参数分离虽巧-分类讨论不笨

参数分离虽巧，分类讨论不笨一遇到对于某个变量恒成立，求参数取值范围的问题，同学们总是想到参数分离法，即将参数移到一边，变量移到另一边，然后应用这样的结论：，转化为求函数在某个区间的最值问题。这方法虽巧，它直接明了，击中要害，但对于复杂的函数求最值，就遇到了困难，那我们就应该转换思路，用另一种方法分类讨论法来解决，它也不笨。下面举几道高考题说明。例1、（2006年全国卷）设函数，若对所有的都有成立，求的取值范围。分析：有大部分同学立刻想到分离参数，即转化为恒成立，应用函数的导数求最小值。但遇到极值点求不出陷入困境，解不下去。如果移项转化为恒成立，再应用导数，对进行讨论就简单了。解：，（1） 若则恒成立，所以在上是增函数，即（2） 若则由，故当时不恒成立即不恒成立。综合（1）、（2），所以的取值范围是。例2、（2007年全国卷理）设函数（1） 求证；（2）若对所有的都有，求的取值范围。分析：（1）略 （2）由于成立，当时，然后对求导，再求最值，这是最容易想到的方法，但解方程有困难；如果移项对进行讨论，就豁然开朗了。解：（2）令则 当时 即在上为增函数，故 又 所以恒成立；当时在上有增有减，不恒成立即不成立。综合以上可得：的取值范围是。例3、（2010年新课标全国卷）设函数（1），求的单调区间；（2）当时，求的取值范围。分析：（1）略 （2）时显然成立，当时对右边求导，求极值但遇到了困难，如果应用分类讨论就迎刃而解了。解：当时，令则， 当时即在上是增函数，则又即也即恒成立。 当时由也即在上有增有减，不恒成立，也就不恒成立。综上的取值范围是总结：在解决实际问题时，我们总喜欢找点技巧很快解决，但有时事与愿违寸步难行，由此还是规劝同学要从最基本常用的方法考虑，不能总怕烦，有时可能并不烦，还有意想不到的效果呢！下面给出两道供大家练习：1、 已知函数（且为常数）若对所有的都有，求的取值范围。2、 已知函数，若在内恒成立，求的取值范围。答案：1、 2、107.（全国理21）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围。解：（），由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（）由（）知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，。而，故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）设0k0,故 (x）0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）1()讨论f(x)的单调性;()若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。 解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解： （I） 由知，当时，故在区间是增函数； 当时，故在区间是减函数； 当时，故在区间是增函数。 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。 （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。 由假设知 即 解得 1a0，知在R上恒成立，因此由此并结合，知88.（北京理18）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，都有，求的取值范围。解：(1)，令得当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增(2) 当时，；所以不可能对，都有；当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有即，故对，都有时，的取值范围为。112.（陕西理21）设函数定义在上，导函数，（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论【解】（1），（为常数），又，所以，即，；，令，即，解得，当时，是减函数，故区间在是函数的减区间；当时，是增函数，故区间在是函数的增区间；所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值是（2），设，则，当时，即，当时，因此函数在内单调递减，当时，=0，；当时，=0， （3）满足条件的不存在证明如下：证法一 假设存在，使对任意成立，即对任意有 但对上述的，取时，有，这与