高中数学1 平行线等分线段定理新人教版选修4-1.doc

高二数学选修4-1学案1 平行线等分线段定理【教学目标】1识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算；3培养学生化归的思想、运动联系的观点。【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用【教学难点】平行线等分线段定理的证明【教学过程】一、实际问题，导入新课1问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？ABCDNM2折法：（学生动手） 先将矩形（ABCD）纸对折， 得折痕MN（如图1）； 再把B点叠在折痕MN上，得到RtBEP（如图2）； 最后沿EP折叠，便可得到等边BEF（如图2）。BCDNPEGF （如图1）3导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。（如图2）二、复习引导，发现定理 1复习提问 （1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？ （2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？2引导猜想引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。三、归纳探究，证明定理（图1） 1归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1写出“已知”和“求证”吗？ 已知：直线a / b / c，AB = BC（如图1） 求证：AB = BC。2探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？ （2）四边形ACCA 是什么四边形？ （3）在梯形中常作什么样的辅助线？（图2）DE3证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。 证法一：（略）参见课本P3的证法。证法二：过A、B 点作AC的平行线，分别交直线b、c 于D、E（如图2）。（以下证明略）注意1结论与直线AC 的位置无关；注意2对于3条以上的平行线组，可用同样的方法证明（说明证法二更具一般性）。平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。 4定理： 推理形式：a / b / c，AB = BC， AB = BC。四、图形变式，引出推论 1隐线变式，得推论1在图1中，隐藏直线a、b、c，得梯形ACCA（如图3）。这时定理的条件、结论各是什么？条件：在梯形ACCA中，AB=BC，AA / BB / CC。 结论：AB = BC。推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。 （图3） （图4） （图5） （图6） 2运动变式，得推论2既然定理的结论与被截直线的位置无关，将直线AC 平行向左移动，得到变式图形4。这时定理在ACC 中的条件、结论各是什么？条件：在ACC 中，BB /CC，AB=BC。 结论：AB = BC。推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。3变换图形，深化理解如果将直线AC 继续向左平行移动（如图5、6），这时定理的条件、结论有什么变化？五、运用新知，解决问题 1应用定理，等分线段（1）已知线段AB，你能它三等分吗？依据是什么？ （图7） 已知：线段AB（如图7）。 求作：线段AB的三等分点。 作法： 作射线AC在射线AC上顺次截取AD=DE=EF连结BF （图8）过点D、E分别作BF的平行线分别交AB于点G、H，点G、H为所求的三等分点注作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。 （2）你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？ 2应用推论，分解图形例1已知：如图9，在ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，CM、AM分别交BD于E、F。 求证：BE = EF = FD。 分析：（1）根据条件，你能得到哪些平行线？ （图9） （2）在图9中，有哪些与推论有关的基本图形？ 证明：（略。过程由学生自己完成）例2已知：如图10，ABCD的对角线AC、BD交于点O， 过点A、B、C、D、O分别作直线a的垂线，垂足分别为A、B、C、D、O。 求证：AD = BC。 分析：（1）你能在图10中找到几个与推论有关的基本图形？ （图10） （2）在直线a上，有哪些线段是相等的？根据是什么？ 证明：（略。过程由学生自己完成） 思考：若去掉条件“AC、BD交于点O”，结论是否成立？ 3你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？六、课堂小结，提炼升华1理解一个定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。2掌握两个推论推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。3了解三种思想化归思想定理证明是通过作辅助线，将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决；两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。 运动思想两个推论是通过定理图形运动到特殊位置得到的，因此推论是定理的特殊表现形式。辩证思想定理是由特殊（三条平行线）推广到一般； 应用定理则是将一般情况运用到特殊（具体）问题之中。七、达标检测，回授效果1已知：如图11，在梯形ABCD中，AB/CD，E是CD的中点，EF/BC交AB于F，FG/ BD交AD于G。 求证：AG = DG。 2如图12，在ABC中，D是AB的中点，DE/BC交AC于E， （图11） EF/AB交BC于F。 （1）求证：BF=CF； （2）图中与DE相等的线段有 ； （3）图中与EF相等的线段有 ； （图12）（4）若连结DF，则DF与AC的位置关系是 ，数量关系是 。 八、课后作