2-电荷与静电场

电荷与静电场 麦克斯韦方程组 在真空中 没有变化的磁场时 e0为真空介电常数 电场的散度起源于电荷 电场无旋 电荷与静电场 1 基本概念 自学 正电荷 负电荷 点电荷 电量 电量的量子化电荷守恒定律核力 电磁力 万有引力 基本概念 2 电场 静电场当物体带电时 它的周围就产生电场 电场是传递电场力的介质 有限速度 3 电场强度 试探电荷 电量很小的点电荷 电场强度 大小等于单位电荷在该点所受静电力的大小 方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致 单位 N C或V m 电场的高斯定理 高斯定理的积分形式 高斯定理 通过任意闭合曲面S的电通量 等于该闭合曲面所包围的电量除以真空介电常数e0 而与S以外的电荷无关 高斯定理的微分形式 高斯定理的物理图像 电力线 按如下规则定义电力线 1 从正电荷起 围绕其做一很小的球面 从此球表面均匀发出正比于其电荷量的电力线 电力线方向背离正电荷 2 根据电力线所处位置的电场强度方向延伸电力线 3 除非遇到电荷 电力线不应该中断 4 遇到电荷时 按比例增加或减少电力线的根数 电力线的性质 1 起于正电荷 或无限远处 止于负电荷 或无限远 不会在没有电荷处中断 根据以上规则作出的电力线将具有如下性质 2 不闭合 只对静电场成立 3 电力线切线方向即为场强方向 4 两条电力线不会相交 5 做一 流管 根据高斯定理可知 电力线疏密正比于场强 6 电通量即为电力线根数 7 满足高斯定理 电通量的电力线图像 通过面元dS电通量定义为 则通过曲面S的电通量为 匀强电场 由于电力线疏密程度表示电场强度 即通过单位面积的电力线的条数 以匀强电场为例 比较可得 所以 电通量代表了通过截面的电力线的条数 注意 球外电荷对曲面S上的电场强度有贡献 但对通过S的总电通量无贡献 高斯定理的物理图像 空间没有电荷的地方 散度为零 有电荷的地方 散度非零 有电力线发出 非零散度 场 电力线 的源 电荷 高斯定理的应用 点电荷电场 用一个半径为r的球面包围点电荷 根据曲面积分非零与对称性 球面处的电场方向应该垂直于球面向外 其大小为 写成矢量形式 另外一个电荷受力为 库仑定律 其中 只适用于电荷低速运动情况 库仑定律 1 2 O 库仑定律 例 如图 点电荷q位于半径为a的球的球心 计算通过闭合球面S的电通量 解 图中点电荷产生的电场为 方向沿半径方向 因球面的法向也沿半径方向 即 于是 验证电场的高斯定理 例 一无限长均匀带电细棒 其线电荷密度为l 求距离细棒a处的电场强度 根据高斯定理 于是 高斯定律的应用 首先进行对称性分析 例 一个无限大带电平板 电荷面密度为s 求空间电场 例 两个无限大带电平行平板 相互距离为d 电荷面密度为s 求空间电场 例 电荷均匀分布在一个半径为R的球形区域内 体电荷密度为r 求空间各处的电场强度 对r R的球内电场 对r R的球外电场 r 试探电荷q0受到位于原点的电荷q的作用力为 根据电场强度的定义 点电荷q在空间产生的电场 大小正比于q 并随距离的平方衰减 电场的方向决定于电荷的正负号 1 单个点电荷的电场 直接应用库仑定律计算 2 多个点电荷的电场 各个空间电荷对试探电荷的合作用力为 根据电场强度定义 叠加原理 3 任意带电体产生的电场 应用叠加原理 对体电荷分布 对面电荷分布 对线电荷分布 矢量和 O 注意是r 不是r dq dq 直角坐标系内 可把矢量形式化为分量形式计算 例 如图电偶极子 求两电荷连线的中垂面上任意一点P的电场强度 E E E r 当Q点离开很远时 有r l 定义电偶极子 或称电偶极矩 方向与电偶极子相反 电偶极子的电场强度是立方衰减的 注意 1 l很小2 方向从负电荷指向正电荷 q q q l 首先进行对称性分析 例 如图 求P处的电场强度 其中a a b为已知 解 把坐标原点取在P点下方 一小段微元dx在P处产生的电场为 因 所以 类似的 当细棒为无限长时 和前面结果相同 它所带电量为 例 求一均匀带点圆盘在其轴线上产生的电场强度 设圆盘半径为R 面密度为s 选取极坐标系 一无限小面元为 解 首先对称性分析 它在轴线上x处产生的场强为 j 其中x分量为 r x 1 当R x时 2 当R x时 匀强电场 和高斯定理结果相同 相当于一个点电荷 静电场的环路定理 静电场的环路定理 电场对电荷做的功和路径无关 一个只和位置有关的量 称为电势 电势 因为积分 和路径无关 所以可定义 或用积分形式 即 如定义P处为势能零点 则 电势反应了场本身的性质 和场内的物体无关 电势 一般取无限远处为电势零点 上式成为 积分从待求点到无限远处 电场中某点的电势 等于把单位正电荷从该点移到无穷远处电场力作的功 电场力对试探电荷q0做的功为 与运动路径无关 只和始点与终点的位置有关 以点电荷的电场为例 电场是保守场的另一个证明 静电场中单位正电荷具有的电势能等于该点的电势 电势能 一个电荷q在电场中P点的电势能W p 定义为 把电荷从该点移动到势能零点处电场力做的功 一般地 电势和电势能有如下关系 电势的单位 单位 电势能的单位 焦耳 J 如果以无限远处为势能零点 则 比较 求 放置原点的单个电荷q产生电场的电势 当选择无限远处为电势零点时 正电荷电场的电势恒为正值 负电荷电场电势恒为负值 单个电荷产生电场的电势 电势V 电势能 沿着电力线的方向电势总是降低 而电势能未必 电势满足叠加原理 设有N个电荷 它们在空间产生的电场的电势为 即所有电荷产生的电势等于各个电荷产生的电势的和 5 任意带电体产生的电势 由于电势满足叠加原理 所以 对体电荷 对面电荷 对线电荷 注意是r 不是r dq 电势 等势面 定义 把电场中电势相等的点连起来所形成的一系列曲面 称为等势面 性质 1 电荷沿等势面移动 电场力不作功 2 等势面处处与电力线正交 1 证明 当电荷在电场中移动时 电场力作的功等于电势能的减小 即 如果电荷沿等势面移动 则 2 证明 等势面处处与电力线正交 因沿着等势面移动电场力不作功 如沿着等势面移动电荷 即与等势面相切 上式说明与垂直 于是和等势面垂直 电势与电场强度的关系 根据电势定义 有 由梯度的定义 有 比较上面两式可知 其中 E V V E 例 半径为R的球面均匀带电 总电量为q 求空间电势分布 解1 直接积分 例 半径为R的球面均匀带电 总电量为q 求空间电势分布 解2 考虑到体系有球对称性 根据高斯定理 当r R时 当r R时 空间r R处的电势为 空间r R处的电势为 即球壳内处处等势 例 两个同心的均匀带电球壳 所带电量分别是qA和qB RA RB 求空间各处电势 RB RA 区域1 区域2 区域3 例 有一根无限长带电细线 线密度为 求距导线r处一点a的势 根据前面的结果 以b点为势能零点 b距离导线rb 无意义 E 例 计算偶极子电场中任意点的电势 解 P处的电势为 平方衰减 偶极子产生的电场强度为 当q p 2时 和前面结果相同 计算场强分布的三种办法 1 库仑定律 场强叠加原理2 电荷对称性分布 高斯定理3 电势梯度 计算电势的办法 1 单电荷或电荷微元电势 叠加原理2 先计算场强 再积分 带电粒子在静电场中的运动 1 力矩 2 电偶极子 1 点电荷q在电场中受力 2 合力 力矩总使偶极子转向平行电场方向 结论 在不均匀外场中 电偶极子总是会被拉向场强增大方向 电偶极子在电场中的电势能 电偶极子总是倾向于和电场平行 并向电场增大位置运动 电场的功 根据电势能的定义 场中粒子的电势能的增量等于电场对粒子所作的功的负值 设电荷在P点电势和电势能分别为UP和WP 在Q点电势和电势能分别为UQ和WQ 于是当粒子从P点移动到Q点 电场力做的功为 作业 第71页6 14 16 17 18 21 27 30 35 43 45 46不要求计算出具体数值 END 三 高斯定理 通过任意闭合曲面S的电通量 等于该闭合曲面所包围的电量除以真空介电常数e0 而与S以外的电荷无关 即 分情况证明 1 点电荷q被半径为a的球面包围 证明见前例 2 点电荷q被任意闭合曲面S包围 根据电力线的性质可证 3 任意闭合曲面包围多个点电荷q1 q2 qn 即电通量满足叠加原理 由于 可得 高斯定理正确 4 电荷q位于闭合曲面S之外 根据电力线的性质可证 注意 球外电荷对曲面S上的电场强度有贡献 但对通过S的总电通量无贡献 5 n个电荷中的k个位于曲面S内部 n k个位于外部 6 任意曲面S包围了一个任意带电体 W为曲面包围的体积 高斯定律的微分形式 根据矢量分析可知 于是 由于上式中体积分的任意性可得 W为曲面包围的体积 其中 意义 电场的源起于电荷 补充 关于算符的运算规则 算符定义为 静电场的环路定理 只对静电场成立 因为静电场对位于其中的