线性代数 第四章(3-节)

3 线性方程组解的结构定义2 若一个线性方程组的常数项都等于0，那么这个线性方程组叫作齐次线性方程组.我们看一个齐次线性方程组 (4.4)这个方程组总是有解，显然就是方程组(4.4)的一个解，这个解叫做零解，若方程组还有其他解，那么这些解就叫做非零解.我们常常希望知道，一个齐次线性方程组有没有非零解，由定理3我们就立即得到.定理4一个齐次线性方程组（4.4）有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n.定义3 设是齐次线性方程组(4.4)的r个解向量，如果满足下列条件：(1) 线性无关；(2) 方程组(4.4)的任意一个解向量都能由线性表出.则称为齐次线性方程组(4.4)的基础解系.易见，基础解系可看成解向量组的一个极大线性无关组.定理5 齐次线性方程组（4.4）若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩.证 设齐次线性方程组(4.4)的系数矩阵为由定理4知秩rn.对A进行行初等变换，A可化为与之对应的方程组为 （4.5）令为自由未知量，得 (4.6)我们取由(4.6)可得从而得到(4.4)的n-r个解下面我们证明就是(4.4)的基础解系.首先，这n-r个解向量显然线性无关.其次，设()是方程组(4.6)的任意解，代入方程组(4.6)得于是，因此方程组(4.6)的每一个解向量，都可以由这n-r个解向量线性表示，所以是方程组(4.6)的一个基础解系，由于方程组(4.4)与方程组(4.6)同解，所以也是方程组(4.4)的基础解系.定理5实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的一种方法.推论(齐次线性方程组解的结构定理)齐次线性方程组（4.4）若有非零解，则它的通解就是基础解系的线性组合.例6 解齐次线性方程组解 齐次线性方程组的系数矩阵为对A进行行初等变换，得由此可看出，4，故有非零解，其对应的方程组是把看作自由未知量，令得从而得基础解系由此，得方程组的通解为(其中为任意实数).例7 取何值时，方程组有非零解，并求其通解.解 由于所给方程组是属于方程个数与未知量的个数相同的特殊情形，可以通过判断其系数行列式是否为零，来确定方程组是否有零解.其系数行列式为当|A|=0，即=-1，4时，有非零解.将=-1代入原方程，得方程组的系数矩阵得同解方程组把看作自由未知量，令=2得从而得基础解系所以，方程组的通解为x=k(k为任意实数).同理，当=4时，可求得方程组的通解为(k为任意实数).例8 设B是一个三阶非零矩阵，它的每一列是齐次方程组的解，求的值和|B|.解由于B是一个三阶非零矩阵，所以B中至少有一列向量不是零向量，又由于B的每一列都是上面齐次方程组的解，故该齐次方程组有非零解，从而系数行列式所以=1.当=1时，秩R（A）=2从而基础解系中只含有一个解向量，因而B的三个列向量必线性相关，得|B|=0.下面讨论非齐次线性方程组.线性方程组 （4.7）称为非齐次线性方程组(不全为0).如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(4.7)的导出方程组，简称导出组.非齐次线性方程组(4.7)的解与它的导出组的解之间有如下关系.定理6 (非齐次线性方程组解的结构定理)如果线性方程组(4.7)有解，那么方程组(4.7)的一个解与它的导出方程组的解之和是方程组(4.7)的一个解，方程组(4.7)的任意解都可写成方程组(4.7)的一个特解与它的导出方程组的解之和.证 设则方程组(4.7)可表示为Ax=b，它的导出组可表示为.设是方程组(4.7)的一个特解，是它的导出组的一个解，于是有那么所以是方程组(4.7)的一个解，设是方程组(4.7)的任意解，那么.因此是导出组的一个解，从而.由定理可知，对于非齐次线性方程组(4.7)在时，我们只须先求得它的一个特解，然后再求它的导出组的通解，由此便可得(4.7)的全部解.一般求(4.7)的一个特解与求它的导出组的通解可同时进行.例9 试求的全部解.解 对增广矩阵进行行初等变换由此可知系数矩阵与增广矩阵的秩都是2，故有解.由前述知对应的齐次线性方程组的基础解系(去掉常数列)为令，得非齐次线性方程组的一个特解为(不能忽略常数列)，于是它的全部解（一般解）为其中为任意实数.注：在求方程组的特解与它的导出组的基础解系时，一定要小心常数列(项)的处理!最好把特解与基础解系中的解分别代入两个方程组进行验证.例10 设线性方程组试就p,t讨论方程组的解的情况，有解时并求出解.解 对增广矩阵进行行初等变换(1)当（p-1）t0(即p1,t0)时，有惟一解(2)当p=1，且1-4t+2pt=1-2t=0即t=时，方程组有无穷多解，此时于是方程组的一般解为 (k为任意常数).(3)当p=1，但1-4t+2pt=1-2t0，即t12时，方程组无解.(4)当t=0时，1-4t+2pt=10，故方程组也无解.习 题 四1. 用消元法解下列方程组.(1) (2) 2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1) (2) (3) (4) 3. 解下列非齐次线性方程组.(1) (2) (3) (4) 4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.车间消耗系数车间123出厂产量（万元）总产量（万元）10.10.20.4522x120.20.20.30x230.500.1255.6x3表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.5. 取何值时，方程组 (1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.6. 齐次方程组当取何值时，才可能有非零解?并求解.7.当a，b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.（1） (2) 8. 设，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=b的解，且R（A）=1及求：方程组Ax=b的通解.10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.(1) (2) 11.设向量组=（1，0，2，3），=（1，1，3，5），=（1，-1，a+2，1），=（1，2，4，a+8），=（1，1，b+3，5）问：（1） a，b为何值时，不能由，线性表出？（2） a，b为何值时，可由，惟一地线性表出？并写出该表出式.（3） a，b为何值时，可由，线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式.12. 证明：线性方