小波分析综述

高级数字信号处理高级数字信号处理 题题 目 目 小波分析的最新进展小波分析的最新进展 姓姓 名 名 学学 号 号 年年 级 级 专专 业 业 电子与通信工程电子与通信工程 2 小波分析的最新进展 摘要 小波分析打破了傅立叶变换的局限性 在继承和发展傅立叶分 析基础上产生的各种改进 具有广泛的应用 经过几十年的发展 小波变换的理论越来越成熟 为了更好的完善这一强有力的分析工 具 许多人依然在不断的研究 本文主要介绍了小波变换的基本理 论 讨论了小波变换在各种信息和图像处理方面的最新研究现状及 应用 最后展望了小波分析理论进一步发展进行了概述 关键词 小波变换 图像处理 信号处理 3 Wavelet analysis of the latest developments Abstract The wavelet analysis to break the limitations of the Fourier transform a variety of the inheritance and development on the basis of Fourier analysis to generate improvements with a wide range of applications After decades of development the theory of wavelet transform more mature in order to better improve this powerful analytical tool that many people are still in continuous research This paper introduces the basic theory of wavelet transform wavelet transform discuss the latest research in a variety of status and application of information and image processing and finally prospect of further development of the theory of wavelet analysis are outlined Keywords wavelet transform image processing Signal Processing 4 目录目录 1 引言 5 2 小波分析理论 5 3 小波分析在不同领域的新进展 5 3 1 小波分析在图像处理方面的进展 6 3 1 1 在图像融合方面 6 3 1 2 在图像去噪方面 7 3 1 3 在图像加密方面 9 3 2 小波分析在重力学中的应用 9 3 2 1 重力仪测试 9 3 2 2 地球引力场的小波系数展开 10 3 2 3 地球内部结构 10 3 2 4 卫星轨道分析 11 3 2 5 地震监测方面 11 3 3 小波分析在医学中的应用 11 3 4 小波分析在铁路方面的应用 11 4 小波分析的发展趋势 12 参考文献 13 5 1 引言 传统的信号理论 是建立在 Fourier 分析基础上的 而 Fourier 变换作为 一种全局性的变化 其有一定的局限性 在实际应用中人们开始对 Fourier 变 换进行各种改进 小波分析由此产生了 小波分析是泛函数 Fourier 分析 调和分析 数值分析完美结合的一种新兴的数学分支 在应用领域 特别是在 信号处理 图像处理 语音处理以及众多非线性科学领域 它被认为是继 Fourier 分析之后的又一有效的时频分析方法 小波变换与 Fourier 变换相比 是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息 通过伸缩和平 移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析 Multiscale Analysis 解 决了 Fourier 变换不能解决的许多困难问题 打破了傅里叶分析的局限性 它 是调和分析发展史上里程碑式的进展 本文主要介绍小波分析理论的发展历程 及其在应用领域的现状 最后展望了小波分析研究的发展趋势 2 小波分析理论 小波分析或小波变换是指用有限长或快速衰减的 称为母小波的振荡波形 来表示信号 该波形被缩放和平移以匹配输入的信号 小波变换分成两个大类 连续小波变换和离散小波变换 两者的主要区别在于 连续变换在所有可能的 缩放和平移上操作 而离散变换采用所有缩放和平移值得特定子集 小波即小区域的波 是一种特殊的长度有限 平均值为零的波形 它有两 个特点 一是 小 即在时域具有紧支集或近似紧支集 二是正负交替的 波 动性 也即支流分量为零 所谓小波 Wavelet 即存在于一个较小区域的波 小波函数的数学定义是 设为一平方可积函数 即 若 t RLt 2 dwC R w 时 则称为一个基本小波或小波母函数 并称上式是小波函数的可容 t 许条件 对于任意实数 a b 则 0 b 2 1 aRbaat a t ba 由小波母函数生成的依赖于参数 a b 的连续小波函数 简称小波 t 所有小波变换可以视为时域频域表示的形式 和调和分析相关 所有实际 有用的离散小波变换使用的离散小波变换使用包含有限脉冲响应滤波器段 构 成 CWT 的小波受海森堡的测不准原理制约 3 小波分析在不同领域的新进展 小波分析的应用领域特别广泛 它可以应用到数学领域的许多学科 信号 分析 图像处理 量子力学 理论物理 军事电子对抗与武器的智能化 计算 及分类与识别 音乐与语言的人工合成 医学成像与诊断 地震勘探数据处理 6 等等 下面介绍几种应用 3 1 小波分析在图像处理方面的进展 3 1 1 在图像融合方面 图像融合是用于提高图像的信息内容的广泛讨论的主题 图像融合算法的 主要目标是信息从一个场景的多个图像相结合 图像融合的结果是一个新的图 像 其是用于人类和机器感知用于进一步的图像处理操作诸如分割 特征提取 和物体识别更为可行 以下探讨了利用图像融合和脱离降噪专业小波方法的可 能性 这些算法进行比较数字显微镜图像 该方法采用仿射变换的图像配准后 小波融合 那么最小二乘支持向量机基于频段选择图像去噪可以合并 以减少 工件 压痕是最大限度的分辨率 减少伪影和模糊 在最后的超级图像 为了 加速整个操作 建议通过性能 以卸载所述图像处理算法 以一个硬件平台那 里可以得到改善 FPGA 提供在实施实时图像处理应用的理想平台 因为该架 构固有的并行性可以明确地被利用 在 FPGA 上执行图像处理任务可高达 2 个数 量级比在通用计算机上的等效应用更快 融合方法 该方法能够将多个图像的互补定向信息组合成 A 单超级图像 提高了信息密度 利用美德小波变换的是多频段德组成 最佳观赏可以在任何 给定的频段选择 融合结果表明 提高整体对比度 有观察方法不需要系统的 点扩散函数 PSF 的知识 PSF 中独立方法的上部手图像中未知的 PSF 的环境 中使用时 鲁比奥 Guivernau 等人 2012 PSF 结果的图像中模糊的高度光学 增强的成像 如显微镜 因此 是一个限制因素图像增强 整体融合处理经过图像配准 并随后小波组成的预处理 分解系数被进一 步分析和适当的组合实现 然后逆小波变换是用来获得最终大惊小怪的体积 从数字显微镜获得的图像 不容易受到噪声 更迫切的问题是模糊的效果 模糊效应导致的注册方法不太有效 这个问题可以通过引入更多的意见 以创 造最大的重叠功能来克服 卢比奥 Guivernau 等 2012 该图像通过裁剪算 法 以降低尺寸 这是为了减少图像体积的大小为降低实施成本 仿射变换矩 阵操作之后 以纠正旋转 andtranslation 从数字显微镜设置 赫伊斯肯和 Stainier 2009 年 得到 值 此值 isthen 微调做一个相似性度量的登记 办法 微调是必需的 因为由于不同的原因轻微变化在数字显微镜的角度值可 导致在最后的图像伪影 Swoger 等人 2007 平移值是从该相似性度量的系 数 Vapnik 等 1998 完全计算 仿射变换矩阵为 每个图像然后被格式化为具有共同的大小和分辨率 然后掩模具有两个象 素的水平产生 低的值 表示与数据和高值 其中数据是不存在区域 在需要 时 以避免边界伪影 以丢弃 ineach 图象的填补值 融合过程开始通过分解所述图像体积频带 然后每个图像是由该组融合规 则分析这些频段 以确定哪些一次可以组合 这一次必须从系数的最终体积去 除 7 然后逆变换用于取回图像 用小波的方法改变为按设置以获得最高效率的 影像 正如在开始时的正常 DWT 具有作为非移位不变更大的限制 其结果是 该图像是高度易感错过注册 因此权利要求非常全面的图像配准算法 但作为 启动数码显微镜图像来解释自然要模糊的成像深度的增加 3 1 2 在图像去噪方面 图像去噪仍然是一个根本性的问题 在图像处理的领域 小波变换 VARI OU 的算法去噪的小波域进行了介绍 小波得到一种性能优越的图像去噪由于其 性质如多分辨率 估计的图像是受加性高斯白噪声损坏的问题一直是人们对实 际和理论原因的兴趣 非线性方法特别是基于小波已经变得流行 由于它的优 点超过线性方法 在这里 我申请的非线性 threshold 小波域荷兰国际集团的 技术 如软硬阈值 小波收缩等的 Visu 收缩 非自适应 并肯定的是 贝叶 斯和正常收缩 自适应 采用离散平稳小波变换 DSWT 针对不同的小波 不同层次 去噪图像 并确定最好的一个了出来 DE 去噪算法的性能是使用 的措施 例如信噪比 SNR 和均方误差 MSE 关于各种阈值技术的定量性测 定 在许多应用中 图像去噪是用于生产从嘈杂的观测值原始图像的良好预期 修复后的图像应包含的噪声比 同时仍保持急剧转变 即边缘 观察少 小波 变换 由于其优异的局域化特性 已迅速成为不可缺少的信号和图像处理工具 适用于各种应用中 包括压缩和去噪的 小波去噪试图删除存在于信号中的噪 声 同时保留了信号的特性 考虑以下各项少它的频率内容 小波阈值 最早由多诺霍 是利用小波的变换信号去噪的信号估计技术 在我们的项目中 小波阈值技术被应用到图像 它消除了噪声系数杀死那些微 不足道相对于一些门槛 原来是简单而有效的 在很大程度上取决于一个阈值 参数的选择和这个阈值决定了选择 在很大程度上降噪的功效 图 1 显示了使 用小波变换和阈值去噪技术的框图 去噪图像的方法给出如下 去噪图像 W 1 T W 原始图像 噪声 第 1 步 涂抹着小波变换嘈杂的形象得到分解图像 第 2 步 应用非线性阈值来分解图像去除噪声 第 3 步 应用逆小波变换门限时得到空间域去噪的图像 8 a 离散小波变换 DWT 图像 x 的 DWT 是通过一系列过滤器传递来计算 首先将样品通过具有脉冲 响应的低通滤波器在所述两者的卷积传递 该图像也被分解使用了高通滤波器 H 同时发生 输出得到细节系数 从高 通滤波器 和近似系数 从低通滤波器 重要的是 这两个过滤器是彼此相关 的 它们被称为一个正交镜像滤波器 然而 由于信号的一半的频率下已经被 删除 有一半的样品可根据奈奎斯特法则丢弃 在滤波输出 再向下采样以 2 这种分解减少了一半的时间分辨率 由于仅一半的每个滤波器输出的信号 的特征 然而 每一个输出具有频带输入的一半 所以该频率分辨率已经翻了 一番 这是符合海森堡不确定原理 上述求和结可以更简洁地写入 离散小波变换提供了用于分析和重建原始 信号的足够的信息 以在计算时间的减少 b 平稳小波变换 平稳小波变换 SWT 相似 不同的信号的小波变换是从未子采样并代替滤 波器被向上取样分解的每个级别 每一级的滤光器上采样的前一个版本 阈值 13 14 是一个简单的非线性技术 它在一个时间进行操作上的一个小波系数 在其最基本的形式中 每个系数比阈值小 设定为零 否则 它被保持或改进 小合作效率的噪声为主 而系数大绝对值比携带更多的噪声信号信息 由零替 换噪声合作效率 低于某个阈值小的系数 和逆小波变换可能导致重新构造具 有较小的噪音 这个阈值的想法是基于以下情况 1 子波的去相关属性变换创建一个稀疏信号 最原封不动系数是零或接 近零 2 噪音摊开同样带齐合作效率 3 噪音水平不太高 使得人们可以区别从二进制那些信号的小波系数 该方法是一种有效的和的阈值是用于降噪简单而有效的方法 9 小波阈值的最吸引人的特点是 对于随机噪声频繁其附在反驳的类型 在 信号传输 所以能够自动选择一个阈值去噪没有信号的任何先验知识 通过选择一个阈值 它是显著大 且与随机噪声的标准偏差相乘 能够通 过阈值化的小波变换系数 以除去大部分的噪声 这个过程称为硬阈值 由于 软阈值是一个全球性的操作中 在读出整个图像被用于去噪过程中 它不能精 力集中在图像的刚刚下半部 但是 如果设备含噪图像必须被再次处理 则图 像的上半部分将被过度处理 缺陷 如模糊 可以引入 图像的某些原有的细 节将随噪声除去 这是因为噪声遮蔽大部分起因于原始信号的幅度小的值 因 此 当阈值被应用 它消除许多原始信号的变换值 这是所需要的精确的近似 为了克服这个问题的小波收缩被使用 然而 总有改进的余地 多小波比较研究的一个新课题 最可用的当前过 滤器有两个 三个或近似的第四顺序 将来建造方法可能会增加逼近的更高次 序 同时保持现有的方法的期望的特征 它极有可能重新 SULT 多过滤器进行更 好的图像去噪 DE 和压缩应用 而且现有的多小波系统目前拥有多尺度 ING 和 多小波系数这是 2 2 矩阵 有一种可能性 在未来更多的多小波系统可能与高 阶矩阵系数 它可以提供更 BE 器会导致图像去噪和压缩的领域得到发展 3 1 3 小波分析在图像加密中的应用 分数小波变换是推广一个有用的数学变换在信号和图像处理的最突出的工 具 即由小波变换旋转在时间 频率平面上的信号 离散小波分数的定义变换 尚未在文献中报道 因此 离散分数的定义小波变换是由连续离散小波分数合 并变换工作的建议 的变换可能的应用是在瞬态信号处理 图像分析 图像传 输 生物识别 图像压缩等 图像传输被选择作为主应用 因此一个新颖加密 方案 提出了在通信过程中保护多个图像和传输不安全的通道 所提出的多图 像加密方案通过分数小波变换巩固和混乱的地图 首先 所有的图像都加密后 的共享 共享过程完成后考虑数值技术通过使共享处理线性方程系统 试验结 果和安全性分析证明所提出的效率和耐用性主要应用 3 2 小波分析在重力学中的应用 小波分析被从信号处理的发展 它是从低信号分离成噪声比中的信号的性质 并以突 出局部放大 这是特别合适的信号处理的特性的信号 重力学是随着时间的推移或空间信 号许多物理变化 如重力仪测试数据 重力和重力场 潮汐 海洋地形 测高卫星轨道和 雷达信号等 所以小波分析在重力学具有广阔应用程序的世界 以下以重力学为代表 讨 论可能性和小波分析的应用前景 3 2 1 重力仪测试 重力计测试的主要任务是 性能测试重力计和合理的校正或补偿公式 提供仪器进一 步校正如果需要的基础上 正确的数据 测试是用导频 这是获得的测试数据在给定的设 计环境 通过分析 以便实现对加工设备的测试的目的 数据的主装置的测量仪器 主要的问题是在测试仪器的存在 测试性能指标仪器比实际性能要高得多 这是难以 校正公式正确合理给出的物理意义 即使正确的公式已被扭曲 如非线性 周期错误等正 确的公式是不正确的原因实际精度重力米 比在测试过程中要低得多 这样做的原因的情 况主要是由于实验数据采集和分析程序不反映真实性能的测试设备 试验数据是在时间或空间的信号的变化 和组成以及测试仪器的特征是研究测试信号 10 数据分析的主要手段是仪器测试信号的分析 它是非常适合重力小波分析试验数据的分析 小波分解可以表达更复杂的非线性或仪表读数的工作模式 从而树立正确的模型可以 任意复杂的形式 具有较强的降噪小波滤波能力 提取测试信号的本质是充分的 所以测 试环境更正确定模型和仪器的性能是准确和可靠的 判定重力周期误差是确定的频谱 小的频谱完全本地化 理论上抑制混合 的现象 准确和可靠的 比傅立叶光谱更好 它的估计容量具有较强的抗差 当从光谱测试信号位于频差影响窗口的测量 所以误差小周期仪器读数频谱计 算方法是准确和可靠的比傅立叶光谱 稳定是一个重要的指标仪表读数重力仪的性能 小波分析可以用来检测异 常行为仪读出系统 定位和测量所述小波分析仪的尺寸的函数奇异奇异可以分 析挥发性时间上的时间或空间或位置读出系统 测量不稳定的程度如何是它 当分析使用小波分析方法的测试数据 该测试数据的长度不应太短 3 2 2 地球引力场的小波系数展开 地球引力场的小波系数即位函数的小波变换 因此求引力场小波系数的关键是求大地 测量边值问题解的小波变换 我们知道 小波变换的实质是积分变换 而积分变换法可用 来求解大地测量边值问题 有两个方案 用小波变换法直接求解大地测量边值问题 所得解的小波变换即是位函数的小波系 数 用 Fourier 变换法求解重力场的边值问题 利用小波变换与 Fourier 变换之间的关系 求得解的小波变换即位函数的小波系数 引力场用小波系数展开 就可利用多分辨分析方法来分析引力场在不同尺度下的结构 和性质 利用小波变换的奇异性检测功能来确定重力异常源的分布及异常程度如何 利用 小波变换的空频局部化分析方法分析重力场的空间域及频率域的精细结构 从而提高重力 场理论在地球物理及卫星大地测量学中的地位和作用 将引力场按小波系数展开有可能进 一步提高重力场理论及其与地球物理及空间科学相关理论分析和解决问题的能力 此外 将引力场用小波系数展开可以大幅度提高重力场的分辨率 至于能达到多高的 分辨率应以最高分辨率的重力场不失真为原则 3 2 3 地球内部结构 小波变换的时频局部化功能决定了小波分析能用来分析引力潮随时随地的变化特征 小波分解可将引潮力位分解成分潮波 这种分解具有多尺度分辨能力和奇异性监测功能 分析潮汐的小波结构有可能得到地球内部构造运动的信息及固体地球 包含大气圈 水圈 对日 月和其它星体引力的内部反响的信息 将地球引力场用小波级数展开从而分析重力场在不同尺度下的空间结构 有可能得到 关于地球内部密度结构在不同尺度下的信息 运用小波分析的奇异性定位与数值测定方法 有可能得到一些引力场源分布与重力异常成因的信息 研究垂线偏差的小波结构有可能得到一些近地面构造和地壳均衡等信息 而空间异常 的小波结构可能提供全球性深部构造的信息 布格异常的小波结构可能提供区域性和局部 性浅构造的信息 研究地表重力的小波分量 可由表层空间小波重力模型得到 与对应的大地水准面高 小波分量 可由引力场的小波分量求得 之间的关系 有可能会改善地壳均衡模式 有望 不通过假设而根据上述关系间接计算地壳均衡 11 3 2 4 卫星轨道分析 卫星信号轨道的时间或空间卫星变化的信号 卫星轨道扰动级数展开可通过卫星轨道 的小波精细结构而获得 可以进一步提高过滤轨迹信号 轨道结构空间 频率信号分析揭 示了各种保守和非保守扰动源和影响的存在轨道星历预测的改善等效果或能力 引力场的级数扩张 有可能进一步提高利用卫星大地测量方法研究地球内部密度分布 不均匀性 以确定在地球内部位置的重力异常的来源 并可能增加敏感卫星的能力绕地球 重力场的性别 这是令人鼓舞的 3 2 5 地震监测方面 基于 MATLAB 的计算机代码和用户友好界面已经开发了用于同时小波分析和对多道地 震数据过滤 该方案汇集在 CWT 的 DWT 和 DWPT 的能力 提供地震的快速和精确的时 间 频率检查在不同频带的信号 此外 一些基于小波的对于带通滤波器和噪声 瞬变或 甚方法基准拆除 已还实施 缺省情况下 一些最延长地震的格式是由程序认可 在任何 情况下 由于读出功能顷的 MATLAB m 文件的序列 它们可以很容易地修改和延长 这 取决于用户的需求 事实上 新的阅读功能可以以延长的识别的数目很容易地添加地震格 式 3 3 小波分析在医学中的应用 医学图像分析往往取决于大小和获得的图像的质量 噪声 照明的条件下 等 因此 对于解释和诊断 医学图像的分辨率增强 MIRE 通常是期望的 最近 提出了用于此目的 1 5 不同的技术 双树复小波变换 非本地手段过滤和奇异值分解的医学图像分辨率增强算 法 输入的对比度图像是利用提出的奇异值分解和高频增强子带采用双树复小 波变换获得 对比度增强低分辨率图像和高频子带使用的 Lanczos 插补器 非 本地手段过滤器是用来迎合了双树产生的假象复小波变换 插值对比增强低分 辨率图像和过滤高频子带使用逆双树复小波结合变换 以获得对比度增强的超 分辨率图像 定量和定性分析来证明所提出的技术的重要性 3 4 小波分析在铁路方面的应用 目前已提出使用移动的火车的垂直加速度来检测本地生产的轨道不平顺 通过基础设施的弱势群体 通过使用小波变换分析车辆加速度 它是可以清楚 地识别受损部分的位置 小波为基础的指标 提出了一个方便算法识别恶化段 建议的指示器由一个自由度的装置验证通过随机生成轨道不平顺与各地方的轨 道存在激动起来车型缺陷 被执行的蒙特卡罗分析 以评估建议的指示器的性 能为各种模型参数 包括车辆的机械性能 隔离轨道的不规则和损坏的水平形 状 大多数现有的文献分析城市铁路 在较低的速度 并与小半径曲线特别着 重于钢轨波纹 其通常设有中高频响应 注重长期和浅的轨道损害的特点是低 频率的检查车辆的加速度的响应 长途列车 这在相当高的旅行速度快 也算 在这项研究中 此外 还提出一个指标 从对重分析 以方便自动检测的损害 类似主题现有文献通常依赖于小波系数的目视检查 也可在没有明确推荐如何 分析通过使用定性指标 CWT 提供的信息 提出了可以上实现一个基于小波变换的自动评估方法铁路网络 该算法采 12 用加速度信号的小波信号处理车辆移动走上正轨 该系统需要在一些营运车辆 的加速度计以及定位系统 这将提供在例行空间获得加速度的周期性记录解决 的轨道网络 为了减少数据和计算的计算 记录 可以降低采样 信号然后由 CWT 的手段和规范化系数之和 绝对值分析值 被计算 在这个过程中的每一 个重复更稳定的基线条件可被定义正在审议的网络 适当的阈值可以被选择为 的片段基础设施 超过阈值的峰值表示由于一个能量高度集中与轨道的降解或 损坏的部分相关联的分离的不规则性 4 小波分析的发展趋势 随着技术的不断发展 小波的发展也越来越迅速 越来越成熟的小波理论 其应用越来越广泛 本文介绍了一些小波过滤 分解 去噪 图像压缩和图像 分解和重建的最新方法 这些都是基于小波变换的原则 经过十年的发展小波 变换 使用领域的不断扩大 对数学学科扩展到航空航天 生物医学 物理等 前景 小波的数学理论基础 研究描绘的功能空间 插值小波基 高维小波 小 波矢量框架需要进一步深入 在应用研究 具体的实际问题 如何选择最佳的小 波构造系统和方法为基础的框架一直关注的问题之一 仿真和实验是小波分析 的重要 并取得了丰硕的成果 如何走出实验室模拟和实验的结果 小波分析 技术为人们提供实用价值 作为一种工具 为高层次的小波分析软件的发