张量及应用1-1ppt课件.ppt

张量分析及其应用 第一章张量代数第二章张量分析第三章张量应用 1 1 1指标记法1 1 1求和约定 哑指标 第一章张量代数 2 显然 指标i j k与求和无关 可用任意字母代替 为简化表达式 引入Einstein求和约定 每逢某个指标在一项中重复一次 就表示对该指标求和 指标取遍正数1 2 n 这样重复的指标称为哑标 于是 3 是违约的 求和时要保留求和号 n表示空间的维数 以后无特别说明 我们总取n 3 例题 4 双重求和 简写成 展开式 9项 三重求和 27项 5 1 1 2自由指标 例如 指标i在方程的各项中只出现一次 称之为自由指标 一个自由指标每次可取整数1 3 n 与哑标一样 无特别说明总取n 3 于是 上式表示3个方程的缩写 6 i为自由指标 j为哑标 表示 7 i为自由指标 j为哑标 表示 8 i j为自由指标 k为哑标 表示9个方程 9 例外 出现双重指标但不求和时 在指标下方加划线以示区别 或用文字说明 如i不求和 规定 这里i相当于一个自由指标 而i只是在数值上等于i 并不与i求和 10 又如 方程 用指标法表示 可写成 i不参与求和 只在数值上等于i 11 1 2Kronecker符号 在卡氏直角坐标系下 Kronecker符号定义为 其中i j为自由指标 取遍1 2 3 因此 可确定一单位矩阵 12 若 是相互垂直的单位矢量 则 但 而 故 13 注意 是一个数值 即 的作用 1 换指标 2 选择求和 例1 思路 把要被替换的指标i变成哑标 哑标能用任意字母 因此可用变换后的字母k表示 14 例2 例3 个数 项的和 求 特别地 15 1 3置换符号 i j k 为1 2 3的偶排列 i j k 为1 2 3的奇排列 i j k 不是1 2 3的排列 例如 16 可见 也称为三维空间的排列符号 若 是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量 则 17 常见的恒等式 i ii iii iv 18 证明 令 即得 i 将 i 作相应的指标替换 展开化简 将得其余三式 指标任意排列 经过行列调整总可用右边表示 两个置换符号分别反映行 列调换及指标重复时的正 负及零 19 二维置换符号 其中 从三维退化得到 有下列恒等式 20 关键公式 21 二维关键公式 22 1 4指标记法的运算 1 4 1代入 设 1 2 把 2 代入 1 m norelse 3个方程 右边为9项之和 23 1 4指标记法的运算 1 4 2乘积 设 则 不符合求和约定 24 1 4指标记法的运算 1 4 3因式分解 考虑 第一步用 表示 有换指标的作用 所以 即 25 1 4指标记法的运算 1 4 4缩并 使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并 如各向同性材料应力应变关系 缩并 哑标与求和无关 可用任意字母代替 为平均应力应变之间的关系 26 1 4指标记法的运算 1 4 5例题 熟悉指标记法和普通记法的转换 求和约定同样适用于微分方程 不可压缩牛顿流体的连续性方程 其普通记法 或 27 1 4指标记法的运算 1 4 5例题 熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier Stokes方程 写出其普通记法 28 1 4指标记法的运算 1 4 5例题 熟悉指标记法和普通记法的转换 弹性力学平衡方程方程 写出其指标记法 29 1 5张量的定义 1 5 1坐标系的变换关系 卡氏右手直角坐标系 旧坐标系 新旧基矢量夹角的方向余弦 单位基矢量 新坐标系 单位基矢量 30 1 5 1坐标系的变换关系 31 图解 二维 在解析式中记 32 1 5 1坐标系的变换关系 从坐标变换的角度研究标量 矢量和张量 对i求和 i 为自由指标 33 1 5 2标量 纯量Scalar 在坐标变换时其值保持不变 即满足 如数学中的纯数 物理中的质量 密度 温度等 时间是否标量 34 1 5 3矢量 Vector 设a为任意矢量 其在新 旧坐标系下的分量分别为 即 对i 求和 对i求和 满足以下变换关系的三个量定义一个矢量 35 1 5 3矢量 Vector 哑标换成k 比较上式两边 得 即该变换是正交的 36 1 5 4张量 Tensor 对于直角坐标系 有九个量 按照关系 变换成 中的九个量 则此九个量定义一个二阶张量 将矢量定义加以推广 增加指标和相应的变换系数 37 38 39 40 1 6张量的分量 设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量 a为任一矢量 其分量为ai 于是 41 对于一个二阶张量T 它可以将a变换成另一个矢量b 即 称为二阶张量T的分量 令 42 可理解为矢量T ej在ei上的分量 即 43 因此 有下面三种等价的表达式 44 其中 称为在基矢量组 e1 e2 e3 下二阶张量T的矩阵 注意 矢量a b及张量T本身与坐标系无关 但其分量ai bi Tij通过基矢量组 e1 e2 e3 与坐标系相关 45 1 7 1张量的加法和减法 设T S均为二阶张量 将它们的和 差用下式表示 仍为二阶张量 46 若a为一矢量 则 其分量为 其矩阵形式为 47 1 7 2张量和标量的乘积 设T为二阶张量 为一标量 它们的乘积记为 则 仍为二阶张量 48 因为根据坐标变换 有 可见 为二阶张量 49 1 7 3并矢积 并矢记法 基张量 矢量a和矢量b的并矢积ab定义为按下列规则变换任意矢量的变换 二阶张量一阶零阶 50 关于是二阶张量的证明 即证明满足张量的定义 是一个线性变换 设有任意矢量 及标量 则由并矢积定义 51 可见 满足张量的定义 52 关于基矢量组的分量 有些文献把写成 53 矩阵形式 54 基矢量的并矢积 55 56 于是 二阶张量可以表示成 即 这种并矢记法可以推广到任意阶张量 例