第1课时两个计数原理教师版

1 计数原理 概率与统计计数原理 概率与统计 第第 1 1 课时课时 两个计数原理两个计数原理 考纲要求考纲要求 1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 学情自测学情自测 1 辨析题 1 在分类加法计数原理中 两类不同方案中的方法可以相同 2 在分类加法计数原理中 每类方案中的方法都能直接完成这件事 3 在分步乘法计数原理中 每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 4 在分步乘法计数原理中 事情是分两步完成的 其中任何一个单独的步骤都能完成这件 事 5 教材习题改编 三个人踢毽 互相传递 每人每次只能踢一下 由甲开始踢 经过 5 次 传递后 毽又被踢回给甲 则不同的传递方式共有 10 种 6 用数字 2 3 组成四位数 且数字 2 3 至少都出现一次 这样的四位数共有 14 个 答案 答案 1 1 4 4 错 错 2 2 3 3 5 5 6 6 对 对 2 有不同的语文书 9 本 不同的数学书 7 本 不同的英语书 5 本 从中选出不属于同一学 科的书 2 本 则不同的选法有 C A 21 种 B 315 种 C 143 种 D 153 种 3 已知 a 1 2 3 b 0 1 3 4 r 1 2 则方程 x a 2 y b 2 r2所表示的不同的圆 的个数有 A A 3 4 2 24 B 3 4 2 14 C 3 4 2 14D 3 4 2 9 4 5 位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的报名方 法有 D A 10 种 B 20 种 C 25 种 D 32 种 5 某通讯公司推出一组手机卡号码 卡号的前七位数字固定 从 0000 到 9999 共 10 000 个号码 公司规定 凡卡号的后四位带有数字 4 或 7 的一律作为 优惠卡 则这组号码中 优惠卡 的个数为 C A 2 000 B 4 096 C 5 904 D 8 320 解析解析 若卡号后四位数没有 4 且没有 7 这样的卡的个数为 84 4 096 优惠卡的个数为 10 000 4 096 5 904 个 故选 C 6 在 1 到 20 这 20 个整数中 任取两个相减 差大于 10 共有 45 种取法 7 4 张卡片的正 反面分别有 0 与 1 2 与 3 4 与 5 6 与 7 将其中 3 张卡片排放在一起 2 可组成 个不同的三位数 N 7 6 4 168 个数 在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理 提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事 应该用分类加法计数原 理 如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分 就用分步乘法计数原理 互互 动动 探探 究究 探究一探究一 两个计数原理两个计数原理 例例 1 1 2013 福建 满足 且关于 x 的方程有实数解 1 0 1 2a b 2 20axxb 的有序数对的个数为 B a b A 14B 13C 12D 10 2 2014 福建 用 a 代表红球 b 代表蓝球 c 代表黑球 由加法原理及乘法原理 从 1 个 红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 1 a 1 b 的展开式 1 a b ab 表示出来 如 1 表示一个球都不取 a 表示取出一个红球 而 ab 则表示把红球和蓝球都取 出来 依此类推 下列各式中 其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球 5 个无区别的蓝球 5 个有区别的黑球中取出若干个球 且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是 A A 1 a a2 a3 a4 a5 1 b5 1 c 5 B 1 a5 1 b b2 b3 b4 b5 1 c 5 C 1 a 5 1 b b2 b3 b4 b5 1 c5 D 1 a5 1 b 5 1 c c2 c3 c4 c5 3 在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中 与正八边形有公共边的有 个 解析解析 根据题意 满足条件的三角形分为两类 第一类 与正八边形有两条公共边的三角形有 8 个 第二类 与正八边形有一条公共边 的三角形有 8 4 32 个 由分类加法计数原理 满足条件的三角形有 8 32 40 个 4 已知数列 an 是公比为 q 的等比数列 集合 A a1 a2 a10 从 A 中选出 4 个 不同的数 使这 4 个数成等比数列 这样得到 4 个数的不同的等比数列的个数为 解析解析 当公比为 q 时 满足题意的等比数列有 7 种 当公比为 时 满足题意的等比数列 1 q 有 7 种 当公比为 q2时 满足题意的等比数列有 4 种 当公比为时 满足题意的等比数 1 q2 列有 4 种 当公比为 q3时 满足题意的等比数列有 1 种 当公比为时 满足题意的等比 1 q3 数列有 1 种 因此满足题意的等比数列共有 7 7 4 4 1 1 24 种 例例 2 1 5 名旅客投宿到一个旅店的 3 个房间 问共有多少种不同的住店方法 35 2 5 名学生争夺 3 项比赛的冠军 获得冠军的可能情况种数有多少 53 3 3 2011 苏州模拟 直线方程Ax By 0 若从 1 2 3 6 7 8 这六个数字中每次取两 个不同的数作为A B的值 则表示不同直线的条数是 26 条 解析解析 先不考虑重合的直线 共有 6 5 30 条直线 其中当A 1 B 2 和 A 3 B 6 A 2 B 1 和A 6 B 3 A 1 B 3 和A 2 B 6 A 3 B 1 和 A 6 B 2 时 两直线重合 故不重合的直线有 30 4 26 条 探究二探究二 两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用 例例 3 3 1 如图 一个地区分为 5 个行政区域 现给地图着色 要求相邻区域不得使用同一 颜色 现有 4 种颜色可供选择 则不同的着色方法共有 种 用数字作答 解析解析 区域 1 有 C 种着色方法 区域 2 有 C 种着色方法 区域 3 1 41 3 有 C 种着色方法 区域 4 5 有 3 种着色方法 4 与 2 同色有 2 种 4 1 2 与 2 不同色有 1 种 共有 4 3 2 3 72 种不同着色方法 2 2010 天津 如图 10 1 1 用四种不同颜色给图中的 A B C D E F 六个点 涂色 要求每个点涂一种颜色 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色 则不同的涂 色方法共有 A 288 种 B 264 种 C 240 种 D 168 种 思路点拨思路点拨 解答本题应注意两点 每一个点都有可以和它同色的两个点 涂色的顺序不同影响解题的难度 可先涂 A D E 再分类涂 B F C 解析解析 先涂 A D E 共有 4 3 2 24 种涂法 然后再按 B C F 的顺序涂 色 分为两类 一类是 B 与 E 或 D 同色 共有 2 2 1 1 2 8 种涂法 另一 类是 B 与 E 或 D 不同色 共有 1 1 1 1 2 3 种涂法 故涂色方法共有 24 8 3 264 种 3 用红黄蓝三种颜色给如图所示的六连圆涂色 若每种颜色只能涂两个圆 且相邻两个圆 所涂颜色不能相同 则不同的涂色方案共有 C A 18 个 B 24 个 C 30 个 D 36 个 解析解析 由题意知每种颜色涂两个圆 共有 5 类 每类 A 种涂法 所以总数为 5A 30 3 33 3 故选 C 注 将六圆依次编号 可分如下 5 类 4 如果一个三位正整数如 a1a2a3 满足 a1a3 则称这样的三位数为凸数 如 120 343 275 等 那么所有凸数的个数为 A A 240 B 204 C 729 D 920 解析解析 若若 a2 2 则 则 凸数凸数 为为 120 与与 121 共 共 1 2 2 个 个 若若 a2 3 则 则 凸数凸数 有有 2 3 6 个 个 若若 a2 4 满足条件的 满足条件的 凸数凸数 有有 3 4 12 个 个 若若 a2 9 满足条件的 满足条件的 凸数凸数 有有 8 9 72 个 个 4 所有凸数有所有凸数有 2 6 12 20 30 42 56 72 240 个个 巩巩 固固 提提 高高 一 选择题一 选择题 1 2011 广州模拟 已知集合 A 1 2 3 4 B 5 6 7 C 8 9 现在从这三个集合中取 出两个集合 再从这两个集合中各取出一个元素 组成一个含有两个元素的集合 则一 共可组成多少个集合 C A 24 B 36 C 26 D 27 解析解析 分三类 第一类 若取出的集合是 A B 则可组成 C C 12 个集合 第二类 1 4 1 3 若取出的集合是 A C 则可组成 C C 8 个集合 第三类 若取出的集合是 B C 则可 1 4 1 2 组成 C C 6 个集合 故一共可组成 12 8 6 26 个集合 1 3 1 2 2 2011 大纲全国 某同学有同样的画册 2 本 同样的集邮册 3 本 从中取出 4 本赠送给 4 位朋友 每位朋友 1 本 则不同的赠送方法共有 B A 4 种 B 10 种 C 18 种 D 20 种 解析解析 依题意 就所剩余的一本画册进行分类计数 第一类 剩余的是一本画册 此时满 足题意的赠送方法共有 4 种 第二类 剩余的是一本集邮册 此时满足题意的赠送方法共 有 C 6 种 因此 满足题意的赠送方法共有 4 6 10 种 选 B 2 4 3 如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成 我们称这样的图案 为 L 型 每次旋转 90 仍为 L 形图案 那么在由 4 5 个小方格组成的方 格纸上可以画出不同位置的 L 形图案的个数是 C A 16 B 32 C 48D 64 解析解析 每四个小正方形图案 都可画出四个不同的 L 形图案 该图中共有 12 个这样的正 方形 故可画出不同位置 L 形图案的个数为 4 12 48 个 4 2012 四川 方程中的 且互不相同 22 ayb xc 3 2 0 1 2 3 a b c a b c 在所有这些方程所表示的曲线中 不同的抛物线共有 B A 60 条 B 62 条 C 71 条 D 80 条 解析解析 本题可用排除法 6 选 3 全排列为 120 这些方程所表示 3 2 0 1 2 3 a b c 的曲线要是抛物线 则且 要减去 又和时 0a 0b 402 2 5 A22或 b33或 b 方程出现重复 用分步计数原理可计算重复次数为 所以不同的抛物线共有18233 120 40 18 62 条 故选 B 5 5 有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学 在数学检测时要求每位教师不能 在本班监考 则监考的方法有 B A 8 种 B 9 种 C 10 种 D 11 种 解析解析 法一 设四位监考教师分别为 A B C D 所教的班分别为 a b c d 假设 A 监考 b 则余下三人监考剩下的三个班 共有 3 种不同方法 同时 A 监考 c d 时 也分别 有 3 种不同方法 由分类加法计数原理共有 3 3 3 9 种 法二 班级按 a b c d 的顺序依次排列 为避免重复或遗漏现象 教师的监考顺序可用 树形图 表示如下 共有 9 种不同的监考方法 6 如图 一环形花坛分成 A B C D 四块 现有 4 种不同的花供选种 要求在每块里 种 1 种花 且相邻的 2 块种不同的花 则不同的种法总数为 B A 96 B 84 C 60 D 48 解析解析 可依次种 A B C D 四块 当 C 与 A 种同一种花时 有 4 3 1 3 36 种 种法 当 C 与 A 所种花不同时 有 4 3 2 2 48 种种法 由分类加法计数原理 不同的种法种数为 36 48 84 7 在某种信息传输过程中 用 4 个数字的一个排列 数字允许重复 表示一个信息 不同排 列表示不同信息 若所用数字只有 0 和 1 则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数 字相同的信息个数 B A 10 B 11 C 12 D 15 解析解析 若 4 个位置的数字都不同的信息个数为 1 若恰有 3 个位置的数字不同的信息 个数为 C 若恰有 2 个位置上的数字不同的信息个数为 C 3 42 4 由分类加法计数原理知满足条件的信息个数为 1 C C 11 3 42 4 二 填空题二 填空题 8 如图所示 在 A B 间有四个焊接点 若焊接点脱落 则可能导致电路不通 今发现 A B 之间线路不通 则焊接点脱落的不同情况有 种 答案答案 13 6 解析解析 四个焊点共有 24种情况 其中使线路通的情况有 1 4 都通 2 和 3 至少有一 个通时线路才通共有 3 种可能 故不通的情况有 24 3 13 种 可能 9 现安排一份 5 天的工作值班表 每天有一个人值日 共有 5 个人 每个人都可以值多天 或不值班 但相邻两天不能同一个人值班 则此值日表共有 种不同的排法 解析解析 完成一件事是安排值日表 因而需一天一天地排 用分步计数原理 分步进行 第 一天有 5 种不同排法 第二天不能与第一天已排人的相同 所以有 4 种不同排法 依次类 推 第三 四 五天都有 4 种不同排法 所以共有 5 4 4 4 4 1 280 种不同的排法 10 2012 河北石家庄一模 用直线 y m 和直线 y x 将区域 x2 y2 6 分成若干块 现在 用 5 种不同的颜色给这若干块染色 每块只染一种颜色 且任意两块不同色 若共有 120 种不同的染色方法 则实数 m 的取值范围是 答案答案 33 解析解析 作出图像 可知 y x 与 x2 y2 6 交点的纵坐标为 y 当 m 时 333 两条直线将圆面分成 4 部分 从 5 种不同颜色的染料中选择 4 种对其染色 有 A 120 4 5 种不同的染色方法 符合题意 11 甲 乙 丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动 要求每人参 加一天且每天至多安排一人 并要求甲安排在另外两位前面 不同的安排方法有 种 解析解析 分三类 甲在周一 共有 A 种排法 甲在周二 共有 A 种排法 甲在周三 2 42 3 共有 A 种排法 不同的安排方法共有 A A A 20 种 2 22 42 32 2 12 如图 10 1 2 所示的四棱锥S ABCD 用 5 种不同颜色给点A B C D S涂色 要 求每个点涂一种颜色 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色 则不同的涂色方法共有 420 种 解析解析 先涂顶点S 有 5 种涂法 再按照A B C D的顺序涂 分两类 第一类 A与C同色 不同的涂色方法有 4 3 3 36 种 第二类 A与 C不同色 不同的涂色方法有 4 3 2 2 48 种 根据分步乘法计数原 理共有 5 36 48 420 种不同的涂色方法 13 2011 青岛模拟 渐升数 是指每个数字比它左边的数字大的正整数 如 1 458 若把 7 四位 渐升数 按从小到大的顺序排列 则第 30 个数为 解析解析 渐升数由小到大排列 形如 12 的渐升数共有 6 5 4 3 2 1 21 个 如 123 个位可从 4 5 6 7 8 9 六个数字选一 个 有 6 种等 形如 13