考点25数列求和及综合应用

圆学子梦想 铸金字品牌 1 温馨提示 温馨提示 此此题库为题库为 Word 版 版 请请按住按住 Ctrl 滑滑动动鼠鼠标滚轴标滚轴 调节调节合适的合适的观观 看比例 点看比例 点击击右上角的关右上角的关闭闭按按钮钮可返回目可返回目录录 考点考点 2525 数列求和及综合应用数列求和及综合应用 一 选择题一 选择题 1 2012 2012 新课标全国高考文科新课标全国高考文科 1212 数列 an 满足an 1 1 n an 2n 1 则 an 的前 60 项和为 A 3690 B 3660 C 1845 D 1830 解题指南 依次写出数列的项 直至发现规律 一般这类数列具有周期性或 者能直接求出通项公式 找到规律后 可直接求和 解析 选 D 1 121 n nn aan 21314151 1 2 7 aa aa aa aa 61718191 9 2 15 aa aa aa aa 101111121 17 2 23aa aa aa 571 aa 581 113aa 591 2aa 601 115aa 12601234 aaaaaaa 567857585960 aaaaaaaa 102642 234 1510234 1830 2 二 填空题二 填空题 2 2012 2012 新课标全国高考理科新课标全国高考理科 T16 T16 数列 n a 满足 1 1 n nn aa 2n 1 则前 60 项和为 解题指南 依次写出数列的项 直至发现规律 一般这类数列具有周期性或 者能直接求出通项公式 找到规律后 可直接求和 解析 1 121 n nn aan 圆学子梦想 铸金字品牌 2 21314151 1 2 7 aa aa aa aa 61718191 9 2 15 aa aa aa aa 101111121 17 2 23aa aa aa 571 aa 581 113aa 591 2aa 601 115aa 12601234 aaaaaaa 567857585960 aaaaaaaa 102642 234 1510234 1830 2 答案 1830 3 2012 2012 湖北高考文科湖北高考文科 1717 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在 沙滩上面画点或用小石子表示数 他们研究过如图所示的三角形数 将三角形数 1 3 6 10 记为数列 an 将可被 5 整除的三角形数按从小到 大的顺序组成一个新数列 bn 可以推测 b2012是数列 an 中的第 项 b2k 1 用 k 表示 解题指南 本题考查求数列通项公式的方法 解答本题可先根据数列 an 前 项与后项的关系 求出数列 an 的通项 再结合数列 bn 与 an 的关系求出数 列 bn 的通项解答本题 解析 由图可知数列 an 满足 a1 1 an an 1 n n 2 所以 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 n n 1 2 1 n 2 当 n 1 n n 1 2 时 也符合上式 则 an n n 1 2 当 n 4 5 9 10 14 15 19 20 时 构成数列 bn 的第 1 2 3 4 项 则可以看出 n 5 10 15 20 时 分别对应着 bn 的第 2 4 6 8 项 圆学子梦想 铸金字品牌 3 1 b2012是数列 an 中的第 5030 项 2 b2k 1 5k 5k 1 2 答案 1 5030 2 5k 5k 1 2 4 2012 2012 湖南高考文科湖南高考文科 1616 对于 将n表示为Nn 当时 当时为 0 或 1 110 110 2222 kk kk naaaa ik 1 i a 01ik i a 定义如下 在 的上述表示中 当 a2 ak中等于 1 的个数为奇数时 n bn 01 a a bn 1 否则bn 0 中国教 育当 n 2 时 12 1113 1 52aa 当 3n 时 012211 32 12 222222 nnnnnnnnn nnnnnn aCCCCC 01221101222222 222221212 nn nnnnnnn CCCCCCCnnnnn 2 111 11 222 n annnn 123 111111 111111 1 52 35462 n aaaann 61 11116171793 52 341252 121202nn 9 2012 2012 广东高考文科广东高考文科 1919 设数列 n a 前n项和为 n S 数列 n S 前n项和为 n T 满足 2 2 nn TSn nN 1 求 1 a 的值 2 求数列 n a 的通项公式 解题指南 1 根据 2 2 nn TSn 利用 111 aST 可建立关于 1 a 的方程 即可 求出 1 a 2 解本题的关键是 2 11 22 1 nn nSn 时 T 22 111 2 2 1 2 21 nnnnnnn STTSnSnSSn 221 n an 因为当 n 1 时 11 1aS 也满足上式 所以 221 1 nn Sann 然后转化为常规题型来做即可 圆学子梦想 铸金字品牌 10 解析 1 令 n 1 时 11111111 21 21 1TSTSaaaa 2 2 11 22 1 nn nSn 时 T 22 111 2 2 1 2 21 nnnnnnn STTSnSnSSn 221 n an 因为当 n 1 时 11 1aS 也满足上式 所以 221 1 nn Sann 当 11 222 1 1 nn nan 时 S 两式相减得 1 222 nnn aaa 所以 1 22 2 nn aan 所以 1 22 2 nn aa 因为 1 230a 所以数列 2 n a 是以 3 为首项 公比为 2 的等比数列 所以 1 23 2 n n a 所以 1 3 22 n n a 10 2012 2012 安徽高考理科安徽高考理科 2121 本小题满分本小题满分 1313 分 分 数列 n x 满足 2 11 0 nnn xxxxc nN I 证明 n x 是递减数列的充分必要条件是 0c II 求c的取值范围 使 n x 是递增数列 解题指南 1 要证明必要性和充分性 2 由 I 0c 然后分类讨论 根据作差法去讨论c的值 解析 I 必要条件 当 0c 时 2 1nnnn xxxcx 数列 n x 是单调递减数列 充分条件 数列 n x 是单调递减数列 22 12111 0 xxxxccx 得 数列 n x 是单调递减数列的充分必要条件是 0c 圆学子梦想 铸金字品牌 11 II 由 I 得 0C 当 0c 时 1 0 n aa 不合题意 当 0c 时 2 2132 201xcx xccxcc 22 11 010 nnnnn xxcxxcxxc 22 211111 1 nnnnnnnnnn xxxxxxxxxx 当 1 4 c 时 121 1 10 2 nnnnn xcxxxx 与 1nn xx 同号 由 2121 00 nnnn xxcxxxx 2 1 limlim lim nnnn nnn xxxcxc 当 1 4 c 时 存在N 使 121 1 1 2 NNNNN xxxxx 与 1NN xx 异号 与数列 n x 是单调递减数列矛盾 得 当 1 0 4 c 时 数列 n x 是单调递增数列 11 2012 2012 安徽高考文科安徽高考文科 2121 本小题满分本小题满分 1313 分 分 设函数 xf 2 x xsin 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 n x 求数列 n x 的通项公式 设 n x 的前n项和为 n S 求 n Ssin 解题指南 1 根据导数 n x 的左侧导函数小于 0 n x 的右侧导函数大于 0 求出极小值点 2 由 I 求出 n x 的前n项和为 n S 再代入 n Ssin 解析 I 12 sin cos02 223 x f xxfxxxkkZ 22 022 33 fxkxkkZ 24 022 33 fxkxkkZ 圆学子梦想 铸金字品牌 12 得 当 2 2 3 xkkZ 时 f x 取极小值 得 2 2 3 n xn II 由 I 得 2 2 3 n xn 123 22 2 123 1 33 nn nn Sxxxxnn n 当 3 nk kN 时 sin sin 2 0 n Sk 当 31 nkkN 时 23 sinsin 32 n S 当 32 nkkN 时 43 sinsin 32 n S 所以 0 3 3 31 2 3 3 si n 2 2 n nk k nkk nkk S N N N 12 2012 2012 浙江高考文科浙江高考文科 1919 本题满分 14 分 已知数列 an 的前 n 项和 为 Sn 且 Sn 2n2 n n N 数列 bn 满足 an 4log2bn 3 n N 1 求 an bn 2 求数列 an bn 的前 n 项和 Tn 解题指南 由前 n 项和 Sn可求出通项公式 而数列 an bn 的通项符合等差 与等比数列乘积的形式 故可用错位相减法求出 解析 1 由 Sn 2n2 n 可得 当时 2n 2 2 1 221141 nnn aSSnnnnn 当时 符合上式 所以1n 1 3a 41 n an 由 an 4log2bn 3 可得 4log2bn 3 解得 41n 1 2 n n bnN 圆学子梦想 铸金字品牌 13 2 1 41 2n nn a bn 1231 37 211 215 2 41 2n n Tn 1234 23 27 211 215 2 41 2n n Tn 可得 12341 34 2222 2 41 2 nn n Tn 1 2 1 2 34 41 2 1 2 5 54 2 n n n n n 5 45 2 n n TnnN 13 2012 2012 山东高考理科山东高考理科 2020 在等差数列 n a 中 3459 84 73aaaa 求数列 n a 的通项公式 对任意 mN 将数列 n a 中落入区间 2 9 9 mm 内的项的个数记为 m b 求 数列 m b 的前m项和 m S 解题指南 1 可利用等差数列的性质求解 4 a 再利用 mn aa d mn 求出公差 d 利用 dmnaa mn 求出通项公式 2 利用数列的 n a 中落入区间 2 9 9 mm 内的项的个数 mm n 2 9899 可求得数列 m b 为两个等比数列 解析 1 由 3459 84 73aaaa 得 28 843 44 aa 所以 9 5 2873 49 49 aa d 8994284 4 nndnaan 89 nan 2 对任意 mN 将数列 n a 中落入区间 2 9 9 mm 内的项的个数为 m b 则 m n m a 2 99 即 mm n 2 9899 所以 9 8 9 9 8 9 121 mm n 112112 99 9 8 9 9 8 9 mmmm m b 圆学子梦想 铸金字品牌 14 于是 999 999 1101231 21 mm mm bbbS 8 9 80 19 80 19109 8 19 80 99 91 91 91 99 121212 2 12mmmmmmmm 即 8 9 80 19 12mm m S 14 2012 2012 山东高考文科山东高考文科 2020 已知等差数列 n a 的前 5 项和为 105 且 205 2aa 求数列 n a 的通项公式 对任意 m N 将数列 n a 中不大于 2 7 m 的项的个数记为 m b 求数列 m b 的前 m 项和 m S 解题指南 1 可利用等差数列的通项公式及前 n 项和公式列出方程组求出 首项和公差 进而求得通项公式 2 利用数列的 n a 中不大于 2 7 m 内的项的个 数 2 77 m n an 可求得数列 m b 为等比数列 利用等比数列的前 n 项公式求得 解析 I 由已知得 1 11 510105 92 4 ad adad 解得 1 7 7ad 所以通项公式为 7 1 77 n ann nN II 对 mN 若 2 77 m n an 则 21 7 m n 因此 21 7 m m b 21 1 21 7 49 7 m k m k b b m b 是公比为 49 的等比数列 7 149 7 491 14948 m m m S 15 2012 2012 江西高考理科江西高考理科 1616 已知数列 an 的前 n 项和 其 2 1 2 n Snkn 中 且 Sn的最大值为 8 kN 圆学子梦想 铸金字品牌 15 1 确定常数 k 求 an 2 求数列的前 n 项和 Tn 92 2 n n a 解题指南 1 先求得 的值 再利用求 注意验证首项 k 1nnn aSS n a 2 用错位相减法求和 解析 1 当时 取最大值 即 nkN 2 1 2 n Snkn 222 11 8 22 k Skkk 故 因此 2 16k 4k 从而 又 所以 1nnn aSS 9 2 n 2n 11 7 2 aS 9 2 n an 2 因为 1 92 22 n n nn an b 12 221 231 1 2222 nn nn nn Tbbb 所以 21211 1112 22 144 222222 nnn nnnnn nnn TTT 16 2012 2012 江西高考文科江西高考文科 1717 已知数列 an 的前 n 项和 其中 c n n Skck k 为常数 且 a2 4 a6 8a3 1 求 an 2 求数列 nan 的前 n 项和 Tn 解题指南 1 利用求 注意验证首项 1nnn aSS