《一些特殊曲线》PPT课件

5旋轮线6旋轮线也叫摆线7旋轮线是最速降线8心形线9星形线10圆的渐伸线11笛卡儿叶形线12双纽线13阿基米德螺线14双曲螺线 主目录 1 25 15 16 2 3 1曲边梯形的面积 4曲边扇形的面积 19平行截面面积为已知的立体的体积 20半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截 得一圆柱楔 求其体积 21求以半径为R的圆为底 平行且等于底圆直径的线段为顶 高为h的正劈锥体的体积 22旋转体体积 y f x 绕x轴 23旋转体体积 x g y 绕y轴 24旋转体体积 柱壳法 25旋转体的侧面积 18 17 求由双纽线 内部的面积 元素法 1化整为零 2以直代曲 以常代变 3积零为整 y f x 分法越细 越接近精确值 1 曲边梯形的面积 f i 元素法 4取极限 y f x 令分法无限变细 分法越细 越接近精确值 1化整为零 2以直代曲 以常代变 3积零为整 1 曲边梯形的面积 f i 元素法 4取极限 y f x 令分法无限变细 分法越细 越接近精确值 1化整为零 2以直代曲 以常代变 3积零为整 1 曲边梯形的面积 f i S S 2 2 4 4 4 解方程组 得交点 8 4 2 2 问题 选谁为积分变量 3 3 3 得两切线的斜率为 故两切线为 其交点的横坐标为 S l1 l2 d o d r 元素法 1取极角 为积分变量 其变化区间为 以圆扇形面积近似小曲边扇形面积 得到面积元素 4 曲边扇形的面积 dS S 3作定积分 r a 圆上任一点所画出的曲线 5 旋轮线 一圆沿直线无滑动地滚动 来看动点的慢动作 圆上任一点所画出的曲线 一圆沿直线无滑动地滚动 5 旋轮线 2a 2 a a x a t sint y a 1 cost t的几何意义如图示 t a 当t从0 2 x从0 2 a 即曲线走了一拱 a 圆上任一点所画出的曲线 5 旋轮线 一圆沿直线无滑动地滚动 x a t sint y a 1 cost 将旋轮线的一拱一分为二 并倒置成挡板 6 旋轮线也叫摆线 单摆 x a t sint y a 1 cost 将旋轮线的一拱一分为二 并倒置成挡板 单摆 6 旋轮线也叫摆线 单摆 6 旋轮线也叫摆线 x a t sint y a 1 cost 将旋轮线的一拱一分为二 并倒置成挡板 两个旋轮线形状的挡板 使摆动周期与摆幅完全无关 在17世纪 旋轮线即以此性质出名 所以旋轮线又称摆线 单摆 6 旋轮线也叫摆线 x a t sint y a 1 cost 将旋轮线的一拱一分为二 并倒置成挡板 x a t sint B A 答案是 当这曲线是一条翻转的旋轮线 最速降线问题 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B 当曲线是什么形状时所需要的时间最短 y a 1 cost 7 旋轮线是最速降线 生活中见过这条曲线吗 x a t sint B A 答案是 当这曲线是一条翻转的旋轮线 最速降线问题 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B 当曲线是什么形状时所需要的时间最短 y a 1 cost 生活中见过这条曲线吗 7 旋轮线是最速降线 x a t sint B A 答案是 当这曲线是一条翻转的旋轮线 最速降线问题 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B 当曲线是什么形状时所需要的时间最短 y a 1 cost 生活中见过这条曲线吗 7 旋轮线是最速降线 x a t sint B A 答案是 当这曲线是一条翻转的旋轮线 最速降线问题 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B 当曲线是什么形状时所需要的时间最短 y a 1 cost 生活中见过这条曲线吗 滑板的轨道就是这条曲线 7 旋轮线是最速降线 a a 一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动 动圆圆周上任一点所画出的曲线 8 心形线 圆外旋轮线 a 来看动点的慢动作 一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动 动圆圆周上任一点所画出的曲线 8 心形线 圆外旋轮线 a a a 2a 来看动点的慢动作 一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动 动圆圆周上任一点所画出的曲线 圆外旋轮线 8 心形线 2a r a 1 cos 0 2 0 r 2a P r 一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动 动圆圆周上任一点所画出的曲线 圆外旋轮线 8 心形线 a a 一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动 动圆圆周上任一点所画出的曲线 9 星形线 圆内旋轮线 a a 来看动点的慢动作 一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动 动圆圆周上任一点所画出的曲线 9 星形线 圆内旋轮线 a a 一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动 动圆圆周上任一点所画出的曲线 来看动点的慢动作 9 星形线 圆内旋轮线 a a 0 2 或 P 一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动 动圆圆周上任一点所画出的曲线 9 星形线 圆内旋轮线 一直线沿圆周滚转 无滑动 直线上一个定点的轨迹 10 圆的渐伸线 a 一直线沿圆周滚转 无滑动 直线上一个定点的轨迹 a 10 圆的渐伸线 再看一遍 a 一直线沿圆周滚转 无滑动 直线上一个定点的轨迹 10 圆的渐伸线 a 一直线沿圆周滚转 无滑动 直线上一个定点的轨迹 10 圆的渐伸线 a 0 x M t t a at x y 试由这些关系推出曲线的方程 一直线沿圆周滚转 无滑动 直线上一个定点的轨迹 10 圆的渐伸线 1 曲线关于y x对称 2 曲线有渐进线x y a 0 分析 3 令y tx 得参数式 故在原点 曲线自身相交 11 狄卡儿叶形线 4 x y a 0 曲线关于y x对称 曲线有渐近线x y a 0 11 狄卡儿叶形线 P r 曲线在极点自己相交 与此对应的角度为 距离之积为a2的点的轨迹 直角系方程 12 双纽线 所围面积 由对称性 12 例 求双纽线 0 r r a 曲线可以看作这种点的轨迹 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动 从极点射出半射线 13 阿基米德螺线 0 r 曲线可以看作这种点的轨迹 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动 从极点射出半射线 13 阿基米德螺线 r a 0 r 曲线可以看作这种点的轨迹 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动 从极点射出半射线 再看一遍 请问 动点的轨迹什么样 13 阿基米德螺线 r a 0 r 13 阿基米德螺线 r a 0 r r a 13 阿基米德螺线 0 r r a 13 阿基米德螺线 r 这里 从0 8 r a 0 2 a 每两个螺形卷间沿射线的距离是定数 13 阿基米德螺线 0 r 8 当 从0 r a 13 阿基米德螺线 r 0 这里 从0 8 14 双曲螺线 r 0 当 从0 8 14 双曲螺线 15 2 S 1 cos 3 r 3cos 由3cos 1 cos 得交点的坐标 S 2 16 1 令cos2 0 由sin 0 联立后得交点坐标 S 2 17 1 s1 s2 s S 1 cos 求由双纽线 由对称性 18 a 内部的面积 双纽线化成极坐标 令r 0 S 4 A x dV A x dx x 已知平行截面面积为A x 的立体 a V 以下是几个例子 19 平行截面面积为已知的立体的体积 b 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截 得一圆柱楔 求其体积 R o x y 20 o y R x R R 20 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截 得一圆柱楔 求其体积 o y R x x y R R ytan 问题 还有别的方法吗 x y 截面积 A x 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截 得一圆柱楔 求其体积 20 o y R x R R 方法2 20 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截 得一圆柱楔 求其体积 o y R x R R 方法2 A B C D BC DC 截面积 S y x y 2x ytan S y 20 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截 得一圆柱楔 求其体积 R x o y R 21 求以半径为R的圆为底 平行且等于底圆直径的线段为顶 高为h的正劈锥体的体积 R x o x A x A x V R y 21 求以半径为R的圆为底 平行且等于底圆直径的线段为顶 高为h的正劈锥体的体积 y f x a b 曲边梯形 y f x x a x b y 0绕x轴旋转 22 求旋转体体积 f x a b x 111111111 曲边梯形 y f x x a x b y 0绕x轴旋转 22 求旋转体体积 V x g y c d 曲边梯形 x g y x 0 y c y d绕y轴 23 求旋转体体积 x g y c d 曲边梯形 x g y x 0 y c y d绕y轴 23 求旋转体体积 x g y c d y 23 求旋转体体积 曲边梯形 x g y x 0 y c y d绕y轴 a b f x y x 0 24 求旋转体体积 柱壳法 曲边梯形y f x x a x b y 0绕y轴 x dx x a b y x 0 内表面积 dx 24 求旋转体体积 柱壳法 曲边梯形y f x x a x b y 0绕y轴 dV 2 xf x dx f x b y x 0 a 24 求旋转体体积 柱壳法 曲边梯形y f x x a x b y 0绕y轴 dV 2 xf x dx f x b y x 0 a 24 求旋转体体积 柱壳法 曲边梯形y f x x a x b y 0绕y轴 dV 2 xf x dx f x 0 y 0 x b x a dx 24 求旋转体体积 柱壳法 曲边梯形y f x