河南省2019届中考数学专题复习专题七类比探究题训练

专题七专题七 类比探究题类比探究题 类型一 线段数量关系问题 2018 2018 河南 1 问题发现 如图 在 OAB 和 OCD 中 OA OB OC OD AOB COD 40 连接 AC BD 交于点 M 填空 的值为 AC BD AMB 的度数为 2 类比探究 如图 在 OAB 和 OCD 中 AOB COD 90 OAB OCD 30 连接 AC 交 BD 的延长线于点 M 请判断的值及 AMB 的度数 并说明理由 AC BD 3 拓展延伸 在 2 的条件下 将 OCD 绕点 O 在平面内旋转 AC BD 所在直线交于点 M 若 OD 1 OB 请直接 7 写出当点 C 与点 M 重合时 AC 的长 分析 1 证明 COA DOB SAS 得 AC BD 比值为 1 由 COA DOB 得 CAO DBO 根据三角形的内角和定理 得 AMB 180 DBO OAB ABD 180 140 40 2 根据两边的比相等且夹角相等可得 AOC BOD 则 由全等三角形的性质得 AMB 的度 AC BD OC OD3 数 3 正确画出图形 当点 C 与点 M 重合时 有两种情况 如解图 和 同理可得 AOC BOD 则 AMB 90 可得 AC 的长 AC BD3 自主解答 解 1 问题发现 1 解法提示 AOB COD 40 COA DOB OC OD OA OB COA DOB SAS AC BD 1 AC BD 40 解法提示 COA DOB CAO DBO AOB 40 OAB ABO 140 在 AMB 中 AMB 180 CAO OAB ABD 180 DBO OAB ABD 180 140 40 2 类比探究 AMB 90 理由如下 AC BD3 在 Rt OCD 中 DCO 30 DOC 90 tan 30 OD OC 3 3 同理 得 tan 30 OB OA 3 3 AOB COD 90 AOC BOD AOC BOD CAO DBO AC BD OC OD3 AMB 180 CAO OAB MBA 180 DAB MBA OBD 180 90 90 3 拓展延伸 点 C 与点 M 重合时 如解图 同理得 AOC BOD AMB 90 AC BD3 设 BD x 则 AC x 3 在 Rt COD 中 OCD 30 OD 1 CD 2 BC x 2 在 Rt AOB 中 OAB 30 OB 7 AB 2OB 2 7 在 Rt AMB 中 由勾股定理 得 AC2 BC2 AB2 即 x 2 x 2 2 2 2 37 解得 x1 3 x2 2 舍去 AC 3 3 点 C 与点 M 重合时 如解图 同理得 AMB 90 AC BD3 设 BD x 则 AC x 3 在 Rt AMB 中 由勾股定理 得 AC2 BC2 AB2 即 x 2 x 2 2 2 2 37 解得 x1 3 解得 x2 2 舍去 AC 2 3 综上所述 AC 的长为 3或 2 33 图 图 例 1 题解图 1 1 2016 2016 河南 1 发现 如图 点 A 为线段 BC 外一动点 且 BC a AB b 填空 当点 A 位于 时 线段 AC 的长取得最大值 且最大值为 用含 a b 的 式子表示 2 应用 点 A 为线段 BC 外一动点 且 BC 3 AB 1 如图 所示 分别以 AB AC 为边 作等边三角形 ABD 和等 边三角形 ACE 连接 CD BE 请找出图中与 BE 相等的线段 并说明理由 直接写出线段 BE 长的最大值 3 拓展 如图 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标为 2 0 点 B 的坐标为 5 0 点 P 为线段 AB 外一动点 且 PA 2 PM PB BPM 90 请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标 2 2 2015 2015 河南 如图 在 Rt ABC 中 B 90 BC 2AB 8 点 D E 分别是边 BC AC 的中点 连接 DE 将 EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转 记旋转角为 1 问题发现 当 0 时 AE BD 5 2 当 180 时 AE BD 5 2 2 拓展探究 试判断 当 0 360 时 的大小有无变化 请仅就图 的情形给出证明 AE BD 3 解决问题 当 EDC 旋转至 A D E 三点共线时 直接写出线段 BD 的长 3 3 2014 2014 河南 1 问题发现 如图 ACB 和 DCE 均为等边三角形 点 A D E 在同一直线上 连接 BE 填空 AEB 的度数为 线段 AD BE 之间的数量关系为 2 拓展探究 如图 ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形 ACB DCE 90 点 A D E 在同一直线上 CM 为 DCE 中 DE 边上的高 连接 BE 请判断 AEB 的度数及线段 CM AE BE 之间的数量关系 并说明理由 3 解决问题 如图 在正方形 ABCD 中 CD 若点 P 满足 PD 1 且 BPD 90 请直接写出点 A 到 BP 的距 2 离 4 4 2018 2018 南阳二模 在 ABC 中 ACB 是锐角 点 D 在射线 BC 上运动 连接 AD 将线段 AD 绕点 A 逆 时针旋转 90 得到 AE 连接 EC 1 操作发现 若 AB AC BAC 90 当 D 在线段 BC 上时 不与点 B 重合 如图 所示 请你直接写出线段 CE 和 BD 的位置关系和数量关系是 2 猜想论证 在 1 的条件下 当 D 在线段 BC 的延长线上时 如图 所示 请你判断 1 中结论是否成立 并证明你的 判断 3 拓展延伸 如图 若 AB AC BAC 90 点 D 在线段 BC 上运动 试探究 当锐角 ACB 等于 度时 线段 CE 和 BD 之间的位置关系仍成立 点 C E 重合除外 此时若作 DF AD 交线段 CE 于点 F 且当 AC 3时 请直接写出线段 CF 的长的最大值是 2 5 5 已知 如图 ABC AED 是两个全等的等腰直角三角形 其顶点 B E 重合 BAC AED 90 O 为 BC 的中点 F 为 AD 的中点 连接 OF 1 问题发现 如图 OF EC 将 AED 绕点 A 逆时针旋转 45 如图 OF EC 2 类比延伸 将图 中 AED 绕点 A 逆时针旋转到如图 所示的位置 请计算出的值 并说明理由 OF EC 3 拓展探究 将图 中 AED 绕点 A 逆时针旋转 旋转角为 0 90 AD AED 在旋转过程中 存在 2 ACD 为直角三角形 请直接写出线段 CD 的长 类型二 图形面积关系问题 2017 2017 河南 如图 在 Rt ABC 中 A 90 AB AC 点 D E 分别在边 AB AC 上 AD AE 连接 DC 点 M P N 分别为 DE DC BC 的中点 1 观察猜想 图 中 线段 PM 与 PN 的数量关系是 位置关系是 2 探究证明 把 ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 的位置 连接 MN BD CE 判断 PMN 的形状 并说明理由 3 拓展延伸 把 ADE 绕 A 在平面内自由旋转 若 AD 4 AB 10 请直接写出 PMN 面积的最大值 图 图 例 2 题图 分析 1 利用三角形的中位线定理得出 PM CE PN BD 进而判断出 BD CE 即可得出结论 再 1 2 1 2 利用三角形的中位线定理得出 PM CE 继而得出 DPM DCA 最后用互余即可得出结论 2 先判断出 ABD ACE 得出 BD CE 同 1 的方法得出 PM BD PN BD 即可得出 PM PN 同 1 的 1 2 1 2 方法即可得出结论 3 先判断出 MN 最大时 PMN 的面积最大 进而求出 AN AM 即可得出 MN 最大 AM AN 最后用面积 公式即可得出结论 自主解答 解 1 点 P N 是 BC CD 的中点 PN BD PN BD 1 2 点 P M 是 CD DE 的中点 PM CE PM CE 1 2 AB AC AD AE BD CE PM PN PN BD DPN ADC PM CE DPM DCA BAC 90 ADC ACD 90 MPN DPM DPN DCA ADC 90 PM PN 2 由旋转知 BAD CAE AB AC AD AE ABD ACE SAS ABD ACE BD CE 同 1 的方法 利用三角形的中位线定理 得 PN BD 1 2 PM CE 1 2 PM PN PMN 是等腰三角形 同 1 的方法得 PM CE DPM DCE 同 1 的方法得 PN BD PNC DBC DPN DCB PNC DCB DBC MPN DPM DPN DCE DCB DBC BCE DBC ACB ACE DBC ACB ABD DBC ACB ABC BAC 90 ACB ABC 90 MPN 90 PMN 是等腰直角三角形 例 2 题解图 3 如解图 同 2 的方法得 PMN 是等腰直角三角形 当 MN 最大时 PMN 的面积最大 DE BC 且 DE 在顶点 A 上面 MN 最大 AM AN 连接 AM AN 在 ADE 中 AD AE 4 DAE 90 AM 2 2 在 Rt ABC 中 AB AC 10 AN 5 2 MN最大 2 5 7 222 S PMN 最大 PM2 MN2 7 2 1 2 1 2 1 2 1 42 49 2 1 1 2013 2013 河南 如图 将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置 其中 C 90 B E 30 1 操作发现 如图 固定 ABC 使 DEC 绕点 C 旋转 当点 D 恰好落在 AB 边上时 填空 线段 DE 与 AC 的位置关系是 设 BDC 的面积为 S1 AEC 的面积为 S2 则 S1与 S2的数量关系是 2 猜想论证 当 DEC 绕点 C 旋转到如图 所示的位置时 小明猜想 1 中 S1与 S2的数量关系仍然成立 并尝试分别作 出了 BDC 和 AEC 中 BC CE 边上的高 请你证明小明的猜想 3 拓展探究 已知 ABC 60 点 D 是角平分线上一点 BD CD 4 DE AB 交 BC 于点 E 如图 若在射线 BA 上 存在点 F 使 S DCF S BDE 请直接写出相应的 BF 的长 2 2 已知 Rt ABC 中 BC AC C 90 D 为 AB 边的中点 EDF 90 将 EDF 绕点 D 旋转 它的 两边分别交 AC CB 或它们的延长线 于 E F 当 EDF 绕点 D 旋转到 DE AC 于 E 时 如图 所示 试证 明 S DEF S CEF S ABC 1 2 1 当 EDF 绕点 D 旋转到 DE 和 AC 不垂直时 如图 所示 上述结论是否成立 若成立 请说明理由 若不成立 试说明理由 2 直接写出图 中 S DEF S CEF与 S ABC之间的数量关系 3 3 2018 2018 郑州模拟 如图 所示 将两个正方形 ABCD 和正方形 CGFE 如图所示放置 连接 DE BG 1 图中 DCE BCG 设 DCE 的面积为 S1 BCG 的面积为 S2 则 S1与 S2的数量关系 为 猜想论证 2 如图 所示 将矩形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转后得到矩形 FECG 连接 DE BG 设 DCE 的面积 为 S1 BCG 的面积为 S2 猜想 S1和 S2的数量关系 并加以证明 3 如图 所示 在 ABC 中 AB AC 10 cm B 30 把 ABC 沿 AC 翻折得到 AEC 过点 A 作 AD 平行 CE 交 BC 于点 D 在线段 CE 上存在点 P 使 ABP 的面积等于 ACD 的面积 请写出 CP 的长 4 4 2018 2018 驻马店一模 如图 ABC 与 CDE 都是等腰直角三角形 直角边 AC CD 在同一条直线上 点 M N 分别是斜边 AB DE 的中点 点 P 为 AD 的中点 连接 AE BD PM PN MN 1 观察猜想 图 中 PM 与 PN 的数量关系是 位置关系是 2 探究证明 将图 中的 CDE 绕着点 C 顺时针旋转 0 90 得到图 AE 与 MP BD 分别交于点 G H 判断 PMN 的形状 并说明理由 3 拓展延伸 把 CDE 绕点 C 任意旋转 若 AC 4 CD 2 请直接写出 PMN 面积的最大值 参考答案 类型一 针对训练 1 解 1 点 A 为线段 BC 外一动点 且 BC a AB b 当点 A 位于 CB 的延长线上时 线段 AC 的长取得最大值 且最大值为 BC AB a b 2 CD BE 理由 ABD 与 ACE 是等边三角形 AD AB AC AE BAD CAE 60 BAD BAC CAE BAC 即 CAD EAB 在 CAD 和 EAB 中 AD AB CAD EAB AC AE CAD EAB CD BE 线段 BE 长的最大值等于线段 CD 的最大值 由 1 知 当线段 CD 的长取得最大值时 点 D 在 CB 的延长线上 线段 BE 长的最大值为 BD BC AB BC 4 3 将 APM 绕着点 P 顺时针旋转 90 得到 PBN 连接 AN 如解图 则 APN 是等腰直角三角形 PN PA 2 BN AM 点 A 的坐标为 2 0 点 B 的坐标为 5 0 OA 2 OB 5 AB 3 线段 AM 长的最大值等于线段 BN 长的最大值 当点 N 在线段 BA 的延长线时 线段 BN 取得最大值 最大值为 AB AN AN AP 2 22 线段 AM 的长最大值为 2 3 2 如解图 过点 P 作 PE x 轴于点 E APN 是等腰直角三角形 PE AE 2 OE BO AB AE 5 3 2 22 P 2 22 图 图 第 1 题解图 2 解 1 当 0 时 在 Rt ABC 中 B 90 AC 4 AB2 BC2 8 2 2 825 点 D E 分别是边 BC AC 的中点 AE 4 2 2 BD 8 2 4 55 AE BD 25 4 5 2 如解图 当 180 时 得可得 AB DE AC AE BC BD AE BD AC BC 45 8 5 2 2 当 0 360 时 的大小没有变化 AE BD ECD ACB ECA DCB 又 EC DC AC BC 5 2 ECA DCB AE BD EC DC 5 2 图 图 图 第 2 题解图 3 如解图 AC 4 CD 4 CD AD 5 AD 8 AC2 CD2 45 2 4280 16 AD BC AB DC B 90 四边形 ABCD 是矩形 BD AC 4 5 如解图 连接 BD 过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q 过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P AC 4 CD 4 CD AD 5 AD 8 AC2 CD2 45 2 4280 16 点 D E 分别是边 BC AC 的中点 DE AB 8 2 4 2 1 2 1 2 1 2 AE AD DE 8 2 6 由 2 可得 AE BD 5 2 BD 6 5 2 125 5 综上所述 BD 的长为 4或 5 125 5 3 解 1 ACB 和 DCE 均为等边三角形 CA CB CD CE ACB DCE 60 ACD BCE 在 ACD 和 BCE 中 AC BC ACD BCE CD CE ACD BCE SAS ADC BEC DCE 为等边三角形 CDE CED 60 点 A D E 在同一直线上 ADC 120 BEC 120 AEB BEC CED 60 ACD BCE AD BE 2 AEB 90 AE BE 2CM 理由如下 ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形 CA CB CD CE ACB DCE 90 ACD BCE 在 ACD 和 BCE 中 CA CB ACD BCE CD CE ACD BCE SAS AD BE ADC BEC DCE 为等腰直角三角形 CDE CED 45 点 A D E 在同一直线上 ADC 135 BEC 135 AEB BEC CED 90 CD CE CM DE DM ME DCE 90 DM ME CM AE AD DE BE 2CM 3 PD 1 点 P 在以点 D 为圆心 1 为半径的圆上 BPD 90 点 P 在以 BD 为直径的圆上 点 P 是这两圆的交点 当点 P 在如解图 所示位置时 连接 PD PB PA 作 AH BP 垂足为 H 过点 A 作 AE AP 交 BP 于点 E 四边形 ABCD 是正方形 ADB 45 AB AD DC BC BAD 90 2 BD 2 DP 1 BP 3 BPD BAD 90 点 A P D B 在以 BD 为直径的圆上 APB ADB 45 PAE 是等腰直角三角形 又 BAD 是等腰直角三角形 点 B E P 共线 AH BP 由 2 中的结论可得 BP 2AH PD 2AH 1 3 AH 3 1 2 当点 P 在如解图 所示位置时 连接 PD PB PA 作 AH BP 垂足为 H 过点 A 作 AE AP 交 PB 的延长线于点 E 同理可得 BP 2AH PD 2AH 1 3 AH 3 1 2 综上所述 点 A 到 BP 的距离为或 3 1 2 3 1 2 图 图 第 3 题解图 4 解 1 AB AC BAC 90 线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90 得到 AE AD AE BAD CAE BAD CAE CE BD ACE B BCE BCA ACE 90 线段 CE BD 之间的位置关系和数量关系为 CE BD CE BD 2 1 中的结论仍然成立 证明如下 如解图 线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90 得到 AE AE AD DAE 90 AB AC BAC 90 CAE BAD ACE ABD CE BD ACE B BCE 90 线段 CE BD 之间的位置关系和数量关系为 CE BD CE BD 3 45 3 4 过 A 作 AM BC 于 M 过点 E 作 EN MA 交 MA 的延长线于 N 如解图 线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90 得到 AE DAE 90 AD AE NAE ADM 易证得 Rt AMD Rt ENA NE AM CE BD 即 CE MC MCE 90 四边形 MCEN 为矩形 NE MC AM MC ACB 45 四边形 MCEN 为矩形 Rt AMD Rt DCF 设 DC x MD CF AM DC 在 Rt AMC 中 ACB 45 AC 3 2 AM CM 3 MD 3 x 3 x CF 3 x CF x2 x x 2 1 3 1 3 3 2 3 4 当 x 时 CF 有最大值 最大值为 3 2 3 4 故答案为 45 3 4 图 图 第 4 题解图 5 解 1 ABC AED 是两个全等的等腰直角三角形 AD BC O 为 BC 的中点 F 为 AD 的中点 AF OC BAC AED 90 AB AC AE DE DAE CBA 45 AD BC 四边形 AFOC 是平行四边形 OF AC EC 2 2 OF EC 2 2 故答案 2 2 AO AC BAO CAO 45 DAE 45 2 2 DAE CAO AE AC AF AO AF AE AO AC AFO AEC OF EC AO AC 2 2 故答案 2 2 2 OF EC 2 2 理由 在等腰直角 ADE 中 F 为 AD 的中点 AF AD AE 1 2 2 2 在等腰直角 ABC 中 O 为 BC 的中点 如解图 连接 AO AO AC BAO CAO 45 2 2 DAE 45 DAE CAO 即 DAO CAE AE AC AF AO AF AE AO AC AFO AEC OF EC AO AC 2 2 3 ABC 和 AED 是两个全等的等腰直角三角形 AD BC 2 ED AE AB AC 1 当 ACD 为直角三角形时 分两种情况 图 图 图 第 5 题解图 当 AD 与 AB 重合时 如解图 连接 CD 当 ACD 为直角三角形时 AD AC 即将 ADE 绕点 A 逆时针旋转 45 AD AC 1 2 由勾股定理可得 CD 2 2 123 当 AE 与 AC 重合时 如解图 当 ACD 为直角三角形时 AC CD 即将 ADE 绕点 A 逆时针旋转 90 此时 CD AC 1 综上所述 CD 的长为或 1 3 类型二 针对训练 1 解 1 DEC 绕点 C 旋转到点 D 恰好落在 AB 边上 AC CD BAC 90 B 90 30 60 ACD 是等边三角形 ACD 60 又 CDE BAC 60 ACD CDE DE AC B 30 C 90 CD AC AB 1 2 BD AD AC 根据等边三角形的性质 ACD 的边 AC AD 上的高相等 BDC 的面积和 AEC 的面积相等 等底等高的三角形的面积相等 即 S1 S2 2 DEC 是由 ABC 绕点 C 旋转得到 BC CE AC CD DCE ACB 90 ACN ACE 180 ACN DCM 在 ACN 和 DCM 中 ACN DCM N CMD 90 AC CD ACN DCM AAS AN DM BDC 的面积和 AEC 的面积相等 等底等高的三角形的面积相等 即 S1 S2 第 1 题解图 3 如解图 过点 D 作 DF1 BE 交 BA 于点 F1 易求得四边形 BEDF1是菱形 BE DF1 且 BE DF1边上的 高相等 此时 S DCF1 S BDE 过点 D 作 DF2 BD ABC 60 F1D BE 交 BA 于点 F2 F2F1D ABC 60 BF1 DF1 F1BD ABC 30 F2DB 90 1 2 F1DF2 ABC 60 DF1F2是等边三角形 DF1 DF2 BD CD ABC 60 点 D 是角平分线上一点 DBC DCB 60 30 1 2 CDF1 180 BCD 180 30 150 CDF2 360 150 60 150 CDF1 CDF2 在 CDF1和 CDF2中 DF1 DF2 CDF1 CDF2 CD CD CDF1 CDF2 SAS 点 F2也是所求的点 ABC 60 点 D 是角平分线上一点 DE AB DBC BDE ABD 60 30 1 2 又 BD 4 BE 4 cos 30 2 1 2 3 2 43 3 BF1 BF2 BF1 F1F2 43 3 43 3 43 3 83 3 故 BF 的长为或 43 3 83 3 2 解 当 EDF 绕 D 点旋转到 DE AC 时 四边形 CEDF 是正方形 设 ABC 的边长 AC BC a 则正方形 CEDF 的边长为 a 1 2 S ABC a2 S正方形 CEDF a 2 a2 即 S DEF S CEF S ABC 1 2 1 2 1 4 1 2 1 上述结论成立 理由如下 连接 CD 如解图 所示 AC BC ACB 90 D 为 AB 中点 B 45 DCE ACB 45 CD AB CD AB BD 1 2 1 2 DCE B CDB 90 EDF 90 1 2 在 CDE 和 BDF 中 1 2 CD BD DCE B CDE BDF ASA S DEF S CEF S ADE S BDF S ABC 1 2 图 图 第 2 题解图 2 S DEF S CEF S ABC 理由如下 1 2 连接 CD 如解图 所示 同 1 得 DEC DFB DCE DBF 135 S DEF S五边形 DBFEC S CFE S DBC S CFE S ABC 1 2 S DEF S CFE S ABC 1 2 S DEF S CEF S ABC的关系是 S DEF S CEF S ABC 1 2 3 解 1 如解图 中 四边形 ABCD EFGC 都是正方形 BCD ECG 90 BCG BCD DCE ECG 360 BCG ECD 180 图 图 图 第 3 题解图 如解图 过点 E 作 EM DC 于点 M 过点 G 作 GN BN 交 BN 的延长线于点 N EMC N 90 四边形 ABCD 和四边形 ECGF 均为正方形 BCD DCN ECG 90 CB CD CE CG 1 90 2 3 90 2 1 3 在 CME 和 CNG 中 EMC GNC 1 3 EC CG CME CNG ASA EM GN 又 S1 CD EM S2 CB GN 1 2 1 2 S1 S2 故答案为 180 S1 S2 2 猜想 S1 S2 证明 如解图 过点 E 作 EM DC 于点 M 过点 B 作 BN GC 交 GC 的延长线于点 N EMC N 90 矩形 CGFE 由矩形 ABCD 旋转得到的 CE CB CG CD ECG ECN BCD 90 1 90 2 3 90 2 1 3 在 CME 和 CNB 中 EMC BNC 1 3 EC CB CME CN