椭圆各类题型分类汇总

1 椭圆经典例题分类汇总椭圆经典例题分类汇总 1 椭圆第一定义的应用椭圆第一定义的应用 例例 1 椭圆的一个顶点为椭圆的一个顶点为 其长轴长是短轴长的 其长轴长是短轴长的 2 倍 求椭圆的标准方程 倍 求椭圆的标准方程 02 A 例例 2已知椭圆已知椭圆的离心率的离心率 求 求的值 的值 1 98 22 y k x 2 1 ek 例例 3 已知方程已知方程表示椭圆 求表示椭圆 求的取值范围的取值范围 1 35 22 k y k x k 例例 4 已知已知表示焦点在表示焦点在轴上的椭圆 求轴上的椭圆 求的取值范的取值范1cossin 22 yx 0 y 围 围 例例 5 已知动圆已知动圆过定点过定点 且在定圆 且在定圆的内部与其相内切 求动的内部与其相内切 求动P 03 A 643 2 2 yxB 圆圆心圆圆心的轨迹方程 的轨迹方程 P 2 2 焦半径及焦三角的应用焦半径及焦三角的应用 例例 1 已知椭圆已知椭圆 为两焦点 问能否在椭圆上找一点为两焦点 问能否在椭圆上找一点 使 使到左准到左准1 34 2 2 yx 1 F 2 FMM 线线 的距离的距离是是与与的等比中项 若存在 则求出点的等比中项 若存在 则求出点的坐标 若不存在 的坐标 若不存在 lMN 1 MF 2 MFM 请说明理由 请说明理由 例例 2 已知椭圆方程已知椭圆方程 长轴端点为 长轴端点为 焦点为 焦点为 是是 01 2 2 2 2 ba b y a x 1 A 2 A 1 F 2 FP 椭圆上一点 椭圆上一点 求 求 的面积 用的面积 用 表示 表示 21PA A 21PF F 21PF F ab 3 第二定义应用第二定义应用 例例 1 椭圆椭圆的右焦点为的右焦点为 过点 过点 点 点在椭圆上 当在椭圆上 当为为1 1216 22 yx F 31 AMMFAM2 最小值时 求点最小值时 求点的坐标 的坐标 M 3 例例 2 已知椭圆已知椭圆上一点上一点到右焦点到右焦点的距离为的距离为 求 求到左准线的距到左准线的距1 4 2 2 2 2 b y b x P 2 Fb 1 bP 离 离 例例 3 已知椭圆已知椭圆内有一点内有一点 分别是椭圆的左 右焦点 点分别是椭圆的左 右焦点 点是是1 59 22 yx 1 1 A 1 F 2 FP 椭圆上一点 椭圆上一点 1 求求的最大值 最小值及对应的点的最大值 最小值及对应的点坐标 坐标 1 PFPA P 2 求求的最小值及对应的点的最小值及对应的点的坐标 的坐标 2 2 3 PFPA P 4 参数方程应用参数方程应用 例例 1 求椭圆求椭圆上的点到直线上的点到直线的距离的最小值 的距离的最小值 1 3 2 2 y x 06 yx 4 例例 2 1 写出椭圆写出椭圆的参数方程 的参数方程 2 求椭圆内接矩形的最大面积 求椭圆内接矩形的最大面积 1 49 22 yx 例例 3 椭圆椭圆与与轴正向交于点轴正向交于点 若这个椭圆上总存在点 若这个椭圆上总存在点 使 使1 2 2 2 2 b y a x 0 baxAP 为坐标原点为坐标原点 求其离心率 求其离心率的取值范围 的取值范围 APOP Oe 5 相交情况下相交情况下 弦长公式的应用弦长公式的应用 例例 1 已知椭圆已知椭圆及直线及直线 14 22 yxmxy 1 当 当为何值时 直线与椭圆有公共点 为何值时 直线与椭圆有公共点 m 2 若直线被椭圆截得的弦长为 若直线被椭圆截得的弦长为 求直线的方程 求直线的方程 5 102 例例 2 已知长轴为已知长轴为 12 短轴长为 短轴长为 6 焦点在 焦点在轴上的椭圆 过它对的左焦点轴上的椭圆 过它对的左焦点作倾斜解为作倾斜解为x 1 F 5 的直线交椭圆于的直线交椭圆于 两点 求弦两点 求弦的长 的长 3 ABAB 6 相交情况下相交情况下 点差法的应用点差法的应用 例例 1 已知中心在原点 焦点在已知中心在原点 焦点在轴上的椭圆与直线轴上的椭圆与直线交于交于 两点 两点 为为x01 yxABM 中点 中点 的斜率为的斜率为 0 25 椭圆的短轴长为 椭圆的短轴长为 2 求椭圆的方程 求椭圆的方程 ABOM 例例 2 已知椭圆已知椭圆 求过点 求过点且被且被平分的弦所在的直线方程 平分的弦所在的直线方程 1 2 2 2 y x 2 1 2 1 PP 例例 3 已知椭圆已知椭圆 1 求过点 求过点且被且被平分的弦所在直线的方程 平分的弦所在直线的方程 1 2 2 2 y x 2 1 2 1 PP 6 2 求斜率为 求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程 的平行弦的中点轨迹方程 3 过 过引椭圆的割线 求截得的弦的中点的轨迹方程 引椭圆的割线 求截得的弦的中点的轨迹方程 12 A 4 椭圆上有两点 椭圆上有两点 为原点 且有直线为原点 且有直线 斜率满足斜率满足 PQOOPOQ 2 1 OQOP kk 求线段求线段中点中点的轨迹方程 的轨迹方程 PQM 例例 4 已知椭圆已知椭圆 试确定 试确定的取值范围 使得对于直线的取值范围 使得对于直线 椭 椭1 34 22 yx C mmxyl 4 圆圆上有不同的两点关于该直线对称 上有不同的两点关于该直线对称 C 例例 5 已知已知是直线是直线 被椭圆被椭圆所截得的线段的中点 求直线所截得的线段的中点 求直线 的方程 的方程 2 4 Pl1 936 22 yx l 椭圆经典例题分类汇总椭圆经典例题分类汇总 1 椭圆第一定义的应用椭圆第一定义的应用 7 例例 1 椭圆的一个顶点为椭圆的一个顶点为 其长轴长是短轴长的 其长轴长是短轴长的 2 倍 求椭圆的标准方程 倍 求椭圆的标准方程 02 A 分析 分析 题目没有指出焦点的位置 要考虑两种位置 解 解 1 当为长轴端点时 02 A2 a1 b 椭圆的标准方程为 1 14 22 yx 2 当为短轴端点时 02 A2 b4 a 椭圆的标准方程为 1 164 22 yx 说明 说明 椭圆的标准方程有两个 给出一个顶点的坐标和对称轴的位置 是不能确定椭 圆的横竖的 因而要考虑两种情况 例例 2 已知椭圆已知椭圆的离心率的离心率 求 求的值 的值 1 98 22 y k x 2 1 ek 分析 分析 分两种情况进行讨论 解 解 当椭圆的焦点在轴上时 得 由 得x8 2 ka9 2 b1 2 kc 2 1 e 4 k 当椭圆的焦点在轴上时 得 y9 2 a8 2 kbkc 1 2 由 得 即 2 1 e 4 1 9 1 k 4 5 k 满足条件的或 4 k 4 5 k 说明 说明 本题易出现漏解 排除错误的办法是 因为与 9 的大小关系不定 所以椭8 k 圆的焦点可能在轴上 也可能在轴上 故必须进行讨论 xy 例例 5 已知方程已知方程表示椭圆 求表示椭圆 求的取值范围的取值范围 1 35 22 k y k x k 解 解 由得 且 35 03 05 kk k k 53 k4 k 满足条件的的取值范围是 且 k53 k4 k 说明 说明 本题易出现如下错解 由得 故的取值范围是 03 05 k k 53 kk53 k 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件 当时 并不表0 baba 示椭圆 8 例例 6 已知已知表示焦点在表示焦点在轴上的椭圆 求轴上的椭圆 求的取值范的取值范1cossin 22 yx 0 y 围 围 分析 分析 依据已知条件确定的三角函数的大小关系 再根据三角函数的单调性 求出的 取值范围 解 解 方程可化为 因为焦点在轴上 所以 1 cos 1 sin 1 22 yx y0 sin 1 cos 1 因此且从而 0sin 1tan 4 3 2 说明 说明 1 由椭圆的标准方程知 这是容易忽视的地方 0 sin 1 0 cos 1 2 由焦点在轴上 知 3 求的取值范围时 应注意题目y cos 1 2 a sin 1 2 b 中的条件 0 例例 5 已知动圆已知动圆过定点过定点 且在定圆 且在定圆的内部与其相内切 求动的内部与其相内切 求动P 03 A 643 2 2 yxB 圆圆心圆圆心的轨迹方程 的轨迹方程 P 分析 分析 关键是根据题意 列出点 P 满足的关系式 解 解 如图所示 设动圆和定圆内切于点 动点到两定点 PBMP 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径 03 A 03 B 即 点的轨迹是以 为两焦点 8 BMPBPMPBPAPAB 半长轴为 4 半短轴长为的椭圆的方程 734 22 b1 716 22 yx 说明 说明 本题是先根据椭圆的定义 判定轨迹是椭圆 然后根据椭圆的标准方程 求轨迹的 方程 这是求轨迹方程的一种重要思想方法 2 焦半径及焦三角的应用焦半径及焦三角的应用 例例 1 已知椭圆已知椭圆 为两焦点 问能否在椭圆上找一点为两焦点 问能否在椭圆上找一点 使 使到左准到左准1 34 2 2 yx 1 F 2 FMM 线线 的距离的距离是是与与的等比中项 若存在 则求出点的等比中项 若存在 则求出点的坐标 若不存在 的坐标 若不存在 lMN 1 MF 2 MFM 请说明理由 请说明理由 解 解 假设存在 设 由已知条件M 11 yxM 得 2 a3 b1 c 2 1 e 9 左准线 的方程是 l4 x 1 4xMN 又由焦半径公式知 111 2 1 2xexaMF 112 2 1 2xexaMF 21 2 MFMFMN 11 2 1 2 1 2 2 1 24xxx 整理得 048325 1 2 1 xx 解之得或 4 1 x 5 12 1 x 另一方面 22 1 x 则 与 矛盾 所以满足条件的点不存在 M 例例 2 已知椭圆方程已知椭圆方程 长轴端点为 长轴端点为 焦点为 焦点为 是是 01 2 2 2 2 ba b y a x 1 A 2 A 1 F 2 FP 椭圆上一点 椭圆上一点 求 求 的面积 用的面积 用 表示 表示 21PA A 21PF F 21PF F ab 分析 分析 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边 从而利用求面 CabSsin 2 1 积 解 解 如图 设 由椭圆的对称性 不妨设 由椭圆的对称性 不妨设 yxP yxP 在第一象限 由余弦定理知 P 2 21F F 2 2 2 1 PFPF 1 2PF 2 2 4coscPF 由椭圆定义知 则得 aPFPF2 21 2 cos1 2 2 21 b PFPF 故 sin 2 1 21 21 PFPFS PFF sin cos1 2 2 1 2 b 2 tan 2 b 3 第二定义应用第二定义应用 例例 1 椭圆椭圆的右焦点为的右焦点为 过点 过点 点 点在椭圆上 当在椭圆上 当为为1 1216 22 yx F 31 AMMFAM2 最小值时 求点最小值时 求点的坐标 的坐标 M 分析 分析 本题的关键是求出离心率 把转 2 1 eMF2 化为到右准线的距离 从而得最小值 一般地 求M 10 均可用此法 MF e AM 1 解 解 由已知 所以 右准线 4 a2 c 2 1 e8 xl 过作 垂足为 交椭圆于 故 显然的AlAQ QMMFMQ2 MFAM2 最小值为 即为所求点 因此 且在椭圆上 故 所以AQM3 M yM32 M x 332 M 说明 说明 本题关键在于未知式中的 2 的处理 事实上 如图 MFAM2 2 1 e 即是到右准线的距离的一半 即图中的 问题转化为求椭圆上一点 使MFMMQM 到的距离与到右准线距离之和取最小值 MA 例例 2 已知椭圆已知椭圆上一点上一点到右焦点到右焦点的距离为的距离为 求 求到左准线的距到左准线的距1 4 2 2 2 2 b y b x P 2 Fb 1 bP 离 离 分析 分析 利用椭圆的两个定义 或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解 解法一 解法一 由 得 1 4 2 2 2 2 b y b x ba2 bc3 2 3 e 由椭圆定义 得baPFPF42 21 bbbPFbPF344 21 由椭圆第二定义 为到左准线的距离 e d PF 1 1 1 dP b e PF d32 1 1 即到左准线的距离为 Pb32 解法二 解法二 为到右准线的距离 e d PF 2 2 2 dP 2 3 a c e 又椭圆两准线的距离为 b e PF d 3 32 2 2 b c a 3 38 2 2 到左准线的距离为 Pbbb32 3 32 3 38 11 说明 说明 运用椭圆的第二定义时 要注意焦点和准线的同侧性 否则就会产生误解 椭圆有两个定义 是从不同的角度反映椭圆的特征 解题时要灵活选择 运用自如 一般 地 如遇到动点到两个定点的问题 用椭圆第一定义 如果遇到动点到定直线的距离问题 则用椭圆的第二定义 例例 3 已知椭圆已知椭圆内有一点内有一点 分别是椭圆的左 右焦点 点分别是椭圆的左 右焦点 点是是1 59 22 yx 1 1 A 1 F 2 FP 椭圆上一点 椭圆上一点 1 求求的最大值 最小值及对应的点的最大值 最小值及对应的点坐标 坐标 1 PFPA P 2 求求的最小值及对应的点的最小值及对应的点的坐标 的坐标 2 2 3 PFPA P 分析 分析 本题考查椭圆中的最值问题 通常探求变量的最值有两种方法 一是目标函数 当 即代数方法 二是数形结合 即几何方法 本题若按先建立目标函数 再求最值 则 不易解决 若抓住椭圆的定义 转化目标 运用数形结合 就能简捷求解 解 解 1 如上图 设是椭圆上任一点 由62 a 0 2 2 F2 2 AFP 62 21 aPFPF 22 AFPFPA 等号仅当时262 22211 AFaAFPFPFPFPA 22 AFPFPA 成立 此时 共线 PA 2 F 由 22 AFPFPA 262 22211 AFaAFPFPFPFPA 等号仅当时成立 此时 共线 22 AFPFPA PA 2 F 建立 的直线方程 解方程组得两交点A 2 F02 yx 4595 02 22 yx yx 2 14 15 7 5 2 14 15 7 9 1 P 2 14 15 7 5 2 14 15 7 9 2 P 综上所述 点与重合时 取最小值 点与重合时 P 1 P 1 PFPA 26 P 2 P 12 取最大值 2 PFPA 26 2 如下图 设是椭圆上任一点 作垂直椭圆右准线 为垂足 由 PPQQ3 a 由椭圆第二定义知 2 c 3 2 e 3 2 2 e PQ PF 2 2 3 PFPQ 要使其和最小需有 共线 即求到右准线距PQPAPFPA 2 2 3 APQA 离 右准线方程为 2 9 x 到右准线距离为 此时点纵坐标与点纵坐标相同为 1 代入椭圆得满足条A 2 7 PA 件的点坐标 P 1 5 56 说明 说明 求的最小值 就是用第二定义转化后 过向相应准线作垂线 2 1 PF e PA A 段 巧用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段 2 PFPQ 4 参数方程应用参数方程应用 例例 1 求椭圆求椭圆上的点到直线上的点到直线的距离的最小值 的距离的最小值 1 3 2 2 y x 06 yx 分析 分析 先写出椭圆的参数方程 由点到直线的距离建立三角函数关系式 求出距离的 最小值 解 解 椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为 则点 sin cos3 y x sincos3 到直线的距离为 2 6 3 sin2 2 6sincos3 d 13 当时 1 3 sin 22 最小值 d 说明 说明 当直接设点的坐标不易解决问题时 可建立曲线的参数方程 例例 2 1 写出椭圆写出椭圆的参数方程 的参数方程 2 求椭圆内接矩形的最大面积 求椭圆内接矩形的最大面积 1 49 22 yx 分析 分析 本题考查椭圆的参数方程及其应用 为简化运算和减少未知数的个数 常用椭 圆的参数方程表示曲线上一点坐标 所求问题便化归为三角问题 解 解 1 sin2 cos3 y x R 2 设椭圆内接矩形面积为 由对称性知 矩形的邻边分别平行于轴和轴 设Sxy 为矩形在第一象限的顶点 sin2 cos3 2 0 则122sin12sin2cos34 S 故椭圆内接矩形的最大面积为 12 说明 说明 通过椭圆参数方程 转化为三角函数的最值问题 一般地 与圆锥曲线有关的 最值问题 用参数方程形式较简便 例例 3 椭圆椭圆与与轴正向交于点轴正向交于点 若这个椭圆上总存在点 若这个椭圆上总存在点 使 使1 2 2 2 2 b y a x 0 baxAP 为坐标原点为坐标原点 求其离心率 求其离心率的取值范围 的取值范围 APOP Oe 分析 分析 为定点 为动点 可以点坐标作为参数 把 转化为OAPPAPOP 点坐标的一个等量关系 再利用坐标的范围建立关于 的一个不等式 转化为Pabc 关于的不等式 为减少参数 易考虑运用椭圆参数方程 e 解 解 设椭圆的参数方程是 sin cos by ax 0 ba 则椭圆上的点 sin cos baP 0 aA APOP 1 cos sin cos sin aa b a b 即 解得或 0coscos 22222 baba 1cos 22 2 cos ba b 舍去 又1cos1 1cos 11 22 2 ba b 222 cab 又 20 2 2 c a 2 2 e10 e1 2 2 e 14 说明 说明 若已知椭圆离心率范围 求证在椭圆上总存在点使 如 1 2 2 PAPOP 何证明 5 相交情况下相交情况下 弦长公式的应用弦长公式的应用 例例 1 已知椭圆已知椭圆及直线及直线 14 22 yxmxy 1 当 当为何值时 直线与椭圆有公共点 为何值时 直线与椭圆有公共点 m 2 若直线被椭圆截得的弦长为 若直线被椭圆截得的弦长为 求直线的方程 求直线的方程 5 102 解 解 1 把直线方程代入椭圆方程得 mxy 14 22 yx 14 2 2 mxx 即 解得0125 22 mmxx 020161542 22 2 mmm 2 5 2 5 m 2 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 由 1 得 1 x 2 x 5 2 21 m xx 5 1 2 21 m xx 根据弦长公式得 解得 方程为 5 102 5 1 4 5 2 11 2 2 2 mm 0 m xy 说明 说明 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题 采用的方法与处理直线和圆 的有所区别 这里解决直线与椭圆的交点问题 一般考虑判别式 解决弦长问题 一般应用弦 长公式 用弦长公式 若能合理运用韦达定理 即根与系数的关系 可大大简化运算过程 例例 2 已知长轴为已知长轴为 12 短轴长为 短轴长为 6 焦点在 焦点在轴上的椭圆 过它对的左焦点轴上的椭圆 过它对的左焦点作倾斜解为作倾斜解为x 1 F 的直线交椭圆于的直线交椭圆于 两点 求弦两点 求弦的长 的长 3 ABAB 分析 分析 可以利用弦长公式求得 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 也可以利用椭圆定义及余弦定理 还可以利用焦点半径来求 解 解 法法 1 利用直线与椭圆相交的弦长公式求解 利用直线与椭圆相交的弦长公式求解 15 因为 所 21 2 1xxkAB 4 1 21 2 21 2 xxxxk 6 a3 b 以 因为焦点在轴上 33 cx 所以椭圆方程为 左焦点 从而直线方程为 1 936 22 yx 0 33 F93 xy 由直线方程与椭圆方程联立得 设 为方程两根 所以083637213 2 xx 1 x 2 x 从而 13 372 21 xx 13 836 21 xx3 k 13 48 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 法法 2 利用椭圆的定义及余弦定理求解利用椭圆的定义及余弦定理求解 由题意可知椭圆方程为 设 则 1 936 22 yx mAF 1 nBF 1 mAF 12 2 nBF 12 2 在中 即 21F AF 3 cos2 211 2 21 2 1 2 2 FFAFFFAFAF 2 1 362336 12 22 mmm 所以 同理在中 用余弦定理得 所 34 6 m 21F BF 34 6 n 以 13 48 nmAB 法法 3 利用焦半径求解 利用焦半径求解 先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根 它们分083637213 2 xx 1 x 2 x 别是 的横坐标 AB 再根据焦半径 从而求出 11 exaAF 21 exaBF 11 BFAFAB 6 相交情况下相交情况下 点差法的应用点差法的应用 例例 1 已知中心在原点 焦点在已知中心在原点 焦点在轴上的椭圆与直线轴上的椭圆与直线交于交于 两点 两点 为为x01 yxABM 中点 中点 的斜率为的斜率为 0 25 椭圆的短轴长为 椭圆的短轴长为 2 求椭圆的方程 求椭圆的方程 ABOM 解 解 由题意 设椭圆方程为 1 2 2 2 y a x 16 由 得 1 01 2 2 2 y a x yx 021 22 2 xaxa 2 2 21 1 2a axx xM 2 1 1 1 a xy MM 4 11 2 ax y k M M OM 4 2 a 为所求 1 4 2 2 y x 说明 说明 1 此题求椭圆方程采用的是待定系数法 2 直线与曲线的综合问题 经 常要借用根与系数的关系 来解决弦长 弦中点 弦斜率问题 例例 2 已知椭圆已知椭圆 求过点 求过点且被且被平分的弦所在的直线方程 平分的弦所在的直线方程 1 2 2 2 y x 2 1 2 1 PP 分析一 分析一 已知一点求直线 关键是求斜率 故设斜率为 利用条件求 kk 解法一 解法一 设所求直线的斜率为 则直线方程为 代入椭圆方程 k 2 1 2 1 xky 并整理得 0 2 3 2 1 2221 2222 kkxkkxk 由韦达定理得 2 2 21 21 22 k kk xx 是弦中点 故得 P1 21 xx 2 1 k 所以所求直线方程为 0342 yx 分析二 分析二 设弦两端坐标为 列关于 的方程组 11 yx 22 yx 1 x 2 x 1 y 2 y 从而求斜率 21 21 xx yy 解法二 解法二 设过的直线与椭圆交于 则由题意得 2 1 2 1 P 11 yxA 22 yxB 17 1 1 1 2 1 2 21 21 2 2 2 2 2 1 2 1 yy xx y x y x 得 0 2 2 2 2 1 2 2 2 1 yy xx 将 代入 得 即直线的斜率为 2 1 21 21 xx yy 2 1 所求直线方程为 0342 yx 说明 说明 1 有关弦中点的问题 主要有三种类型 过定点且被定点平分的弦 平行弦的中点 轨迹 过定点的弦中点轨迹 2 解法二是 点差法 解决有关弦中点问题的题较方便 要点是巧代斜率 3 有关弦及弦中点问题常用的方法是 韦达定理应用 及 点差法 有关二次 曲线问题也适用 例例 3 已知椭圆已知椭圆 1 求过点 求过点且被且被平分的弦所在直线的方程 平分的弦所在直线的方程 1 2 2 2 y x 2 1 2 1 PP 2 求斜率为 求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程 的平行弦的中点轨迹方程 3 过 过引椭圆的割线 求截得的弦的中点的轨迹方程 引椭圆的割线 求截得的弦的中点的轨迹方程 12 A 4 椭圆上有两点 椭圆上有两点 为原点 且有直线为原点 且有直线 斜率满足斜率满足 PQOOPOQ 2 1 OQOP kk 求线段求线段中点中点的轨迹方程 的轨迹方程 PQM 分析 分析 此题中四问都跟弦中点有关 因此可考虑设弦端坐标的方法 解 解 设弦两端点分别为 线段的中点 则 11 yxM 22 yxN MN yxR yyy xxx yx yx 2 2 22 22 21 21 2 2 2 2 2 1 2 1 得 02 21212121 yyyyxxxx 由题意知 则上式两端同除以 有 21 xx 21 xx 02 21 21 2121 xx yy yyxx 将 代入得 02 21 21 xx yy yx 18 1 将 代入 得 故所求直线方程为 2 1 x 2 1 y 2 1 21 21 xx yy 0342 yx 将 代入椭圆方程得 符合题意 22 22 yx0 4 1 66 2 yy0 4 1 6436 为所求 0342 yx 2 将代入 得所求轨迹方程为 椭圆内部分 2 21 21 xx yy 04 yx 3 将代入 得所求轨迹方程为 椭圆 2 1 21 21 x y xx yy 0222 22 yxyx 内部分 4 由 得 将 平方并整理得 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 yy xx 21 22 2 2 1 24xxxxx 21 22 2 2 1 24yyyyy 将 代入 得 224 4 24 21 2 21 2 yyy xxx 再将代入 式得 即 2121 2 1 xxyy 2 2 1 242 21 2 21 2 xxyxxx 1 2 1 2 2 y x 此即为所求轨迹方程 当然 此题除了设弦端坐标的方法 还可用其它方法解决 例例 4 已知椭圆已知椭圆 试确定 试确定的取值范围 使得对于直线的取值范围 使得对于直线 椭 椭1 34 22 yx C mmxyl 4 圆圆上有不同的两点关于该直线对称 上有不同的两点关于该直线对称 C 分析 分析 若设椭圆上 两点关于直线 对称 则已知条件等价于 1 直线 2 ABllAB 弦的中点在 上 ABMl 利用上述条件建立的不等式即可求得的取值范围 mm 解 解 法法 1 设椭圆上 两点关于直线 对称 直线与 交于 11 yxA 22 yxBlABl 点 00 yxM 19 的斜率 设直线的方程为 由方程组消去l4 l kABnxy 4 1 1 34 4 1 22 yx nxy 得y 于是 04816813 22 nnxx 13 8 21 n xx 13 4 2 21 0 nxx x 13 12 4 1 00 n nxy 即点的坐标为 点在直线上 解得M 13 12 13 4 nn Mmxy 4m n n 13 4 4 mn 4 13 将式 代入式 得 0481692613 22 mmxx 是椭圆上的两点 解得AB0 48169 134 26 22 mm 13 132 13 132 m 法法 2 同解法 1 得出 mn 4 13 mmx 4 13 13 4 0 即点坐标为 mmmmxy3 4 13 4 1 4 13 4 1 00 M 3 mm 为椭圆上的两点 点在椭圆的内部 解得ABM1 3 3 4 22 mm 13 132 13 132 m 法法 3 设 是椭圆上关于 对称的两点 直线与 的交点的坐标 11 yxA 22 yxBlABlM 为 00 yx 在