同济【弹性力学试卷】2008年期终考试A-本科

同济大学课程考核试卷（A卷）2008 2009 学年第 一 学期命题教师签名： 审核教师签名：课号： 课名： 弹性力学 考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( )试卷年级 专业 学号 姓名 得分 一是非题（正确，在括号中打；该题错误，在括号中打。）(共30分，每小题2分)1. 三个主应力方向必定是相互垂直的。（ ）2. 最小势能原理等价于平衡方程和面力边界条件。（ ）3. 轴对称的位移对应的几何形状和受力一定是轴对称的。（ ）4. 最大正应变是主应变。（ ）5. 平面应力问题的几何特征是物体在某一方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸。（ ）6. 最大剪应力对应平面上的正应力为零。（ ）7. 弹性体所有边界上的集中荷载均可以按照圣维南原理放松处理边界条件。（ ）8. 用应力函数表示的应力分量满足平衡方程，但不一定满足协调方程。（ ）9. 经过简化后的平面问题的基本方程及不为零的基本未知量(应力、应变和位移)均为8个。（ ）10. 运动可能的位移必须满足已知面力的边界条件。（ ）11. 实对称二阶张量的特征值都是实数。（ ）12. 对单、多连通弹性体，任意给出的应变分量只要满足协调方程就可求出单值连续的位移分量。（ ）13. 若整个物体没有刚体位移，则物体内任意点处的微元体都没有刚体位移。（ ）14. 出现最大剪应力的微平面和某两个应力主方向成45度角。（ ）15. 对任意弹性体，应力主方向和应变主方向一致。（ ）二分析题（共20分，每小题10分）1已知应力张量为，(1) 设与平面垂直的任意斜截面的法向矢量为，试求该斜截面上的正应力与剪应力。(2) 求最大和最小剪应力值。2.已知应变张量:试求:(1)主应变;(2)主应变方向;(3)应变不变量三计算题（共50分）1、(13分) 如图1所示为一等截面简支梁，抗弯刚度为，长为，受均布荷载和集中力作用，试采用瑞利李兹(Rayleigh-Ritz) 法或者伽辽金(Galerkin)法（二法只选一种）求挠度函数。提示：挠度函数可假设为：，其中。图12、（10分）证明应力函数可以满足双调和方程，并求出相对应的应力分量。设有内半径为a，外半径为b的圆环发生了上述应力(如图2)，试求出边界上的面力，并图示之。abxy 图23、(13分)如图3所示悬臂梁承受均布荷载q的作用（hl），设该问题的应力函数为，试求出其应力分量。xyOql1h图34、(14分)已知楔形的悬臂梁在的边界上受载荷作用（如图4），试计算各应力分量。注：设应力函数为rq图4同济大学本科课程期终考试统一命题纸 A卷 标准答案20082009学年第 一 学期一是非题（认为该题正确，在括号中打；该题错误，在括号中打。）(每小题2分)1. 三个主应力方向必定是相互垂直的。（）2. 最小势能原理等价于平衡方程和面力边界条件。（）3. 轴对称的位移对应的几何形状和受力一定是轴对称的。（）4. 最大正应变是主应变。（）5. 平面应力问题的几何特征是物体在某一方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸。（）6. 最大剪应力对应平面上的正应力为零。（）7. 弹性体所有边界上的集中荷载可以按照圣维南原理放松处理边界条件。（）8. 用应力函数表示的应力分量满足平衡方程，但不一定满足协调方程。（）9. 经过简化后的平面问题的基本方程及不为零的基本未知量(应力、应变和位移)均为8个。（）10. 运动可能的位移必须满足已知面力的边界条件。（）11. 实对称二阶张量的特征值都是实数。（）12. 对单、多连通弹性体，任意给出的应变分量只要满足协调方程就可求出单值连续的位移分量。（）13. 若整个物体没有刚体位移，则物体内任意点处的微元体都没有刚体位移。（）14. 出现最大剪应力的微平面和某两个应力主方向成45度角。（）15. 对任意弹性体，应力主方向和应变主方向一致。（）二分析题（共20分，每小题10分）1(1) 利用方程，即得 再利用，可得 (6分)(2) 由于应力张量的剪应力分量全为零，因此3个正应力均为主应力。又由于最大主应力为，最小主应力为，因此最大最小剪应力分别为和，它们所对应的微分面法矢量与轴垂直，且与轴和轴的夹角（不计方向）均为45度。 (4分)2(1)由 解得主应变为 (4分)(2)主应变方向由得由得由得 (4分)(3)应变不变量为 (2分)三计算题（共50分）1、采用瑞利李兹 (Rayleigh-Ritz) 法（1） 设挠度函数为，其中。（2） 检查位移边界条件：当时，即时，满足； 当时，即时，也满足。（2分）（3） 求梁的总势能 （6分）（4） 按采用瑞利李兹 (Rayleigh-Ritz) 法，令，即 解得： ，即 解得： 于是挠度近似函数为：（5分）2、（1）证明应力函数自动满足双调和方程（4分）（2）（6分）内边r=a处 外边r=b处 3、（1）将代入双调和方程：可作为应力函数，(3分)（2）(3分)（3）边界条件将、代入上述边界条件可解出各系数(5分)（4）将