上一倍,再加上原来这群羊的一半,又加上原来这群羊的1/4,连你牵着的这只肥羊也算进去,才刚好凑满一百只。”请您算算这只牧羊人赶的这群羊共有多少只?张立建算经里的问题张立建算经是中国古代算书。书中有这样一题:公鸡每只值5元,母鸡每只值3元,小鸡每三只值1元。现在用100元钱买100只鸡。问这100只鸡中,公鸡、母鸡、小鸡各有多少只?九章算术里的问题九章算术是我国最古老的数学著作之一,全书共分九章,有246个题目。其中一道是这样的:一个人用车装米,从甲地运往乙地,装米的车曰行25千米,不装米的空车曰行35千米,5日往返三次,问二地相距多少千米?共有多少个桃子?著名美籍物理学家李政道教授来华讲学时,访问了中国科技大学,会见了少年班的部分同学。在会见时,给少年班同学出了一道题:“有五只猴子,分一堆桃子,可是怎么也平分不了。于是大家同意先去睡觉,明天再说。夜里一只猴子偷偷起来,把一个桃子扔到山下后,正好可以分成五份,它就把自己的一份藏起来,又睡觉去了。第二只猴子爬起来也扔了一个桃子,刚好分成五份,也把自己那一份收起来了。第三、第四、第五只猴子都是这样,扔了一个也刚好可以分成五份,也把自己那一份收起来了。问一共有多少个桃子?注:这道题,小朋友们可能算不出来,如果我给增加一个条件,最后剩下1020个桃子,看谁能算出来。韩信点兵传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数。他的方法是:让士兵先列成三列纵队(每行三人),再列成五列纵队(每行五人),最后列成七列纵队(每行七人)。他只要知道这队士兵大约的人数,就可以根据这三次列队排在最后一行的士兵是几个人,而推算出这队士兵的准确人数。如果韩信当时看到的三次列队,最后一行的士兵人数分别是2人、2人、4人,并知道这队士兵约在三四百人之间,你能很快推算出这队士兵的人数吗?一笔画问题在18世纪的哥尼斯堡城里有七座桥。当时有很多人想要一次走遍七座桥,并且每座桥只能经过一次。这就是世界上很有名的哥尼斯堡七桥问题。你能一次走遍这七座桥,而又不重复吗?(自己动手画画吧)埃及金字塔世界闻名的金字塔,是古代埃及国王们的坟墓,建筑雄伟高大,形状像个“金”字。它的底面是正方形,塔身的四面是倾斜着的等腰三角形。两千六百多年前,埃及有位国王,请来一位名子叫法列士的学者测量金字塔的高度。法列士选择一个晴朗的天气,组织测量队的人来到金字塔前。太阳光给每一个测量队的人和金字塔都投下了长长的影子。当法列士测出自己的影子等于它自己的身高时,便立即让助手测出金字塔的阴影长度(cb)。他根据塔的底边长度和塔的阴影长度,很快算出金字塔的高度。你会计算吗?数学家达兰倍尔错在哪里传说18世纪法国有名的数学家达兰倍尔有一次拿两个五分硬币往下扔,会出现几种情况呢?情况只有三种:可能两个都是正面;可能一个是正面,一个是背面,也可能两个都是背面。因此,两个都出现正面的概率是13。你想想,错在哪里?涡卡诺夫斯基的算术题一只狗追赶一匹马,狗跳六次的时间,马只能跳5次,狗跳4次的距离和马跳7次的距离相同,马跑了5.5公里以后,狗开始在后面追赶,马跑多长的距离,才被狗追上?托尔斯泰的算术题俄国伟大的作家托尔斯泰,曾出过这样一个题:一组割草人要把二块草地的草割完。大的一块比小的一块大一倍,上午全部人都在大的一块草地割草。下午一半人仍留在大草地上,到傍晚时把草割完。另一半人去割小草地的草,到傍晚还剩下一块,这一块由一个割草人再用一天时间刚好割完。问这组割草人共有多少人?(每个割草人的割草速度都相同)马塔尼茨基的算术题有一个雇主约定每年给工人12元钱和一件短衣,工人做工到7个月想要离去,只给了他5元钱和一件短衣。这件短衣值多少钱多少蜜蜂公园里有甲、乙两种花,有一群蜜蜂飞来,在甲花上落下1/5,在乙花上落下1/3,如果落在两种花上的蜜蜂的差的三倍再落在花上,那么只剩下一只蜜蜂上下飞舞欣赏花香,算算这里聚集了多少蜜蜂?及时梨果元代数学家朱世杰于1303年编著的四元玉鉴中有这样一道题目:九百九十九文钱,及时梨果买一千,一十一文梨九个,七枚果子四文钱。问:梨果多少价几何?此题的题意是:用999文钱买得梨和果共1000个,梨11文买9个,果4文买7个。问买梨、果各几个,各付多少钱?两鼠穿墙我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺。大鼠日自倍,小鼠日自半。问何日相逢,各穿几何?今意是:有厚墙5尺,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙。大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半。问几天后两鼠相遇,各穿几尺?隔壁分银只闻隔壁客分银,不知人数不知银,四两一份多四两,半斤一份少半斤。试问各位能算者,多少客人多少银?(注:旧制1斤16两,半斤8两)李白打酒李白街上走,提壶去打酒遇店加一倍,见花喝一斗;三遇店和花,喝光壶中酒。试问酒壶中,
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