数列复习知识点总结

一份耕耘一份耕耘 一份收一份收获获 1 高二数学第二章高二数学第二章 数列数列 复习 文 复习 文 丁丁红红 2013 09 26 一 知识梳理一 知识梳理 数列概念数列概念 1 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列 数列中的每个数称为该数列的项 2 通项公式 如果数列的第n项与序号之间可以用一个式子表示 那么这个公式叫做这个数 n a 列的通项公式 即 nfan 3 递推公式 如果已知数列的第一项 或前几项 且任何一项 n a与它的前一项 1 n a 或前 n a 几项 间的关系可以用一个式子来表示 即 1 nn afa或 21 nnn aafa 那么这个式子叫做数 列的递推公式 如数列中 12 1 1 nn aaa 其中12 nn aa是数列的递推公式 n a n a n a 4 数列的前n项和与通项的公式 nn aaaS 21 2 1 1 1 nSS nS a nn n 5 数列的表示方法 解析法 图像法 列举法 递推法 6 数列的分类 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数数列 有界数列 无界数列 递增数列 对于任何 Nn 均有 nn aa 1 递减数列 对于任何 Nn 均有 nn aa 1 摆动数列 例如 1 1 1 1 1 常数数列 例如 6 6 6 6 有界数列 存在正数M使 NnMan 无界数列 对于任何正数M 总有项使得Man n a 等差数列等差数列 1 等差数列的概念 如果一个数列从第二项起 每一项与它前一项的差等于同一个常数d 这个数列叫做等差数列 常数d称为等差数列的公差 2 通项公式与前n项和公式 通项公式dnaan 1 1 1 a为首项 d为公差 前n项和公式 2 1n n aan S 或dnnnaSn 1 2 1 1 3 等差中项 如果bAa 成等差数列 那么A叫做a与b的等差中项 即 A是a与b的等差中项 baA 2 a A b成等差数列 4 等差数列的判定方法 定义法 daa nn 1 Nn d是常数 是等差数列 n a 中项法 21 2 nnn aaa Nn 是等差数列 n a 3 通项法 是等差数列 n apnqp q 为常数 n a 4 前 n 相和法 是等差数列 2 0 0 n Spnqpq n a 一份耕耘一份耕耘 一份收一份收获获 2 5 等差数列的常用性质 数列是等差数列 则数列 pan n pa p是常数 都是等差数列 n a 在等差数列中 等距离取出若干项也构成一个等差数列 即 32knknknn aaaa 为等差 n a 数列 公差为kd dmnaa mn banan a b是常数 bnanSn 2 a b是常数 0 a 若 Nqpnmqpnm 则 qpnm aaaa 若等差数列的前n项和 n S 则 n Sn 是等差数列 n a 当项数为 2 Nnn 则 n n a a S S ndSS 1 奇 偶 奇偶 当项数为 2n 1 时 则 则 1 anSSa 奇中 偶 1 Sn Sn 奇 偶 当项数为 12 Nnn 则 n n S S aSS n 1 奇 偶 偶奇 等比数列等比数列 1 等比数列的概念 如果一个数列从第二项起 每一项与它前一项的比等于同一个常数 0 qq 这个数列叫做等比 数 列 常数q称为等比数列的公比 2 通项公式与前n项和公式 通项公式 1 1 n n qaa 1 a为首项 q为公比 前n项和公式 当1 q时 1 naSn 当1 q时 q qaa q qa S n n n 11 1 11 3 等比中项 如果bGa 成等比数列 那么G叫做a与b的等比中项 即 G是a与b的等比中项 a A b成等比数列 baG 2 4 等比数列的判定方法 定义法 q a a n n 1 Nn 0 q是常数 是等比数列 n a 中项法 2 2 1 nnn aaa Nn 且0 n a 是等比数列 n a 通项法 是等比数列 0 n n acqc q n a 前 n 相和法 是等比数列 0 0 0 1 n n SAqBABABq n a 5 等比数列的常用性质 数列是等比数列 则数列 n pa n pa 0 q是常数 都是等比数列 n a 在等比数列中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即 32knknknn aaaa 为等比 n a 数列 公比为 k q Nmnqaa mn mn 若 Nqpnmqpnm 则 qpnm aaaa 一份耕耘一份耕耘 一份收一份收获获 3 若等比数列的前n项和 n S 则 k S kk SS 2 kk SS 23 kk SS 34 是等比数列 n a 二 典型例题二 典型例题 A 求值类的计算题 多关于等差等比数列 求值类的计算题 多关于等差等比数列 1 根据基本量求解 方程的思想 1 已知 n S为等差数列的前n项和 63 6 9 94 n Saa 求n n a 2 等差数列 n a中 4 10a 且 3610 aaa 成等比数列 求数列 n a前 20 项的和 20 S 3 设是公比为正数的等比数列 若16 1 51 aa 求数列前 7 项的和 n a n a 4 已知四个实数 前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 首末两数之和为37 中间两数之 和为36 求这四个数 2 根据数列的性质求解 整体思想 1 已知 n S为等差数列的前n项和 100 6 a 则 11 S n a 2 设 n S n T分别是等差数列 的前n项和 3 27 n n T S n n 则 5 5 b a n a n a 3 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 若 5 9 3 5 9 5 S S a a 则 4 等差数列 n a n b的前n项和分别为 n S n T 若 2 31 n n Sn Tn 则 n n a b 5 已知 n S为等差数列的前n项和 mnnSmS mn 则 nm S n a 6 在正项等比数列 n a中 153537 225a aa aa a 则 35 aa 7 已知数列 n a是等差数列 若 4710 17aaa 456121314 77aaaaaa 且13 k a 则k 8 已知 n S为等比数列前n项和 54 n S 60 2 n S 则 n S3 n a 9 在等差数列 n a中 若4 1 84 SS 则 20191817 aaaa 的值为 10 在等比数列中 已知 910 0 aaa a 1920 aab 则 99100 aa 11 已知为等差数列 20 8 6015 aa 则 75 a n a 12 等差数列中 已知 n a 84 816 1 3 SS SS 求 B 求数列通项公式 求数列通项公式 1 给出前几项 求通项公式 1 0 1 0 21 15 10 6 3 1 3 3 33 333 33 333 3333 33333 3333 33333 2 给出前 n 项和求通项公式 1 nnSn32 2 13 n n S 2 设数列满足 求数列的通项公式 n a 2 123 33 3 n n aaaanN n 1 3 n a 3 给出递推公式求通项公式 a a 已知关系式已知关系式 1 nfaa nn 可利用迭加法或迭代法 可利用迭加法或迭代法 一份耕耘一份耕耘 一份收一份收获获 4 11232211 aaaaaaaaaa nnnnnnn 例 已知数列中 2 12 2 11 nnaaa nn 求数列的通项公式 n a n a b b 已知关系式 已知关系式 1 nfaa nn 可利用迭乘法 可利用迭乘法 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 a a a a a a a a a a a a n n n n n n n 例 已知数列满足 求求数列的通项公式 n a 1 1 1 2 2 1 n n an na an n a c c 构造新数列 构造新数列 1 递推关系形如 qpaa nn 1 利用待定系数法求解 例 已知数列中 32 1 11 nn aaa 求数列的通项公式 n a n a 2 递推关系形如 两边同除或待定系数法求解 1n p 例 n nn aaa32 1 11 求数列的通项公式 n a 3 递推已知数列中 关系形如 nnn aqapa 12 利用待定系数法求解 n a 例 已知数列中 nnn aaaaa23 2 1 1221 求数列的通项公式 n a n a 4 递推关系形如 两边同除以 11nnnn apaqa a p q0 1nn a a 例 1 已知数列中 求数列的通项公式 n a 11 22 nnnn aaa a 1 n2 a n a 例 2 数列 n a中 4 2 2 11 Nn a a aa n n n 求数列 n a的通项公式 d 给出关于 给出关于和和的关系的关系 n S n a 例 1 设数列的前n项和为 n S 已知 3 11 NnSaaa n nn 设 n nn Sb3 n a 求数列 n b的通项公式 例 2 设 n S是数列 n a的前n项和 1 1 a 2 2 1 2 nSaS nnn 求 n a的通项 设 12 n S b n n 求数列 n b的前n项和 n T C 证明数列是等差或等比数列 证明数列是等差或等比数列 1 证明数列等差 例 1 已知 n S为等差数列的前n项和 Nn n S b n n 求证 数列 n b是等差数列 n a 例 2 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且满足 an 2Sn Sn 1 0 n 2 a1 求证 是等差数 2 1 n S 1 列 2 证明数列等比 例 1 设 an 是等差数列 bn 求证 数列 bn 是等比数列 n a 2 1 例 2 设 n S为数列的前n项和 已知 21 n nn babS n a 证明 当2b 时 1 2n n an 是等比数列 求 n a的通项公式 D 求数列的前 求数列的前 n 项和项和 基本方法 一份耕耘一份耕耘 一份收一份收获获 5 1 公式法 2 拆解求和法 例 1 求数列的前n项和 n S n 223 n 例 2 求数列 2 1 8 1 3 4 1 2 2 1 1 n n 的前n项和 n S 例 3 求和 2 5 3 6 4 7 n n 3 2 裂项相消法 数列的常见拆项有 nn nn 1 1 1 11 11 n nkk nnk 例 1 求和 S 1 n 321 1 321 1 21 1 例 2 求和 nn 1 1 34 1 23 1 12 1 3 倒序相加法 例 设 2 2 1 x x xf 求 4 3 2 2 1 3 1 4 1 ffffff 2010 2009 2 2 1 3 1 2009 1 2010 1 fffffff 4 错位相减法 例 若数列 n a的通项 n n na3 12 求此数列的前n项和 n S 5 对于数列等差和等比混合数列分组求和 例 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 12n n2 求数列 an 的前n项和 Tn E 数列单调性最值问题 数列单调性最值问题 例 1 数列中 492 nan 当数列的前n项和 n S取得最小值时 n n a n a 例 2 已知 n S为等差数列的前n项和 16 25 41 aa当n为何值时 n S取得最大值 n a 例 3 数列中 1283 2 nnan 求 n a取最小值时n的值 n a 例 4 数列中 2 2 nnan 求数列的最大项和最小项 n a n a 例 5 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 aa 1 3n nn aS n N 设3n nn bS 求数列 n b的通项公式 若 1nn aa n N 求a的取值范围 例 6 已知 n